книги / Тепловые и гидродинамические процессы в колеблющихся потоках

нения (219) можно искать в виде ряда (215). Для больших значе­ ний частоты колебания решение задачи можно искать в виде ряда

91

ционного трения на поверхности от частоты показаны на рис. 15. С увеличением частоты (числа Sh) амплитуда и фаза колебания касательного напряжения на поверхности увеличиваются, и при больших значениях Sh фаза колебаний достигает 45°.

Система уравнений во втором приближении соответственно за­ пишется:

при у — ОО.

Как следует из приведенной системы уравнений, нелинейные члены во втором приближении приводят к появлению гармоники

92

где gr и gt — соответственно мнимая и действительная части функ­ ции g (rj).

G0= t v l)Gi{44).

Для больших значений частоты колебаний в правую часть урав-' нения (223) необходимо подставлять функцию g (rj).

На, рис. 16 приведены расчетные значения функции Go, харак­ теризующие деформацию профиля осредненного движения под действием колебаний в пограничном слое. Как следует из при­ веденного рисунка, вблизи поверхности под действием колебаний скорость (осредненная по времени) потока жидкости увеличи­ вается, что приводит к увеличению градиента скорости, а следо­ вательно, и силы трения на стенке. С увеличением частоты коле­ баний (или критерия Sh) максимум осредненной по времени ско­ рости уменьшается и смещается в сторону поверхности стенки.

Выражение для осредненного (по времени) касательного на­ пряжения можно представить в виде £57]

Vo

2 я

где (% s) = 2^- J p ( - ^ ) y=0d (©0 — осредненное по времени каса­

Рис. 16. Распределение функции G'0 в колеблющемся пограничном слое для различных значений Sh

93

F(Sh)

Численные значения функции F (Sh) показывают, что с уве­ личением частоты (критерия Sh) влияние пульсаций скорости на осредненное по времени касательное напряжение уменьшается (рис. 17), а с увеличением относительной амплитуды колебания это влияние увеличивается, т. е. сила трения на поверхности уве­ личивается.

При обтекании колеблющимся потоком плоской пластины с по­ стоянной осредненной скоростью внешнего потока = const осредненное касательное напряжение на поверхности аппрокси­ мируется выражением (224), где

Значение функции F (Sh) представлено на рис. 18. С увеличе­ нием частоты колебания влияние колебаний потока на осредненную силу трения на поверхности уменьшается.

Сравнивая выражения (225) и (226), можно сделать вывод, что при одинаковых параметрах е и Sh влияние колебаний потока на трение на поверхности увеличивается с увеличением градиента скорости осредненного внешнего потока. Это связано с измене­ нием толщины стационарного пограничного слоя под действием градиента скорости.

В самом деле,

Влияние колебаний скорости внешнего потока с конечной амплитудой на осредненное движение в пограничном слое можно определить по уравнению (197),-в котором функция F (*, у), харак-

94

теризующая влияние пульсационного движения на осредненное, определяется согласно уравнению (203). /

Для случая линейного изменения скорости внешнего потока (ИОсо = Ах) функция

Тогда уравнения осредненного движения в пограничном слое можно записать так:

“•& + * % - М ' + -T»*. ( i ) ] + '-3?':

М -°-

Для решения этих уравнений удобно ввести переменные Блазиуса

«о = “о «.Go (л) = AxG'o (л); v0 = — VAvG (л).

Тогда уравнение движения относительно функции G0 (л) можно записать в виде

Граничные условия: Go = Go = 0 при л = 0; Go = 1 при л = °°- Безразмерную координату у/6к можно выразить через пере­

менную Блазиуса л =

t - y / V

Таким образом, согласно уравнению (227) осредненное поле скоростей является функцией относительной амплитуды колеба­ ния скорости е и критерия Sh.

Осредненный по времени профиль скорости G' (л) =

и 0 со

в зависимости от е и Sh согласно численным расчетам приведен на рис. 19.

На рис. 20 приведена зависимость функции Go (0) для л = 0, характеризующей касательное напряжение на стенке канала. С увеличением относительной амплитуды колебания скорости внеш­ него потока и уменьшением числа Sh трение на поверхности уве­ личивается. При этом данные, полученные по методу, изложенному в работе [67], с погрешностью 0,5—3% совпадают с приведенным выше расчетом методом последовательных приближений.

При анализе колебания жидкости в канале можно использовать метод последовательных приближений, как и в случае расчета пограничного слоя. Рассмотрим двумерную модель течения жид.

95

Рис. 19. Распределение функций G0 (*)) и F0 (*]) в пограничном слое для различных значений относительной амплитуды и числа критерия Sh:

~ G'0 ( n ) ; -------------------------- F 0 (ц)

кости в канале, для которой уравнения движения и неразрыв­ ности (9) и (10) имеют вид

где х — продольная координата; у — поперечная координата, на­ правленная вдоль радиуса канала (п = 0 — соответствует пло­

скому каналу, п — 1 — цилиндрическому); т = Л ^ — напря­

жение трения.

Будем считать, что давление и плотность постоянны по попереч­ ному сечению канала. Тогда, дифференцируя уравнения движе­ ния (228) по у и интегрируя уравнение неразрывности по попереч­ ному сечению канала с использованием граничных условий

у = 0 при у = 0; |

и — V = 0 при у = г0, J

96

Индексом f обозначены средние по сечению значения плот­ ности р? и массовой скорости (gu)f.

1

Приведенную выше систему уравнений для пульсационного движения и осредненного по времени можно записать в виде:

для пульсационного движения

= 4г0 — эквивалентный диаметр).

Для цилиндрического канала при высокочастотных колебаниях

коэффициент будет определяться также по формуле (248),

если в качестве характерного размера использовать эквивалент­

ный диаметр d3 == ~ — d0.

Пульсационное поле поперечной скорости в первом прибли­ жении определим из уравнения неразрывности (235) с учетом гра­ ничных условий (229):

(249)

Для плоского канала в случае высокочастотных колебаний, когда 8К г0, получим

д ( й « “ >— « р [— 0 + 0 '* £ '■ ] ;

* £ £ 7 — г Ы ' - “ PO + O V ] - 1 <250>

Используя поле пульсационных скоростей в первом прибли­ жении, определим среднюю по времени нелинейную функцию

Для этой цели выделим действительную часть в системе (250):

ад (p«)0f dx

(253)

Осредняя по времени выражение (251) и учитывая выраже­

99

Распределение осредненного по времени касательного напря­ жения и скорости по радиусу канала определим посредством инте­ грирования уравнения движения (237). Полагая, что касательное напряжение на стенке канала известно, т. е.

Интегрируя выражение (256) по поперечной площади канала, получим связь между касательным напряжением на поверхности канала и средней скоростью в канале:

100