книги / Обобщенная теория анизотропных оболочек
..pdfили в матричной форме |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
/ |
|
|
|
|
(6.П) |
|
где |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
) |
~ |
^ rns (“ЗГ") |
|
» |
(6. 12) |
||
|
|
\ |
и* |
/ |яХл |
|
|
|||
|
U= (M01,4м4”....... «Г, «Г. «Ту; |
|
|||||||
|
F = (F f, |
F f , F!,®...........Fl"'. F1,"’, F fV ; |
|
||||||
штрих |
обозначает транспонированную матрицу. |
|
|
|
|||||
Предположим, что на части dSu границы dS заданы моменты ком |
|||||||||
понент вектора перемещений |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
4 * V « |
= 0 |
( / - 1 , 2 , 3 ; |
ft 610, |
|
ЛГ», |
(6.13) |
||
а на части dSp — моменты компонент тензора напряжений |
|
||||||||
|
offiva К |
= Л!*' |
и = |
1, 2, 3; |
к g (О, /У|), |
(6.14) |
|||
причем |
имеют место условия |
dSuU dSp = |
dS\ |
dSuП dSp — 0 . |
|
2.Выбор функциональных пространств. Пусть Я — открытая
ограниченная область в R2 с достаточно гладкой границей Г и вектор
r (!i> 1а) |
осуществляет гомеоморфное отображение Я на область 5 сре |
||
динной |
поверхности оболочки |
|
|
|
( i , . y € ^ - > r ( | l t | 2) € 5 c / ? 3. |
(6.15) |
|
При |
исследовании сформулированных |
выше граничных задач бу |
|
дем пользоваться свойствами пространств |
С. Л. Соболева |
[691: |
|
= {u\u £ L p(Q), |
Dau £ L p(Q), |
| c t | < / ) , |
Г6.16) |
|||
рде / ^ |
1; 1 ^ p < |
со; |
|
|
|
|
|
|
D<g“ = |
|
' la l = |
a i + « * «о |
a 2> ° ; |
(617) |
|
U> (Я) — пространство |
вещественных |
функций |
абсолютно |
интегри |
|||
руемых с р-й степенью по области Я. |
|
|
|
||||
Если |
положить |
/ = |
1, р — 2, |
что |
W\ (Я) становится гильберто |
вым пространством, скалярное произведение и норма в котором оп
ределяются |
равенствами |
[72J: |
|
|
|
|
|
|
(“■v)w,(a = |
у |
|
(6.18) |
|
|
0. |
ИUWlF^(D) = |
"V (U- UV ‘(0) * |
(6.19) |
||
Пусть |
|
|
всех |
вещественных бесконечно диф |
||
С°° (Я) — пространство |
||||||
ференцируемых функций |
с компактным носителем в Я. Замыкание |
|||||
функций |
из |
о |
норме |
(6.19) |
обозначается через |
о |
СГ (Я) в |
(Я), |
|||||
W~~1 (Я) — двойственное к |
о *. |
пространство. |
|
|||
(Я) |
|
L- (Q), U?2 (й) |
будем пользоваться |
пространствами |
L2 (S), |
W\ (S). |
||||
Нормы в них определяются |
равенствами [67] |
|
|
|||||
|
|
|
s |
|
|
|
|
(6.20) |
|
|
|
f f a u l ' |
+ lgrad su n d S . |
||||
|
|
|
|
|||||
|
2 |
|
s |
|
|
|
|
|
Для вектор-функций и = |
(uiC), u?\ |
u z\ ..., u\N\ |
и2N), u[N)), |
компо |
||||
ненты которых |
принадлежат к одному из пространств L2 (Й), |
W\ (й), |
||||||
нормы будем выражать формулами |
|
|
|
|
||||
|
|
|
N |
а |
|
|
|
|
|
IU ||L*(U> |
= |
L |
\ |
I «Iм||Ь(0>‘* |
|
|
|
|
|
|
*=0 i=l |
I |
|
(6.21) |
||
|
|
|
N |
л |
|
|||
|
|
|
|
|
||||
|
11 0 < н ) |
= |
^ |
£ |
X |
1 D au[>!) | . (Q), |
|
|
|
w2<iw |
|
Л=0 t=l а=0 |
|
|
где L2 (Й) = [L2(Й)]"; W.J(й) = \W\ (Й)]п, п = 3 (N + 1). Аналогично определим нормы в пространствах L2(S) = [L2 (5)]" и W* (5) = [U^OS)]".
