книги / Тепловые и гидродинамические процессы в колеблющихся потоках

Система уравнений (334) и (341) с граничными условиями у — О, и == у — О, Т — Т0; у = оо , и — О, Т — Та, будет определять поведение ламинарного пограничного слоя на вертикальной пла­ стине при поперечных гармонических колебаниях последней

вусловиях естественной конвекции. Анализ уравнения (341) показывает, что в отличие от стационарного случая движение жидкости в пограничном слое происходит как под действием сил, обусловленных полем земного притяжения, так и под действием подъемных массовых сил, вызванных колебаниями [первый член

вправой части уравнения (341)].

Из анализа уравнений (337) и (341) следует, что градиент давления, вызванный вибрацией стенки, будет переменным по длине пластины (пограничного слоя). Подобный характер изме­ нения градиента давления определяется тем, что масса жидкости, подверженная вибрациям, в различных поперечных сечениях пограничного слоя различна. Для ускорения различной массы требуется и различный градиент давления, а поэтому согласно выражению (337) возникает градиент давления в направлении, параллельном стенке.' В зависимости от направления ускорения пластины (влево или вправо) компонента др/дх будет стремиться вызвать движение жидкости вверх ( + JC) или вниз (—х). Градиент давления, обусловленный колебаниями и направленный вдоль пластины, должен приводить к изменению температуры и плотно­ сти в направлении действия градиента (в направлении х).

Продольные колебания пластины

Пластина совершает гармонические колебания в соб­ ственной плоскости в направлении действия поля внешних сил со скоростью uf (t) [45]. Для определения влияния этих колебаний на интенсивность теплоотдачи и касательные напряжения на стенке рассматривается исходная система уравнений, аналогич­ ная уравнениям (334) и (341), с теми же допущениями.

В уравнении движения (341) вместо второго члена правой части, определяющего подъемную силу, вызванную поперечными колебаниями, вводится член duf/dt, характеризующий продоль­ ные колебания пластины со скоростью uf. Граничные условия при этом следующие:

с пластиной (подвижная система координат), скорость жидкости вне пограничного слоя

m

Задача о влиянии поперечных и продольных колебаний стенки на ламинарный пограничный слой при свободной конвекции сво­ дится к решению уравнений (334) и (341) с известными граничными условиями.

Решение исходной системы уравнений неразрывности, движе­ ния и энергии можно получить методом разложения в ряд по малому параметру. Согласно теории пограничного слоя [41 ] уравнение нестационарного течения в пограничном слое можно разделить на уравнения для стационарного течения и нестацио­ нарного возмущающего воздействия. Для периодического возму­ щения, которое имеет место при гармоническом колебании пла­ стины, решение уравнений динамического и температурного пограничных слоев можно представить в виде ряда

Подставляя уравнение (343) в исходные и группируя члены по степеням е, получим три системы из трех дифференциальных урав­ нений нулевого, первого и второго порядка. Решения этих урав­ нений получены в работах [42, 45].

2. РЕЗУЛЬТАТЫ ТЕОРЕТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА КОЛЕБЛЮЩИХСЯ ПОТОКОВ ПРИ ЕСТЕСТВЕННОЙ КОНВЕКЦИИ

Поперечные колебания пластины

Уравнения нулевого порядка. Для решения уравнений нуле­ вого порядка основные уравнения приводятся к безразмерной форме.

Безразмерные параметры можно выразить следующим образом:

152

ператур в стационарных условиях), получим уравнения нулевого порядка в следующем виде:

водной. Результаты решений уравнений (344) и (345) по данным работы [42] показаны на рис. 53 и 54. Профили температур и скоростей, представленные на этих рисунках, соответствуют слу­ чаю стационарной естественной конвекции. Экспериментальная проверка этих решений показала хорошее совпадение теории и эксперимента.

Уравнения первого порядка. Для решения уравнений первого порядка, как и для уравнений нулевого порядка, воспользуемся функцией тока ф. Введем комплексные переменные М и N так,

153

Возмущение скорости, и температуры можно записать через модуль и фазу комплексных функций

Подставляя уравнения (346) и (347) в исходные дифферен­ циальные уравнения, получим уравнения относительно М и N.

Для определения возмущений (колебаний) скорости и темпе­ ратуры решения рассматриваются отдельно для двух предельных случаев: большой и малой частоты колебаний.

Введем новую переменную у = &}/Г4Х. При этом для больших частот колебаний (больших у) находятся предельные решения, справедливость которых обоснована только для больших зна­ чений Q и X.

Решением уравнения для скорости М будет

градиенту давления, вызываемому колебаниями пластины, при­

ведена на рис. 55.

