книги / Тепловые и гидродинамические процессы в колеблющихся потоках

баний совпадает с собственной частотой колебаний газового столба. В случае акустических колебаний резонансные колебания в за­ крытой трубе будут возбуждаться при условии, что длина трубы L будет равна кратному значению половины длины волны колеба­

ний, т. е. L = п ~ 2 (где п — номер резонансной гармоники,

п — 1 2, 3. . При резонансных колебаниях образуется стоячая волна, которая характеризуется тем, что амплитуда колебаний резко возрастает и в разных точках пространства разная.

Например, суперпозиция двух бегущих плоских синусоидаль­ ных волн А ! = ДЛ о cos (k x — at) и А 2 = ДЛ 0 cos (kx + at) (одинаковой амплитуды, длины и частоты), распространяющихся в противоположном направлении, образует стоячую плоскую синусоидальную волну, амплитуда которой вдвое больше ампли­ туды каждой из бегущих волн:

А\ + А2 — 2 АА cos kx cos at.

В зависимости от величины амплитуды колебаний параметров среды или тела колеблющиеся потоки можно разделить также на две группы: колебания с малой амплитудой и колебания с боль­ шой амплитудой.

Колебания с малой амплитудой являются акустическими ко­ лебаниями. Возмущения плотности, давления, скорости в акусти­ ческих волнах малы по сравнению с соответствующими пара­ метрами в невозмущенном состоянии. Граница акустических коле­ баний определяется акустическим числом Маха, которое выра­ жается отношением амплитуды колебания скорости Ли к местной

тудой на распространение волн в среде существенное влияние оказывают нелинейные эффекты. Например, при распространении плоской синусоидальной волны в неограниченной идеальной среде форма профиля волны изменяется таким образом, что ее передний фронт становится все более крутым, и, наконец, на

даться вынужденным или свободным движением, то колеблющиеся потоки в зависимости от вида движения могут быть разделены на три группы:

, колебания среды при отсутствии ее движения; [колебания среды, сопровождающиеся свободным движением;

колебания среды, сопровождающиеся вынужденным дви­ жением.

Вышеприведенная классификация в зависимости от типа рас­ сматриваемых колебаний позволяет проанализировать влияние

11

основных параметров на теплообмен и гидродинамику в коле­ блющихся потоках и может быть положена в основу дальнейших исследований.

2. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ И ОСОБЕННОСТИ ИССЛЕДОВАНИЯ ПРОЦЕССОВ ТЕПЛООБМЕНА И ГИДРОДИНАМИКИ В КОЛЕБЛЮЩИХСЯ ПОТОКАХ

При изучении процессов теплопередачи и гидродина­ мики применяется главным образом феноменологический метод исследования. При этом методе исследования используются основ­ ные законы физики с привлечением некоторых дополнительных гипотез о протекании процесса (законы Фурье и Ньютона), что избавляет от необходимости рассматривать микроструктуру ве­ ществ. В результате применения этого метода получают диффе­ ренциальные или интегральные уравнения теплопередачи и ги­ дродинамики. Эти уравнения в простых случаях можно решать аналитически или численно, а в более сложных можно применить методы подобия или размерностей для получения критериев подобия. Связь между критериями устанавливают эксперимен­ тальным путем.

Используя законы сохранения количества движения, массы и энергии и принимая во внимание законы Фурье и Ньютона, систему уравнений движения, неразрывности и энергии для одно­ компонентной ньютоновской сжимаемой вязкой жидкости можно записать в следующем виде:

12

означающий суммирование по / = 1, 2, 3, т. е.

В этих уравнениях предполагается, что внутренние источники тела и объемные силы известны. Если жидкость находится в поле гравитации Земли, то Ft = git где gt — ускорение в гравита­ ционном поле. Кроме этого, предполагается, что известны физи­ ческие свойства жидкости: р, = р (Т, р)\ X = X (Т, р)\ ср =

=ср (т> Р)-

Приведенная система уравнений содержит шесть неизвестных и пять уравнений: три компоненты скорости ии ц2, и3, давле­ ние р, плотность р и температуру Т. Для того чтобы система была замкнутой, необходимо шестое уравнение. Таким уравнением является уравнение состояния, которое в общем случае можно записать в виде

где S — энтропия жидкости.

При использовании уравнения состояния в форме (13а) не­ обходимо дополнить систему уравнений уравнением энтропии.

