книги / Тепловые и гидродинамические процессы в колеблющихся потоках

согласно выражениям (257) и (258) получим

(259)

хт го 3 % о °f дх / 3 го ’

Как следует из последнего выражения, касательное напряже­ ние на стенке канала складывается из соответствующего квазистационарного значения и пульсационного:

является квазистационарным значением коэффициента сопроти­

Таким образом, коэффициент сопротивления трению при воз­ буждении высокочастотных колебаний жидкости стоячей волной обратно пропорционален корню квадратному из акустического

а 2

числа Рейнольдса Rea = — .

3. НЕКОТОРЫЕ ОСОБЕННОСТИ СТРУКТУРЫ КОЛЕБЛЮЩИХСЯ ПОТОКОВ

Одной из основных особенностей колеблющихся пото­ ков является образование стационарных вихревых течений как в свободном колеблющемся потоке среды, так и вблизи препят­ ствий, помещенных в колеблющуюся среду, или вблизи колеб­ лющихся тел.

Как уже упоминалось выше, в 'теории колеблющихся потоков существенную роль играет толщина колеблющегося пограничного

Щ

слоя бк = ^ ^ У ’5 . Отношение толщины колеблющегося слоя к длине волны колебаний Л

Поскольку о)А ~ 2nW и для малых колебаний скорость рас­ пространения волны W равна скорости звука (W ~ а), то послед­ нее соотношение можно представить в виде

•J [

Ля MA/ReA]°,S

где Мд = —----- колебательное число Маха; ReA = —------- ко­

лебательное число Рейнольдса.

При ReA > Мд длина волны колебаний больше, чем толщина колеблющегося пограничного слоя, и в этом случае течение потока 'можно разделить на течение в пограничном слое, скорость которого зависит от вязкости, и течение вне пограничного слоя, скорость которого не зависит от вязкости среды. Когда ReA < Мд, четко выраженного пограничного слоя нет, и во всем пространстве ско­ рость течения зависит от вязкости.

Возникновение вихревых течений в колеблющихся потоках формально учтено нелинейными конвективными членами в урав­ нениях Навье-Стокса, значение которых может быть вычислено посредством определения функции F (х, у) в уравнении (197). Как следует из выражения (198), возникновение вихревых тече­ ний в значительной степени зависит от градиента скорости внеш­ него потока. Градиент скорости внешнего потока может быть обусловлен стоячей волной, например резонансными колебаниями или обтеканием криволинейных поверхностей шара, цилиндра и т. д. Влияние градиента скорости на структуру колеблющегося пограничного слоя определим методом последовательных прибли­ жений. В этом случае для анализа удобно внести функции тока

Решая систему уравнений (191) и (192) по методу последова­ тельных приближений, получим

ф' = бкАмооо (*) o' (л) ехр (Ш)\

(262)

102

Как следует из приведенных соотношений (262) и (263), во вто­ ром приближении в колеблющемся пограничном слое появляются

Осредненное по времени поле скоростей существенно зависит от градиента колебательной составляющей скорости внешнего

дАUQQQ

потока; при — = 0 (Ди<">) = 0. Поперечная скорость

максимален.

Зная осредненную по времени скорость в пограничном слое, можно определить и осредненное по времени пульсационное ка­ сательное напряжение на поверхности:

103

Таким образом, во втором приближении касательное напря­ жение силы трения на поверхности пропорционально толщине колеблющегося слоя и градиенту колебательной составляющей скорости внешнего потока.

Рассмотрим плоскую пластину, обтекаемую высокочастотной стоячей волной. При этом будем считать, что стационарное тече­ ние отсутствует. В частном случае для гармонической стоячей волны

Апоа> = — A cos kx,

где k = -д----- волновое число.