§ 7. ВАРИАЦИОННАЯ ФОРМУЛИРОВКА ЗАДАЧИ
Пусть и}®, F\k) и Р'/0-гладкие функции, удовлетворяющие си стеме уравнений (6 .8) и граничным условиям (6.13), (6.14). Возьмем
произвольную систему функций |
v\k) (i == 1, 2, |
3; k £ [0, |
N]), непре |
||||
рывно дифференцируемых на 5 |
и непрерывных на S [JdS. Умножим |
||||||
уравнения (6.8) |
на |
[k + |
|
просуммируемих по индексу k от |
|||
0 до N и возьмем интеграл по области S. После интегрирования по |
|||||||
частям получим |
выражение |
|
|
|
|
|
|
(i£u, |
v) = |
a (u, v) - |
2 |
U + |
4 - ) f |
v fr f'd s . |
(7.1) |
|
|
|
k=0\ |
1 I ds0 |
|
|
Здесь символ (,) обозначает скалярное произведение в пространстве L2 (S); a (u, v) — билинейная форма вида
a (u, v) = |
(k + -Х-) У hcuueis (и) efj (v) dS |
(7.2) |
(под индексами i, } и l, s подразумевается суммирование от 1 до 3).
Из (7.1) следует равенство
a(u, v) = / (v), |
(7.3) |
|
зз |
в котором
ЯN
I (у) = |
2 2 (* + 4 - ) ( И » № < * s + | |
» W « f c j . |
(7.4) |
Замечание 7Л. К равенству (7.3) можно прийти иным путем, ис |
|||
ходя из уравнений (6.1) с учетом соотношений (6.4) — (6 .6), |
|
||
Допустим, |
что Ги и Гр части границы Г области Q, которые |
при |
|
отображении г |
переходят в dSu и dSp соответственно. Пусть / - > £ « = |
||
= ха (0 (а = |
1» 2) — параметрическое уравнение кривой Г. Тогда |
||
элемент длины дуги dl границы dS определяется |
равенством |
|
* - |
] / А>( P - f + А‘ (P - J di■ |
р -5> |
|
и линейная форма f (v) примет вид |
|
|
|
/(v>= 2 |
2 (* + -г) (И |
Va абА + |
|
|
|
|
(7.6) |
,г р |
|
/ |
|
где V а = АгЛ2, |
|
задачи, |
эквивалентной |
Перейдем к формулировке вариационной |
граничной задаче (6.8), (6.13), (6.14). Важное значение при этом при
надлежит множеству кинематически допустимых функций [58]. Назо
вем вектор |
v = |
(EJJ0>, |
и?0), 0з°\ |
.... v[N), v{2N\ |
v(3 ]) кинематически допус |
||||||||
тимым, если он |
удовлетворяет условиям |
|
|
|
|
|
|||||||
v£H^(Q), |
v f] = |
0 |
(L = |
1, 2, |
3; |
JfeGlO.W]) |
на |
Г, |
(7.7) |
||||
Введем |
пространство функций |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
f v | v |
= |
(ol0), o p , o f ........... « Г . « Г |
« D . |
|
(7.8) |
|||||||
|
V = |
v?]£W \ (Й), |
v\k) = 0 |
на |
|
Гц |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
||||||||
с нормой, |
определяемой равенством |
|
|
|
|
|
|
||||||
|
IV ||v = |
3 |
N |
I |
|
|
|
|
dt)W |
|
|
|
|
|
2 |
2 |
6 *(G) + |
2 |
|
|
|
(7.9) |
|||||
|
|
3^a |
|
|
|||||||||
|
|
|
{=1 k=0 |
|
|
|
a^l II |
|
|
|
|||
Предполагая F\k)^ L 2(Q), |
Pt0 £ L2 (Гр) и |
Cijts £ L°° (Q), |
продолжим |
