книги / Периодические кусочно-однородные упругие структуры

/ (z )= jS >" W

- 2Pi?(z) + c-

(16>

тде с — некоторая коястапта.

Из

(12)

и (16) получаем

<

(,) = \

г

(*) +

(£ (z) -

Рг) Г (г) -

2рР (г) +

с.

(17)

Далее проинтегрируем равенство

(17). Имеем

(2) =

1

Р ' (2) + (С(2) -

N

IP (В) + PC (2) + jV (2) <Ь + «

+

Cr

(18)

. Для вычисления интеграла в

(18)

попользуем дифференциальное урав­

нение (П.1.3). Дифференцируя его, находим

2 Г ( г ) =

1 2 Р * ( х ) - £

(19)

Подставляя теперь IP2 (г) из (19)

в (18), получаем окончательно

« * , (г) =

4

(2) + (Е (2) -

Рг) IP (2) +

РС (2) + ( - L

gj +

с)л +

ev

(20)

где с и ci — константы, которые определим ниже.

Формулы

(17),

(20)

можно использовать

для

вычисления

функции

IP !(х),

и се

производной.

Аналогичные соотношения имеют место и для остальных функций си­

стемы

(1).

при переходе от точки z к кон-,

Вычислим приращение фупнцип IP, (2)

труэнтпон ей точке z + P. Используя (20), запишем

a

(1Р1 (2 +

CD,) -

pj (В)]

= .( 6, -

pcoj Р (2) +

Р6Х +

gi +

с) 0 1(

а

[1Р1 (2 -I- ©,) -

рх (2)1 =

(б2 -

Рсо2) р (2) +

Р62 +

/ с

+

\

Ш2.

(21)

СJ

■Сравнивая

(21)

и (9), получаем

aYi = Рб1 ~ ^°>A -

«V2 = Pfi2 ~ ^

“А*

(»)

Формулы

(22) выражают коистапты fv, фигурирующие в условиях ип-

вариаптности

(9), . через

коэффициент

дифференциального

уравнения

Имеют место следующие разложения функций Р4 (г) „ производных от

них в степенные ряды:

IP<ft) (2)

= 2

^

К -

1.2,

* =

0,1,2, ...),

(* +

1)!

(23)

где

i=o

r $

=

[1 +

(— i)b+i+i]

(* +

/ +

l)!gj-+ft+2

(к +

1)! /! 2ft+j~i+3-

(* + / - « >

1),

г$ =

0

(* + / — * < 1),

*£> =

2 '

^

У=

0,5P,

m.n

В частности, при i = 1 получаем разложения

«1в д ю

_

V

(2fc +

2; +

2)! 4 h +2j+322i+1

(2* +

«•

f t

(2fc +

1)! (2/ + D! 22h+^+2

’

(24>

S f'l+1)(*)

_

v

<2* +

V +

2)1 *«*+»i+3g2j

(2* +

2)1

£

(24 -j- 2)1 (2/)! 22ft+2,+2

Ряды (23), (24) абсолютно сходятся

в пруте |z| <m in(|©i|,

|©2|)-

Для определения констант

фигурирующих в (24), подставим в

(18)-

разложения соответствующих функции.

степенях

z,

находим

Сравнивая

коэффициенты при одинаковых

„

а )

а .

г

Г ( 2 / +

7) (2/ + 8)

,

1

1 „

. _

а ^2;+7 “ -

P^sj+o

+

[

12 (2/ +

5)

г 2 (2/ +

5) (2/ + 6) J g*J+*

-

4 ,2, +

5) (2j +

6)

t

(2t + 2) (И +

31

4 =

f25»'

ft=o

Формула (25) дает возможность по известпым значениям

вычислить

величины g£K

а также постоянную с, фигурирующую в

(17).

Для правильных решеток значения g\p

приведены в табл. 1, 2.

Т а б л и ц а

1.

Значения

для

гексагональной

решетки

(tOi = 2,

о» =

2 exp (in /3))

ft

d

2

3

4

5

6

4 И ,

5,656803

6,030184

5,999179

6,000035

5,999999

6,000000

Все остальные g£lJ = 0.

Т а б л и ц а

2 .

Значения

gf**

для

тетрагональной

решоткн

(©1 =

2, ©2 =

2i)

к

1

2

3

4

5

G

„(г)

4,001954

3,999512

4,000122

3,999969

4,000008

4,000000

г4*+з

Все остальные

=

0.

Введем функции

г

г

г

М *) =

-

j 4

& dz> vi (2) =

(z) Az'

l1W =

j v 1(2)dz.

(26).