Подставляя это соотношение в уравнение энергии (11), полу­ чим уравнение энтропии:

9Т - f - = РТ ( - f - + и, ) = div (Xgrad T) + qY + Ф,. (45)

с достаточной степенью точности может быть использована модель

Для анализа высокочастотных колебаний в первом приближе­ нии предполагают, что нестационарный процесс является из-

13

энтропическим (dS = 0). В этом случае давление является одно­ значной функцией плотности р — f (р), и для идеального газа эта функциональная связь определяется уравнением адиабаты

где & = — — показатель адиабаты.

су

Уравнение (18) удобно для практических расчетов представ­ лять в дифференциальной форме:

где а0 — изэнтропическая скорость звука (скорость распростра­ нения малых акустических возмущений).

Для жидкостей строго теоретически обоснованного уравнения состояния нет. В практике сжимаемость жидкости учитывается так же, как и в идеальном газе, для чего используется эмпири­ ческое уравнение Пуассона, аналогичное уравнению адиабаты

тальным данным для разных жидкостей изменяется в пределах от ~ 4 до 12.

Для решения системы приведенных выше уравнений необхо­ димо задать краевые условия: геометрические, граничные и на­ чальные. При рассмотрении установившихся колебаний началь­ ные условия можно не рассматривать.

Геометрические условия предполагают, что заданы размеры и геометрия тела или область, в которой анализируется процесс. Краевые условия задают исходя из условий конкретно рассма­ триваемой задачи.

Для уравнений гидродинамики, как правило, граничные условия задают в виде скоростного поля на границе рассматри­

Для уравнения энергии граничные условия могут быть за­ даны в виде температурного поля на границе рассматриваемой

14

Если задано граничное условие 1-го рода, то в результате реше­ ния уравнений определяется тепловой поток на поверхности; если задан тепловой поток на поверхности, то определяется тем­ пература на поверхности.

Внекоторых задачах приходится рассматривать смешанные граничные условия, т. е. на некоторых участках рассматриваемой области или тела задается граничное условие 1-го рода, а на других — 2-го рода.

Вдальнейшем для анализа будем рассматривать следующую упрощенную модель нестационарной гидродинамики и тепло­ обмена: физические свойства жидкости ср, X, р являются вели­ чинами постоянными, объемная вязкость равна нулю, а внутрен­ ние источники тепла отсутствуют (qv = 0).

Предположим, что в колеблющихся потоках граничные усло­ вия и неизвестные величины, входящие в приведенные выше уравнения, можно представить в виде суммы определенных по времени величин [обозначим их индексом (0)] и пульсационных [обозначим индексом (А)]:

и в граничные условия и осреднив по времени аналогичным образом, как и при выводе уравнений Рейнольдса для турбулент­ ных потоков, получим, что исходная система уравнений при вышепринятых допущениях распалась на две системы: для пуль­ сационных параметров и параметров, осредненных по времени:

(25)

15

уравнения для осредненного движения

Qwo~Qwo(S)-

Уравнение (20), как и уравнение гидродинамики, даже для изэнтропического процесса также является нелинейным, кроме случая п = 1 .

Уравнение для изэнтропического процесса в общем случае относительно возмущенных параметров можно получить посред­ ством разложения в ряд по малому параметру объемного сжатия

/ > - p ,= ( « « js + 4 i r L . s ’ + - "

ИЛИ

Безразмерная величина ( ■ ^ г ^ ') р_р определяет с точностью до квадратичных членов нелинейные свойства среды, а величину

/ г = 1 + (■ff“^ ~ ) p_p принято называть нелинейным параметром среды. Для идеального газа п — k.

16

Ро

давления линейно связано с возмущением плотности соотноше­ нием

В случае неизэнтропических колебаний возмущение давления зависит не только от возмущения плотности Др, но и от возмущения энтропии.

Из формального анализа приведенных уравнений следует, что между осредненным полем параметров и пульсационным полем существует взаимная связь (корреляция): пульсационное поле параметров влияет на осредненное, и наоборот, осредненное влияет на пульсационное.

3. ГИДРОДИНАМИЧЕСКОЕ ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ КОЛЕБЛЮЩИХСЯ ПОТОКОВ С ПОВЕРХНОСТЬЮ ТЕЛА

Определение пространственных гидродинамических па­ раметров потока (поля скоростей, давления, плотности), как правило, позволяет вскрыть физическую картину рассматриваемой конкретной задачи. Для практических гидродинамических расче­ тов конкретных типов аппаратов и их оптимизации необходимо знать силу трения на поверхности, обтекаемой потоком жидкости или газа, что позволяет определить потери давления (при течении жидкости в канале) или потери кинетической энергии потока (при внешнем обтекании тел) с позиций одномерной модели те­ чения.