||||||||||
равенство (7.3) по непрерывности |
на |
u, |
v f V. Тогда |
приходим к |
|||||||||
следующей |
задаче: найти |
вектор-функцию u £ V такую, |
что |
|
|||||||||
|
|
|
а (и, |
v) = /(v), |
V v £ V. |
|
|
(7.10) |
Задачу (7.10) можно сформулировать в рамках классического функцио нального анализа. Для F £ L2 (Q), Р £ L2 (Гр), сци £ L00 (Й) найти
вектор-функцию u £ V такую, которая минимизирует функционал [131]:
J (u) = inf J (v), |
(7.11) |
vey |
|
где |
|
J{v) = -|-а (и , v) — /(v). |
(7.12) |
§ 8. УСЛОВИЯ ЕДИНСТВЕННОС1И РЕШЕНИЯ ГРАНИЧНЫХ ЗАДАЧ
Вводя обозначения |
|
|
|
|
|
т |
, е?\ |
если |
I = |
/; |
(8.1) |
|
I (А) |
если |
• |
• |
|
|
eb-t-i, |
i Ф |
/, |
|
и принимая во внимание равенства (1.29), квадратичную форму а (и, и) методом Лагранжа [35] преобразуем к виду
Гх
а (и, и) — £ |
(* + 4 ") |
И { ~ - fcutf* (и) + |
с12е(к) (и) + си е[к) (и) + |
-1- cu e\ki |
jfi) |
с*> |
1 |
(и) + с1ЬеТ |
(и) + с10еГ (и)]2+ |
<?цД22 1Л,Аи (U) + |
|
"Ь |
(и) + |
(и) + A26e5f,(u) (и) + A2ee6ft>(и)]2 + |
+- я- 1л ' [^8зез') (и) Н- Ад4^ (и) -{-Азь^ + Азебб (и)] +
^22^33
|
1 |
[A44e f)(и) + |
( к ) |
+ |
Д33Д44 |
Д45е5г' (и) + Л46ебК>(и)]2 + |
|
|
|
+ -А - |
(и) + |
(U)]* + |
A |
lep (и)1!1 ds, |
(8.2) |
||||
^44^55 |
|
|
|
|
|
Дб5 |
|
J |
|
где |
|
|
С\5 |
|
|
|
|
|
|
|
*2s |
С11 |
|
|
|
|
|
|
|
|
С 21 |
, |
S € |
1 2 , 6 1: |
|
|
|||
|
|
С2$ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
с и |
С12 |
Си |
|
|
|
|
|
|
^3s |
С21 |
С22 |
C2s |
» |
|
[ 3 , |
6 1; |
|
|
|
С 3] |
С32 |
C3s |
• |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(8.3) |
|
|
С11 |
С12 |
|
|
С10 |
|
|
|
|
Аоя — |
&21 |
С22 |
|
|
с 2е |
♦ |
|
|
|
|
|
« 4 |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
СВ1 |
СВ2 |
|
|
^66 |
|
|
|
При этом предполагается, что выполняются неравенства |
|
||||||||
C |
i s 0, AfS> 3 |
(/, |
s — |
1, 2, |
, , , , |
6). |
|
Допустим, что вектор-функция и представляет собой решение од
нородной системы уравнений. (6.8), (F f] = |
0) и |
предположим, что мо |
|||
менты |
внешних усилий |
заданные на границе dSp, |
равны нулю. |
||
Тогда |
имеем / (и) = 0 |
и, следовательно, |
а (и, |
и) = 0. |
Принимая во |
внимание значение квадратичной форйы (8.2) и условия (8.4), полу чаем такие равенства:
e[f (и)- 0 (i. / = 1, 2 , 3; кс (0. N]). |
(8.5) |
Отсюда вытекает теорема о перемещении оболочки как жесткого тела. Теорема 8.1. При выполнении равенств кащ = 0 (а = 1, 2) сле
дующие два условия эквивалентны:
1) е!?’ (и) = 0;
(8.6)
2) 2и = и0 -}- © Д Г,
где и0 и © — постоянные векторы из /?3; Д — знак внешнего произ ведения.