Вэтом случае компоненты осредненных по времени-скоростей

впограничном слое

Согласно выражению (270) скорость те­ чения (Ды(//)) вблизи стенки зависит от ки­ нематической вязкости («*v-0*5), причем ско-

Рис. 21. Распределение функции Сто (у/вк) по толщине колеблющегося пограничного слоя

104

рость равняется нулю в узлах и пучностях стоячей волны. Вид

функции а р ^у - ^ , определяющей скорость течения в колеблю­

щемся пограничном слое стоячей волны, показан на рис. 21. На­ правление скорости течения вдоль стенки зависит от знака произ­

водной ^ (264). Эта производная (рис. 21) при у <=* 6К меняет

знак на обратный, что приводит к образованию в пограничном слое стоячей волны вихрей, размеры которых имеют порядок —(Л/4) 28к.

Результаты, полученные для плоского пограничного слоя, при­ годны также и тогда, когда поверхность изогнута, если местный радиус кривизны поверхности много больше длины вязкой волны. Рассмотрим течение вокруг круглого цилиндра. При ReA > Мд, т. е. при толщине колеблющегося пограничного слоя, много мень­ шей по сравнению с длиной волны колебаний внешнего потока (8К С Л и kr0 < 1), для определения течения вблизи цилиндра можно воспользоваться решением (264) для плоского погранич­ ного слоя [33].

Для этой цели координату х направим вдоль поверхности ци­ линдра; тогда скорость потенциального внешнего потока

ДИо, (х) = 2Дыосо sin — = 2Д«осо sin <р,

Г0

где ф — угловая координата; г0 — радиус цилиндра.

Из выражений (269) следует, что компоненты скорости в по­ граничном слое во втором приближении соответственно

Характер течения вокруг цилиндра показан на рис. 22 для слу­ чая R 0/bK = 7. Как и в случае обтекания плоской пластины стоя­ чей волной, вихрь в пограничном слое вращается в направлении, противоположном вихрю вне пограничного слоя. Центр враще­

Аналогичная картина возникает и в случае обтекания сферы колеблющимся потоком; в этом случае стационарное вторичное течение набегает на экватор сферы (рис. 23), а продольная компо­

где R о — радиус сферы.

105

90° 600

Подобные вихревые вторичные течения возникают не только у неподвижных препятствий, помещенных в колеблющуюся среду, но также и около колеблющихся тел: пластин, цилиндров, шаров, газовых пузырей и т. д.

Таким образом, малые колебания среды или тела приводят к возникновению не только колеблющегося пограничного слоя, но и добавочного вторичного течения на большом расстоянии от тела, и притом такого, которое не зависит от вязкости среды.

Следует иметь в виду, что второе приближение пригодно для малых колебательных чисел Маха (Мд) и при больших значениях параметра kr0ReA, т. е. для малых амплитуд колебания скорости. При больших амплитудах колебания скорости и при условии, что течение остается ламинарным, харак­ тер обтекания тел изменяется. На рис. 22, б приведена картина обте­ кания круглого цилиндра с точно­ стью до величины четвертого по­ рядка малости для случая г0/бк = 7,

106

исходит деформация формы как внутреннего, так и внешнего вихрей [15].

При ReA ;£= Мд толщина колеблющегося пограничного слоя сравнима, или больше длины волны колебаний. В этом случае течение характеризуется тем, что параметр k\ R 0\ ReA мал и модель течения, основывающаяся на уравнениях пограничного слоя, ста­ новится недостаточно точной.

По мере уменьшения ReA размеры пограничного вихря ста­ новятся все большими, причем эти размеры могут значительно превышать толщину колеблющегося пограничного слоя 8К, и на­ конец, при очень малых ReA пограничное течение занимает все пространство. Такая картина течения представлена на рис. 22, в (соответствует случаю R 0/8K— 1,4 и &RoReA<10). Аналогичная вихревая картина движения жидкости может наблюдаться в ка­ нале при возбуждении колебаний стоячей волной.