Значения модуля и фазы колебаний скорости, определенные

154

предельного решения при больших частотах во всей области по­ граничного слоя величиной daW/dr|2 можно пренебречь по сравне­ нию с величиной у Рг N. Тогда решение уравнения для темпе­ ратуры N будет Ьметь следующий вид:

N = ё(0)Я' (л)

действительной картины течения. Разлагая в ряд параметры Я ' (rj)

?

и 1 l(x^di\:

Я'(л) = Я'(0) + Я'(0)т1+ . . . ;

| б ( Л > * 1 - 5 ( 0)Л + Г ( 0 ) ^ + - - -

и учитывая тот факт, что в области, непосредственно прилегаю­ щей к стенке, Я " (0) = £' (0) = 0, получим Я ' (rj) as Я ' (0)

— ехр(— У Щ ) \ — t Р'р . л « ф ( — У Тг?)- (363)

. Значения модуля | N.| и фазы колебаний температуры оьпо (353)- согласно данным работы [421 приведены на рис. 57. Малым зна-: чениям г] соответствует уравнение (353). На достаточно большом

155

удалении от стенки кривые отвечают уравнению (351). Ожидаемые результаты для промежуточной области [42 ] изображены штрихо­ выми линиями.

Решении для области низких частот. Для квазистационарного случая, когда 0 = 0, для решения можно использовать метод последовательных приближений с разложением функций М и N в степенные ряды. В качестве первого приближения находится решение при у = 0.

Результаты расчетов согласно данным работы [42] приведены на рис. 58 и 59 в виде графических зависимостей модулей и фаз колебаний функции тока и температуры от у. Как и в случае больших частот, температура и функция тока имеют наибольшее изменение вблизи стенки. Характерным является то, что возму­ щения уменьшаются с увеличением частоты колебаний.

Сопоставление решений, получаемых для малых и больших частот колебаний, температуры и касательных напряжений, приведено на рис. 60 и 61 (см. работу [42]). Значение функции г\Н' (п), определяемое из решений уравнений (344) и (345), по­ казано на рис. 62. На всех графиках заметно существенное влия­ ние числа Прандтля.

Уравнение второго порядка. Полагая, что физический смысл имеют только действительные части решений и используя поле температур и скоростей, полученных в первом приближении, можно решить уравнения второго порядка. Решение уравнения движения можно разделить на два — установившееся и неустановившееся по времени. Согласно расчетам работы [3] характер течения получен в виде, приведенном на рис. 63.

mnam</)wi - он/

157

касаются, а проходят в этой области на некотором расстоянии друг от друга.

На рис. 64 приведена зависимость стационарной (средней по времени) составляющей скорости второго порядка (см. работу [3 ]) от ц. В качестве ординаты выбрана переменная Q4«2s, отражаю­ щая зависимость скорости от частоты.

Как видно из рисунков, скорость течения уменьшается с уве­ личением чисел Прандтля и увеличением координаты X, т. е. наибольшее влияние колебаний скорости наблюдается вблизи колеблющейся поверхности. Поле температур второго приближе­ ния определяется из уравнения энергии. Зная поле'скоростей и температур второго приближения, можно определить осредненные

Рис. 64. Стационарные составляющие скорости второго порядка

158

по времени значения касательного напряжения и числа Нуссельта. По данным работы [3] можно записать выражения осредненных по времени касательного напряжения и локального числа Нус­ сельта:

( ди» \

159

Графики величин

приведены на рис. 65 и 66 [3 ]. Величина Q4 включена в графики для того, чтобы показать влияние частоты, так как величина е2, содержащая амплитуду колебаний, очень мала.

Осредненное по времени локальное касательное напряжение увеличивается с увеличением частоты колебаний и по мере при­

Уменьшение коэффициента теплоотдачи можно объяснить тем, что колебания скорости и температуры возле пластины смещены по фазе. Порядок уменьшения чисел Нуссельта невелик, так как величина е2 очень мала. С увеличением частоты темп изменения N уменьшается; одновременно меньшим значениям чисел Рг соот­ ветствует большее изменение чисел Nu.

Продольные колебания пластины

Решение уравнений нулевого порядка совпадает с ре­ шением, полученным ранее.

Уравнения первого порядка (высокие частоты). Для высоких частот о» решение уравнения движения первого порядка имеет вид (200).

Для анализа нестационарного температурного поля в каче­ стве исходного можно воспользоваться приближенным уравне­

Вблизи внешней границы пограничного слоя (границы тече­ ния) уравнение (357) можно упростить; тогда решение для высо­

для оценки влияния колебаний на гидродинамику и теплообмен, но и для определения границ справедливости решений (357), (358). Такое решение интегральным методом выполнено в работе [45]. Оказалось, что параметр Rea = co62/v является удобным

160