Докажем сначала, что из условия 2) вытекает условие 1). Опре делим по формулам (2.8) моменты перемещений В результате получим равенства
|
|
|
|
|
|
|
и(0) = |
и0 + © А |
г; |
|
|
|
|
|
(8.7) |
||||
|
|
|
|
|
|
|
u<« = |
0 |
(k = |
1, |
2, |
. . . , |
N). |
|
|
(8.8) |
|||
Из (8.8) |
следует* что |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
и\к) = |
|
u f = |
u f = |
0 |
|
(k = |
1, |
2, . . . , АО. |
|
(8.9) |
||||||
Пусть |
|
и?, |
«20), иТ — составляющие вектора |
и<°) по |
ортонорми- |
||||||||||||||
рованному |
базису elt |
|
е2, |
еа поверхности S. Тогда |
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
+ и Ъ \ + |
«з0)е3 = |
и0 + |
© А г. |
|
(8.10) |
||||||
Дифференцируя (8.10) по координатам £а (а = |
1» 2) и считая при этом, |
||||||||||||||||||
что и0, © постоянные векторы, будем иметь |
|
|
|
|
|
||||||||||||||
боа^а “Н |
ж |
|
|
|
Ж |
— |
|
|
(а» Р — 1» 0&^Р), |
(8.1 1) |
|||||||||
|
|
-j- 6язв3 — ® А |
|
||||||||||||||||
где |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
">) _ |
|
1 |
ч |
0> |
+ |
I |
|
дАа |
„(О) |
|
|
|
|||||
|
|
ьаа — ^ |
|
а |
|
а |
А<хА& |
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
д%а |
' |
|
|
|
|
|
|
|||||
/П, |
I |
ди№ |
|
|
|
|
1 |
|
дА„ |
(П, |
|
|
|
|
1 |
ди{® |
. |
,т |
|
ва6==“ |
|
Ж |
|
|
|
|
A ^A ^~ d ^~ Ua; |
Ш = |
|
|
|
(8.12) |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
(а, |
Р = 1, |
2; |
|
ct |
Р). |
|
|
|
|
||
Отсюда получаем условия |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
ё£2с = |
0; |
|
— 0; |
е{? = ©3; |
Й? = |
~ © 3. |
|
(8.13) |
|||||||||
Складывая |
два |
последних |
равенства |
(8.13), |
приходим к |
тождеству |
Таким образом,- из выполнения равенств (8.9) и (8.13), (8,14) соглас но формулам (6.5), (6.6) следует, что
ер |
(и) |
= |
0, VJfeelO.JV]. |
(8.15) |
Наоборот, если ер (и) = |
0 |
(/, |
j = 1, 2, 3) V k£ [О, Л/'] и |
= О, |
то вектор и представим в виде второго равенства (8.6). В самом деле,
из равенств |
е& (и) = 0 , |
Vfc£[0, |
N], |
согласно формулам |
(6.5), (6.6) |
||||||||
находим |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= u{3N) = |
0. |
|
(8.16) |
|
Условия e{al (и) = |
0 (а = |
1, 2, k = |
N, N — 1,..., 0) |
с учетом значе |
|||||||||
ний (8.16) |
приводят при ka Ф 0 к выполнению равенств |
|
|||||||||||
|
|
|
|
u&'=t4 ? = |
|
= и Т = |
0; |
|
(8.17) |
||||
|
|
|
|
|
|
|
Й |
= |
0. |
|
|
|
(8.18) |
Наконец, из условий 4 $ |
(и) = |
0, V Аг GЮ, N ] получаем равенства |
|||||||||||
|
|
|
|
;{°>=;<°2>= |
0; |
|
— 0. |
|
(8.19) |
||||
Введем |
вектор |
© = |
© ^ |
+ |
©2е2 -+* о)3е3 с |
компонентами |
|||||||
|
|
ди{0} |
7e2M2°4 |
©в = |
— |
|
|
|
|
|
|
||
0)1 “ |
а2 |
|
■+ |
|
|
|
|
|
(8.20) |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
а40) |
|
1 |
дА |
|
|
duf |
-— |
дА* ««” |
||
“ з “ |
2 I |
/I, |
<?£, |
________L „<Щ____!_ |
|
+ |
|||||||
а ха 2 |
ag2 |
и' |
а 3 |
|
А,А3 |
|
и воспользуемся следующей леммой:
Лемма 8.!. Вектор © с компонентами (8.20) при условии &а©3 = 0 (а = 1, 2) является постоянным (в частности,- нулевым, если каф 0).