Рассмотрим течение в плоском канале между двумя параллель­ ными плоскостями шириной 2г0, вызываемое стоячей волной (фронт волны перпендикулярен к плоскости). Распределение ско­ ростей в первом приближении определяется согласно выраже­ ниям (250) и (251) для гармонической стоячей волны уравнением

Аи0(0, х) = — Ам0 (0) cos kx\

распределение скоростей во втором приближении носит вихревой характер. В ядре потока вдали от стенки поле скоростей во втором приближении [15]

<д„°> = - 1 1 ^ 1 1 cos 2 b [ ( l — f - ) - ( l - i ) ! ] . j

Рис. 24. Картина течения в плоском канале, обусловленная стоячей волной:

а — схема вихревых течений в погра» ичном слое; б — схема вторичных вихревых тече­ ний в ядре потока

107

В отличие от течения в колеблющемся пограничном слое ско­ рость течения вне пограничного слоя не зависит от вязкости. Однако образование вихревого движения вне пограничного слоя обусловлено вязкостью среды. Вихри, образовавшиеся в колеб­ лющемся пограничном слое (рис. 24, б), возникают вследствие вязкости среды, а вихри вне пограничного слоя (рис. 24, а) воз­ никают в результате взаимодействия с вихрями в пограничном слое. Вращение вихрей в пограничном слое происходит в на­ правлении, противоположном вращению вихрей вне пограничного слоя. Аналогичная картина возникает в цилиндрическом канале. При возбуждении в канале поперечных резонансных акустических колебаний, направленных вдоль радиуса канала, возникают вто­ ричные вихревые течения, как и в случае продольных колебаний. Вращение вихрей осуществляется в плоскости поперечного сече­ ния канала (рис. 25). Методика расчета таких течений приведена

вработе [39].

4.ТЕПЛООБМЕН В ЛАМИНАРНЫХ КОЛЕБЛЮЩИХСЯ ПОТОКАХ

Анализ температурного поля в колеблющихся потоках показывает, что основное изменение колебаний температуры, как и в случае рассмотрения поля скоростей, наблюдается вблизи поверхности тела. Вблизи поверхности тела образуется тепловой колеблющийся пограничный слой. Из сравнения уравнения энер­ гии и уравнения движения толщина колеблющегося теплового 1Щг граничного слоя

108

\ Метод последовательных приближений можно использовать только в том случае, когда толщина теплового стационарного пограничного слоя много больше, чем толщина колеблющегося теплового слоя, т. е.

Для анализа процесса теплообмена в колеблющихся погранич­

С учетом диссипации кинетической энергии для жидкости с по­ стоянными физическими свойствами уравнение энергии для по­ граничного слоя и граничные условия при постоянной температуре поверхности и внешнего потока, имеют вид

Это уравнение относительно пульсационных и осредненных по времени величин можно записать, в виде:

для пульсационного движения

Решение системы уравнений для сравнительно малых амплитуд колебания скорости внешнего потока будем искать в виде суммы ряда по отдельным гармоникам:

109

Рассмотрим влияние колебаний скорости внешнего Потока с постоянной амплитудой колебаний на тепловой пограничный слой в предположении, что диссипацией кинетической энергии можно пренебречь. Это допущение может быть оправдано для сравнительно небольших амплитуд колебания скорости. Прене­ брегая в первом приближении влиянием нелинейных членов как в пульсационном, так и в осредненном по времени уравнениях энергии-и-лспользуя выражение (277), получим уравнения тепло­ вого пограничного слоя для степенного закона изменения скорости

Решение уравнений теплового пограничного слоя (279) можно, как и в случае анализа уравнения движения, представить в виде степенного ряда (215) и (216) для больших и малых значений чисел Струхаля. В частности, для малых значений чисел Sh

fibi, Sh) = £ с*л*(л); fe=0

тогда значение числа Нуссельта будет определяться степенным рядом

-77= - = — [9' (0) + е ехр (Ш) h'k(0)]. V Re

Для плоской пластины при т = 0 и Рг = 0,72 для малых зна­

Из этого выражения следует, что при малых значениях Частоты

иамплитуды колебания скорости внешнего потока, т. е. при е —* 0

иSh —*0, коэффициент теплоотдачи стремится к квазистационарному значению. При увеличении частоты наблюдается сдвиг по фазе между колебаниями скорости внешнего потока и коэф­ фициентом теплоотдачи. В общем случае коэффициент теплоотдачи является величиной комплексной, мнимая часть которого харак­ теризует фазу колебания.

ПО