книги / Тепловые и гидродинамические процессы в колеблющихся потоках

Решая систему уравнений (172) при граничных условиях (175), получим систему уравнений для определения констант Cll2:

f b " T ^ w exp№ ' 2W)-

Решая систему относительно констант Ci и С2, получим

где А — определитель системы, который можно выразить уравне* нием

Подставляя полученные значения констант Ci и С2, получим следующие выражения для определения комплексных амплитуд

В качестве примера рассмотрим ряд частных случаев.

73

Предположим, что на входе заданы амплитуда колебания дав­

В некоторых случаях при расчете конкретных задач приведенное выражение удобно представить в виде, когда в качестве мас­

штаба выбрана амплитуда колебания давления на выходе из ка­ нала:

[a0( L ) % ( L ) - Z i i . )

F1 (L)

При сравнительно небольших градиентах скорости звука 4р

идля больших значений Rea согласно выражениям (120) и

(121)имеем

74

Тогда выражения (17&а) для акустически закрытого канала [Z (0 = 0 ] примут вид

Действительная часть полученных выражений характеризует амплитуду колебаний, а мнимая — соответствующую фазу коле­ баний. В качестве примера рассмотрим случай малых значений коэффициента ослабления р. Можно принять

+Z (L) (1 — М„ (L))

Ограничимся рассмотрением случая, когда на выходе из канала имеется только активная составляющая импеданса Z (L), т. е^ Z (L) является величиной действительной.

75

Отделив действительную и мнимую части в выражении (181), полупим распределение амплитуд колебания давления и массовой скорости:

Для акустически закрытого канала Z (L) —» оо, поэтому В — 1 и выражение (183) преобразуется к виду, характерному для аку­ стически закрытого канала.

В заключение этого раздела рассмотрим колебания идеальной жидкости с постоянными физическими свойствами при отсутствии

76

sln ( l7 0

Как следует из приведенных соотношений, при определенных значениях частоты cos

где /г = (1, 2, 3 . . .).

Следовательно, приведенное решение существует не при всех значениях частот. Если со = cos, то знаменатель в выражениях (184) обращается в нуль и решение задачи без начальных условий не существует, т. е. не существует установившегося режима [ампли­ туды колебаний Ар или А (р«) по времени неограниченно возра­ стают, так как не учитывается трение ]. Это соответствует резонанс­ ному режиму колебаний, при котором частота возмущений коле­ баний совпадает с частотой собственных колебаний газового столба в канале, величина п = 1, 2, 3 . . . определяет номер резонансной гармоники. Как следует из приведенных соотношений, собствен-

77

Г Л А В А III

ТЕПЛОВЫЕ И ГИДРОДИНАМИЧЕСКИЕ ПРОЦЕССЫ В ЛАМИНАРНЫХ КОЛЕБЛЮЩИХСЯ ПОТОКАХ

1. МЕТОДЫ РАСЧЕТА ГИДРОДИНАМИКИ ДВУМЕРНЫХ КОЛЕБЛЮЩИХСЯ ПОТОКОВ

Существующие методы решения нестационарных урав­ нений гидродинамики в колеблющихся потоках основаны на упро­ щающих систему уравнений допущениях, достоверность которых требует экспериментальной проверки. Одним из наиболее распро­ страненных приближенных методов анализа нестационарной гидродинамики является метод последовательных приближений. Рассмотрим этот метод на примере плоского нестационарного по­ граничного слоя.

Нестационарное течение в плоском пограничном слое описы­ вается уравнениями неразрывности и движения

где и, v — проекции скорости на оси лс и у, х, у — продольная

ипоперечная координаты.

Вобщем случае граничные условия для нестационарного те­ чения можно записать в следующем виде:

рости движения поверхности тела, если оно движется; ит (х, t) —

Соотношение (188) получается из уравнения (186), если в по­ следнем пренебречь членом, зависящим от трения, и поперечной

С К О Р О С Т Ь Ю Ооо.

Граничные условия в уравнениях (187) зависят от выбора си­ стемы координат. В дальнейшем будем рассматривать систему координат, жестко связанную с телом; следовательно, в такой си­ стеме координат % = 0 и % = 0. Однако в случае колеблющейся поверхности тела и стационарного внешнего течения предпочти-

79

тельнее использовать систему координат, в которой внешнее те­ чение является стационарным. Для несжимаемой среды различные системы координат равноценны.

При использовании метода последовательных приближений решение нестационарных уравнений пограничного слоя можно

здесь индекс ноль соответствует стационарному потоку жидкости, а штрихи означают порядок малости колеблющихся составляю­ щих скорости.

Рассмотрим случай несжимаемой жидкости (т. е. р = const)

спостоянными физическими свойствами. Подставляя выражения

(189)в уравнения (186) и пренебрегая в первом приближении не-

уравнения стационарного пограничного слоя в нулевом при­

Граничные условия для уравнений в системе координат, жестко связанной с телом, примут вид:

при у — 0 и0 = Аи(П = Дыг) =••.== 0; ■

Дц' = Ды0~ (х, 0» Ди' = Дм" = •••= 0.

80