В случае стационарного течения для определения силы тре­ ния на стенке обтекаемой поверхности вводится понятие коэф­ фициента трения Cf (при внешнем обтекании) и коэффициента гидравлического сопротивления | (при внутреннем течении в ка­ налах).

Коэффициент гидравлического сопротивления

2<*0^

ражение для определения сопротивления трения примет вид

При обтекании тела внешним потоком в качестве характер-, ного размера необходимо взять толщину пограничного слоя d = b, а в качестве характерной скорости — скорость вне пограничного

В случае колеблющегося потока жидкости касательное напря­ жение (или силу трения) на стенке канала можно представить в виде суммы осредненного по времени т0 и пульсационного Ат:

Поскольку в колеблющемся потоке работа силы трения соз­ дается как осредненным, так и колеблющимся потоком, то средняя по времени работа сил трения по аналогии со стационарным потоком должна быть пропорциональна полной кинетической энергии потока, включая пульсационную Аы2/2. Следовательно, под осредненным по времени гидравлическим сопротивлением можно понимать отношение изменения средней по времени работы сил трения к полной кинетической энергии:

ШТр

Для расчета одномерных осредненных по времени параметров колеблющегося потока в канале постоянного сечения можно вос­ пользоваться одномерным уравнением движения

случая движения жидкости в канале постоянного сечения с точ­ ностью до квадратичных членов будем иметь

по сравнению со скоростью можно пренебречь; тогда для гармо­ нических возмущений

18

Принимая во внимание соотношение (38а), осредненное по времени, уравнение движения (37) с учетом пульсационных пара­ метров можно записать в следующем виде:

d(po«o + Ро + Ро) = Ро^/хр; (39)

здесь член р0 М2 характеризует кинетическую энергию колеблю­

щегося потока.

Таким образом, работа силы трения для осредненного по времени колеблющегося потока при одномерном описании зави­ сит от изменения статического давления р 0, кинетической энергии

и пульсационной кинетической энергии Для опреде­

ления пульсационного касательного напряжения на стенке ка­ нала Д-% (или силы трения) в колеблющемся потоке введем понятие коэффициента потерь, аналогичного по смыслу коэффи­ циенту сопротивления трению при стационарном режиме.

Предполагая, что в колеблющемся потоке существует линей­ ная связь между пульсационной силой трения на стенке канала

A0W= -у- Д% и колебательной составляющей массой скорости

Д (ры), определим коэффициент потерь как отношение пульса­ ционной силы трения на стенке канала к величине колебательной составляющей массовой скорости

В нестационарном колебательном режиме коэффициент потерь зависит от частоты, амплитуды колебания и геометрических раз­ меров канала. В отличие от квазистационарного течения между колебаниями ДФ^ и Д (ры) должен существовать сдвиг по фазе, который зависит от частоты колебаний: при сравнительно низких частотах колебаний ДФ^ и Д (ры) будут синхронными, с увели­ чением частоты сдвиг по фазе должен увеличиваться. Следова­ тельно, в общем случае, при колебательном движении жидкости коэффициент потерь является комплексной величиной:

Рис. 2. Гармоническая линеариза­ ция напряжения трения на стенке канала

для плоского канала; Re =

= — число Рейнольдса.

Следовательно, квазистационарное значение коэффици­

2у

ента потерь т

При турбулентном режиме течения зависимость между силой трения и массовой скоростью даже при рассмотрении

квазистационарной модели более сложная, чем для ламинарного режима.

При турбулентном стационарном стабилизированном режиме течения (для Re *=» 106) коэффициент сопротивления трению в канале £ в небольшой степени зависит от числа Рейнольдса

U 0,3164 \

1ё ~ Re0,25 ) •

Если предположить, что коэффициент гидравлического сопро­ тивления под действием колебаний потока не изменяется, то согласно уравнению (33) колебательная составляющая касатель­ ного напряжения

Следовательно, величина квазистационарного значения т зависит от амплитуды колебаний скорости Ли и от времени.

Следует отметить, что наличие нелинейного члена Д (ры)2 в выражении для касательного напряжения существенно услож­ няет решение нестационарных уравнений: появляются гармо­ ники с удвоенной частотой. Для приближенных оценок можно воспользоваться методом гармонической линеаризации. Идея ме­ тода гармонической линеаризации заключается в следующем. Квадратичную временную зависимость касательного напряжения на стенке канала можно заменить эквивалентной синусоидальной зависимостью Axw = A sin сот таким образом (рис. 2), чтобы

20