Для доказательства леммы будем исходить из утверждения [1331, что распределение, в котором все частные производные равны нулю,
постоянная функция. Продифференцировав |
ю |
по |
координатам £а, |
получим два вектора, компоненты которых |
можно |
выразить через |
|
ka©з, и составляющие тензора деформаций |
eai |
С учетом принятого |
допущения они равны нулю и таким образом ю — постоянный вектор. Лемма 8.2. Вектор и,0>— © Д г — постоянный Д о к а з а т е л ь с т в о . Нетрудно проверить, что все частные
производные этого вектора равны нулю и, следовательно, он является постоянным. Обозначая этот вектор через 2и0, получаем второе ра венство (8.6).
Рассмотрим случай, когда срединная поверхность оболочки являет ся плоскостью и, следовательно, kx = k2 = 0. Введем замену функций
Тогда компоненты деформаций y\f определяются формулами
v\f — |
as, |
к Л и 0У>. |
«!*> _ |
^ |
и дЛ |
'<». |
||||
тЬ “ |
п as, |
• |
1 » |
- T g - |
ЛЖ |
аг • |
||||
|
dop |
+ |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
<э|а |
|
|
|
|
<8-22> |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
,<»>= |
1 f |
а»<А> |
, |
./(ft) |
ь |
dh |
|
|
|
|
ot,r |
|
Уз |
( « = 1, |
2); |
||||||
Ta3 |
|
* a |
|
+ v r - h |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
T& = |
*?*, |
|
|
|
|
в которыл |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
[■ *?= ч |
|
|
|
|
|
|||
|
u?A) = |
|
s |
(2fe -f |
4s + |
3) /I2sy}ft+2i+"; |
|
|||
|
|
|
s = 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
o?e = |
|
£ |
(2ft + 4s + |
1)ft%S*+2!\ |
(8.23) |
||||
|
|
|
|
S=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
,№) |
квадратичная форма, очевидно, отличает |
|||||
Построенная при помощи y\f |
ся от формы (8.2) лишь множителем №к. Отсюда получаем аналогич
ную теорему. |
|
Теорема 8.2. Следующие |
два условия эквивалентны: |
1 ) Y$’ (v) = 0, Vft<=[0, |
Л/]; |
|
(8.24) |
2)v = - i - ; iw + - Y - P ,© J " 1.
ЛЛ
где v*0-' и v<l) — векторы из R* с компонентами вида |
|
||||||||
vi0) = |
— |
+ |
ах; |
v f = |
|
+ а2; |
v(30>= |
— b2Bt -f bx\ 2 -f b3\ |
|
%1) = |
± Ь 2; |
---------4-*ж; |
Й’>= 0; |
|
(8.25) |
||||
|
|
||||||||
a, alt |
а2 и |
Ьи |
Ь2, |
Ь3 — произвольные вещественные |
постоянные. |
||||
Д о к а з а т е л ь с т в о . |
Определяя из второго |
равенства (8.24) |
|||||||
моменты векторов |
перемещений |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
v(0>= |
Зре, + |
tp e a + |
Зре3; |
|
|
|
|
|
|
v(l> = |
v [ \ + |
Й1)е2 + |
v^e,; |
(8.26) |
|
|
|
|
|
v<*> = |
О, |
V& £[2, ЛГ], |
|
далее моменты деформаций yjf (v), приходим к первому условию
Пусть vlf (v) — 0, |
|
[О, N\, Тогда аналогично описанному выше |
||||||||||
способу |
получаем равенства |
|
|
|
|
|
|
|
||||
v f |
= Ot |
V k £ [ l,N ] ; |
о^ = 0 |
|
( а * |
1 ,2 ), |
V k g [2, |
N]\ (8.27) |
||||
|
< |
- |
0, |
<°> |
+г |
= 0; |
^ |
+ |
3 ,S>= 0; |
|||
|
dla |
|||||||||||
|
ft# |
|
ft# |
ft# |
|
|
|
|
|
|
(8.28) |
|
|
= 0 ; |
0 |
(а, |
0 = 1 , |
2; |
а=£0). |
||||||
|
а |
-Щ— + - ^ |— = |
||||||||||
Из (8.27) следует, |
что |
v(k) = 0, V |
£ |
[2, |
N], |
Равенства |
(8.28) вы |
|||||
полняются, если составляющие векторов v(0) и v(l) по |
координатному |
|||||||||||
базису е, имеют вид (8.25). Таким образом, v = |
|
v(0) |
|
(£) у<1К |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
л. |
|
г * |
|
|
|
Отождествляя v<0) и v,l) соответственно с v<0) и v(l), получаем второе условие (8.24).