О

О

О

Интегрирование

соотношения (18)

дает

связь

$ ,(s)

с

эллиптическими

функциями IP (z) л

L(z)

а $1 (z)

=

4

? (z) ~ 4 ®

М -

К

(z) +

i

i /

-

V

-

V

(27)

где а и р заданы и

(15), ci, с2— константы.

Учитывая равенства (26) и (9), получаем

(2 +

©v) -

(2) =

«v£ (2) -

2YV -

? *

(V =

1 ,2 ) ,

(28)

где Yv определены в

( 10), а у* имеют вид

YV = T (?V“V- 6V“V)-

Очевидно,

£1(2)

и

|i(г) — четные,

v((2) — нечетная

функции. Интегри­

руя соотношения (28)

и учитывая это обстоятельство, паходим

vi (z +

®j) ~ vi (*> = ®iv Ф “

Т V

”

V

+ у**'

(29)

4 V 2 ~ Y2Z +

V1 (Z +

Ш2) ~

v (z) = ®2V (Z) “

где

т Г =

2v!

( T - )+ ” “I + T

TJ* =

2*. (-^ -) -

%V ( - £ .) +

*S02 +

i . T,«5 - 4

Функции v(z)

определены в (П.1.13).

Представление функции vi (г)

во всей плоскости z имеет вид

Vl(2) = 2

|Р1П ( 1 _

T ) + ZT

(30)

7П,П

'

В силу теоремы Миттаг-Лефлера ряд в (30)jx o n m ra Риномерно^лю ­

бой замкнуто!! области, не содержащей точек z — г

-

F

руя соотношения

(29), получаем

6i(* +

® i)-6| W e e i6W “

-8 —

2^

lT l

^

(81)

61 (2 +

_

Y2z3

Jfe f- 4 . 7**2 4- Г

,

032)-E (2 ) = “25(z) - - 6

2

+

2

причем

Гх= - “^ ( ~ — J + — 2— + 8

48 з

-

® п

v

r

8

Г2 = -® а Ц

"2“] +

2

00

„(1)

“

„tt)

, 22ft+3

г (z) = - У

I * i ± l z2ft+2,

V, (г) = -

У

- Ъ ± + *

(32)

9.2Л+2

1

,-Гг

12к(2/с + 3}З) 22h+ 2

& з ' г‘гл+4

м*>=-2 (2Л + з) (2к +

4) 22,,+г

V2nC/= 0, Ч- = д\ + д\, v 2n= V 2(v 2"-2).

(1)

.Имеет место общее представление

U = Un (*, I) =

2

[i«Pfc„(г) +

*|>fcn Щ ,

ft-о

(2)

г = Ж| +

ix2,

z = xi —

i i 2,

нялись условия пнвариаитиости функции t/n(z, z)

Un (z + tOv, 7 +

Шv) =

Ur, (3, 7)

(v =

1,

2).

(3)

>C этой целью рассмотрим систему полигармопическпх функции

йГ0

«

; ■ =

р|

W

ю

Л1 и» -

Здесь ^ п_1) (г) = dn _1iP*,/*"- 1 »

Sfe (2) оиределепы

о (П. 2. 1).

Покажем, что функции (4) удовлетворяют условиям инвариантности (3).

Действительно, из (4)

находим

U

( 2 +

®v. 5 +

5 V) =

2

( -

( *

+

%

y - h - Y

kn~ l) (z +

cov)

(g)

(v == 1, 2; «

= 1, 2 , . . . ) .

В силу (П.2.4)

выражение

(5) представим так:

/ я (* +

< V

z + <Hy) = fn (z ,I ) +

2

я—i

m

+

2

_1) w

2

2

( -

1)

s

—1.^4‘

(6)

h—0

m=ft+l

a=ft

Можно показать, что последняя сумма в

(6)

при л = 2, 3, ...,

О ^

/с <

— 2,

/c + l ^ m ^ r e

— 1

обращается

в

нуль.

При

п =

1

функция

Л»(г, г)

совпадает

с f (z) и,

следовательно,

также

удовлетворяет

ус­

ловиям

(3).

стему высших гармоникт

я~ 1

’

/£"> (ж, ~z) =

/п (*. *) = 2

(“ 1)Л4 - 1гп' Ь- ¥

Лп +т- 1) (*).

(7>

ft=0

Искомая полпгармоническая фуикция, удовлетворяющая условиям ин­

вариантности

(3), имеет вид

М

г**)= 2

А

_1_

‘П№<*>У*’*})

л*

[ (т + п - 1)1

т+п“ 1 Т '^НГп-1)1 Ат+п~

т=0 *■

где Ah,

A*t — произвольные постоянные.

