книги / Периодические кусочно-однородные упругие структуры

Обозначим функции (9.5), соответствующие приложенпым в точках t + 7tt<j>i + rca)2 {тп, п ~ 0, ± 1, ...) одинаковым сосредото­ ченным пагрузкам S (t), через Ф{г, t, S {t)} и ЧЧг, t, 5 (f)}.

Согласно (9.5), имеем

ф { » .< .5 ( 0 ) - ^ ф * (* .0 . Ч '{М ,5<<)>-|§Ч '‘ М ). (9.8)

где

Ф* (г, t) = v .(z)- v ( z - t) — za0(t) + av(t),

V * (z,t) = U ( z - t ) - t , l (z)+ PM* [v.(* - t ) - v ( z ) ] ~ *Po(0 + Pi (f).

Пусть нагрузка приложена на конгруэнтных площадках или линиях От» — 0s(mod(Bi, юг). Тогда решение имеет вид

а

(9.9)

0

§ 10. Двоякопериодическис задачи изгиба пластин. Обзор результатов

Впервые задачи этого рода возникли в связи с расчетами различного рода перекрытии — илнг, опирающихся на систему опор. Решения прово­ дились обычно в двойных или одинарных рядах. Так, Л. С. Лейбензон [18] рассмотрел задачу об изгибе равномерной поперечной нагрузкой тонкой плиты, опирающейся на точечпые опоры, образующие прямоугольную сет­ ку периодов. Решение построено в специальных одинарных,рядах с исполь­ зованием фупкции Грина задачи Дирихле для прямоугольной области.

Несколько более общая задача об изгибе плиты, опирающейся на сис­ тему колопп, центры которых образуют параллелограымиую сетку периодов, рассмотрепа в работах В. И. Блоха [2—4]. Решения получены в двойных тригонометрических рядах, для точечных опор они являются точными. Ес­ ли оппраныс происходит но площадкам, то принимается, что реакции рас­ пределены на них равномерно. Следует отметить, что полученные двойные ряды мало пригодны для вычисления усилии в плите, возникающих вбли­ зи опор.

По пути улучшения сходимости рядов идет Мюллер, который дает рас­ чет покрытия, опирающегося па большое чпсло нолонн прямоугольной фор­ мы в плане, расположенных в узлах прямоугольной сетки, а также расчет фундамента под колоннами. Исходные решения для прогиба в двойных три­ гонометрических рядах преобразуются путем сворачивания внутренних сумм, в результате чего автор приходит к одипарпым рядам.

Более естественной представляется схема решения однородных и не­ однородных задач изгиба пластин, использующая методы теории фупкции комплексного переменного. Эта концепция развита в работах И. Н. Векуа

тые решения' задач об пэгибе пластины, опирающейся на двоякоперподичёскую систему точечных опор. В работе [8] рассмотрен изгиб пластины под действием равномерной ноперечпой лагрузки. В [9] построено Р-перио- дпческое фундаментальное решение неоднородного бигармопического урав­ нения, что дало возможность записать решения для произвольной двояко­

91

Г л а в а 3

НАПРЯЖЕНИЯ В РЕГУЛЯРНО ПЕРФОРИРОВАННЫХ АНИЗОТРОПНЫХ ПЛАСТИНАХ

Использование композиционных материалов в современных конструкциях стимулировало развитие краевых задач теории упругости анизотропного тела.

В частности, значение приобрели исследованпя концентрации напряжений у отверстий, ребер, включений в анизотропных пластинах.

Ниже рассматриваются основные граничные задачи теории упругости для .анизотропной среды, ослабленной двоякоперподпческой системой одинаковых отверстий.

§ 1. Постановка осповных граничных задач для анпзотроппой решетки

Рассмотрим неограниченную анизотропную среду, ослабленпую двоякопериодической системой групп непересекающпхся

тый контур с непрерывной по Гельдеру кривизной. Начало коор­ динат поместим в области 2Е>\ (рис. 3.1.1, а).

В области 2D имеют место [17]: уравнения равновесия

93

Средние по толщине пластины смещения щ, и2 и деформацпп е,„ связапы соотношениями

Уравпеппя (1.1) удовлетворяются, если ввести функцию на­ пряжений ^ .(T I, хг) посредством соотношений

Выражая деформации eik из (1.2), (1.5) через функцию на­ пряжений и подставляя их в условие совместности (1.3),

получаем дифференциальное уравнение относительно vF (x j, х2)

a2idA^ - 2a29dld2V + (2aia + aee) 5^ 4' - га^а^Ч' + а^ЧТ - 0.

(1.6)

Разыокнвать решение этого уравнения эллиптического типа удобно в форме [2]

Подставляя функцию (1.7) в уравнение (1.6), приходим к характеристическому уравнению

Корни уравнения (1.8) не могут быть вещественными [17], ниже будем считать, что все они различны.

Значения упругих постоянных и корней pfc (к = 1, 2) для некоторых ортотропных материалов приведены в табл. 3.1.1.

-94

Общее представление вещественного решения уравнения (1.6) таково:

Остальные корпи уравнения (1.8), очевидно, имеют вид tu3= p iT

М4=И2.

Функции si(xi, х2) и z2(xi, ,-г2) осуществляют аффпнньте ото­ бражения кривых н областей в «физической» плоскости z = Х\+ + ix2 на соответствующие множества точек в плоскостях zx н з2

Т а б л и ц а 3.1.1. Упругие постояппые некоторых материалов

дует, что фт(ит) — функция комплексного переменного zm, анали­

< М * 0 « а £ . Ф ь Ы - т ^

9&

«, Ию, U20 — пеществеппые постоянные, характеризующие жест­ кое перемещение пластинки.

Ниже мы рассматриваем поля напряжении, обладающие той же группой симметрии, что и область 2). В аффинных областях 2>in и 2 )(2) характер групповой симметрии пе нарушится, одна­ ко основной период ©2 изменится.

Так, двоякопериодическая в плоскости z решетка с основны­

Таким образом, при соблюдении условий групповой симмет­ рии (1.12) смещения в решетке будут квазипериодпческимп функциями.

Запишем выражения для главного вектора и главного момен­

В случае первой основной задачи будем считать, что на гра­ нице области 2) задана одинаковая в конгруэнтных точках на­ грузка {Хп, У„), причем главный вектор усилий на каждом U (/=■1, 2, .... к) и главный момент на L = U L j равны нулю.

36

Граничное условие, исходя из (1.14) и квазипериодичности Фт(ят), можно представить в форме

щений й\ и Й2, причем потребуем, чтобы главный момент возни­ кающих на L = ULj усилий был равен нулю.

Граничные условия, исходя из квазипериодичности переме­

Помимо задания усилий или перемещений на границе обла­ сти 3), будем предполагать так же как и в изотропном случае, что в решетке имеют место средние напряжения <5ц>, (БцУ и

Вейерштрасса, построенные на периодах ©im) и ©(2"°, а и Ъ опре­ делены в (1.17), Z\j — в (2.1). Постоянные А\ и As должны обес­ печить выполнение статических условий (1.1.17). Начало коор­ динат совместим с точкой z 'e jZ ),.

Приращения функций (2.2) таковы:

с учетом (1.14), имеем после отделения вещественной и мнимой частей в полученных выражениях

7*

где

Покажем, что (2.6) равносильно равенству нулю глапного момента всех сил, действующих на L. Прежде всего, в силу непрерывности функции g (z) на L, (j = 1, 2, ..., 7с), формула (1.45) для главного момента на L принимает вид

100