Учитывая представления

(4), находим

и п (*•

=

2

[*'Ч п (2) +

«Ч ь, G)].

(9>

где

к=о

.ФЛп(2) =

( - 1 ) П" Л" Ч

- 1

2

S = n -1

^лп(2) =

( - 1 Г ~ л~ Ч -1

2

s=n—1

Формулы (9)

дают решение поставленной задачи. Рассмотрим примеры.

Пусть требуется построить вещественную гармоническую двоякоперио­

дическую функцию. Здесь п =

1 и формулы (4), (7) дают

! х =

1? (*),

/<т) =

ff<m) (г) =

(Ю)

Искомая гармопическая функция имеет вид

=Н* 2

(И)

7П=0

Построим теперь двоякопериодическую бигармоппческую функцию вида

2ф(г) + ф (г). В этом случае п =

2 и формулы (4), (7) дают

./ 2 =

5 р»> (а) -

|р^) (г),

/<"0 =

¥ m+1) (в) - !?<m+1) (z).

(12)

Полагая в

(9) 4 S= Л* (а =

п — 1, п,

п + 1 , . . . ) , получаем окончательно

причем

U2(z, z ) = 2

Re{z«p12(z) +

(M s )},

(13)

* « М ‘----- 2

4

г

^

<»>■

* и »

= 2

(1'-

«*=1

*=1

фог(г + Mv) — фо2(з) *= —cj>vq>i2(z) (v = lt 2).

(14)

U„(z + (ov, 7 + ©v) - Vn(z, 7) — Q(z, 7) (v = 1, 2),

(15)

J «о (0 d I"In

“>(*<*)

I n f i l Z i o l U

‘- ‘оJ

N

(*fc -« o )g (V n -« o )1

= 2 шы

(1)

1п

h=1

+ р 1.«® « - * / , .

— 1 < б о < 4- (7>

Решение уравнения (7) должно удовлетворять дополнительному ус­

ловию

*©<*& = 0.

(8)-

(|) е Я .

(9>

V i — l

Введем в уравнение (7) новую псремепную | = cos O', 0 ^

Ф ^ я, и по­

строил! для искомой функции <7* (|) интерполяционный полином Лаграпжа

по чебышевским узлам

*

lv= cos^v-

^v=

2v— 1

(v= 1, 2, .... H).

ffv = M&v)'

n

С учетом (10) выводим квадратурные форлгулы

}.

я

я—1

| 9 ® ^ =

Д ”

2 cosm^-sinmO1,

(11)

t

v=-l

\

m=l

/

Формула (11) для сингулярного интеграла точна, если

(|) — полином от

| степени не выше и — 1.

Применяя к регулярному интегралу в (7) квадратурную формулу типа.

Гаусса

F(\)dt

«

2

■р (с°= *,)•

V i -

f

V—1

получаем

j Я(I) (60 ~

l)2j+1 4

«

\

2

У* (C0S * ~

C0S *v)2i+1-

(12>

■ 2 ( 4 Г \

(2/ + 1)1 «2П

s=o

(2/ + 1 -

i= о

1

(2Л-Ь 1 ) - - 4/Г J •

L 4 (я +

1)а — (2Л -Ь 1)“ ‘

/о =

/ь /2п = 0

(и = 1, 2, . . . ) ,

. />2П. = 0 (т =

1, 2, ... ) .

3.

Приближенное решение системы интегральных уравнении о продоль­

значим через 21\, длину участка полного сцепления — через 212.

Начиная от­

счет дуги s от пачала трещипы, введем параметризацию: s =

+ pi) па

L' и s = г2(1 +

р2)

на L"

(— 1 с

Pi, р2 ^

1).

Плотность

со (s)

па U

пмеет корневую особенность в окрестпостп вср-

шпп трещины. Следовательно,

для

интегралов

по U

можно

записать

Jq (Р

)

2л

^

Ч.

1 V—1

P il:=

^

cos/raf>v coswft — - 1- j ,

(18)

gp(Pi)

ff(P i) = ® [*

(P j)l’9$ = f .( P iW ) ’

=

cos ft,

P‘v) =

cos ftv,

ftv =

2v — 1

* ( P i) = / I - P; ’

2,i n<0 < ft < л-

f » (« *((> ,. w <*, - Ъ w

№ . P J .

2 [ 1 - ( рм )*]

(19)

Здесь Р „ (Р )— многочлен Лежандра

степепи

га, ге2 — число узлов в

ин­

тервале изменения

переменной Р2, P^v) — корпи

многочлена Лежандра

сте­

пени гаг (Р П2 (р (2^ )

= 0).

С помощью квадратурных формул

типа (18), (19) система иптеграль-