§ 9. ОЦЕНКА ПОТЕНЦИАЛЬНОЙ ЭНЕРГИИ ОБОЛОЧКИ
При изучении существования решений граничных задач важное значение принадлежит вопросу положительной определенности квад
ратичной формы а (и, |
и). Для ее оценки сделаем несколько предпо |
|||||
ложений относительно |
областей Q, |
5 |
и геометрических параметров |
|||
оболочки. |
|
|
|
|
ограниченная область из R2 |
|
Допустим, |
что |
1) |
Q — открытая |
|||
с кусочно-гладкой границей Г; 2) координатная поверхность S опре |
||||||
деляется при |
помощи |
отображения |
г £ (С3 (Q))3; 3) параметры Аа, ka |
|||
вместе со своими частными производными по |
являются непрерыв |
|||||
ными функциями на множестве Q, причем существуют две положи |
||||||
тельные постоянные |
р., > 0 и р2 > |
0 |
такие, |
что |
|
(Alt As, V а |
= |
/V l2) > | i 2. |
|
||
Кроме того, выделим отдельно |
неравенство |
|
||||
h I; |
dkP |
| < е 0 |
(< * ,0 = 1 .2 ), |
(9.2) |
||
3L |
||||||
где 0 < е 0^ - н1—, |
|
|
|
|
||
R0 = const > 0 ; |
4) |
полутолщина |
оболочки h = |
= Л (li, i 2) — ограниченная на Q функция вместе со своими частными производными, т. е.
0 < A < f c G i, У < Л 1;
max / |
1 |
dh |
|
(9.3) |
|
f |
- я |
||
Ei,S.en \ |
|
|
г | ) - * - |
Рассмотрим случай, |
когда |
Ги = |
Г |
и, |
следовательно, |
V — V0 ~ |
||||||||
о |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= [W2 (Q)]n. Имеет вместо |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ги |
|
|||
Теорема 9.1. Если выполнены условия |
1) — 4) и |
имеет поло |
||||||||||||
жительную меру, |
то существует постоянная с0 > 0 такая, |
что |
||||||||||||
|
|
|
|
а(u, |
u )> /7 0||u|v.. |
|
|
(9.4) |
||||||
Д о к а з а т е л ь с т в о ; |
На |
основе |
неравенства |
(6.7) |
квадратич |
|||||||||
ную |
форму а (и, |
и) можно |
оценить |
таким |
образом: |
|
|
|||||||
|
|
|
|
^ (u .-tO ^ C jE sM , |
|
|
(9.5) |
|||||||
где |
Cj = -g- h0jx; |
Е\ (и) — функционал |
вида |
|
|
|
||||||||
|
|
Й (0 ) |
= |
И |
( 2 |
S |
I«!/’(«) |2)d S . |
|
(9.6) |
|||||
|
|
|
|
S |
\ * = 0 i . j = l |
|
|
|
/ |
|
|
|||
Разложим вектор-функцию |
и |
на |
прямую |
сумму |
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
и = |
и © |
и, |
|
|
|
|
(9.7) |
||
где и и и представим прямыми суммами |
|
|
|
|
||||||||||
|
~~ |
|
N |
|
|
|
|
|
|
N |
|
|
|
(9.8) |
|
|
U = |
£ |
Ф и(Л); |
u |
= |
S |
® U<*>. |
|
|||||
|
|
— |
к=0 |
|
~ |
|
|
- |
|
k=0 |
|
|
|
|
Здесь и(А) и и(А> — вектор-функции |
вида |
|
|
|
|
|||||||||
|
|
и<°> = |
(up, аР , |
0...........О, |
0, |
0); |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(9.9) |
и |
|
!!<"> = (0, |
О, |
О, |
|
|
Л |
|
0) |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
и<°> = |
(О, |
О, |
u |
f , |
|
|
О, |
О, |
0); |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(9.10) |
|
|
u<w>= |
(0, |
0, |
0 |
|
|
0, 0, i i f ) |
|
|
||||
Очевидно, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 и |L*(S) — 1 u ||L«(S) + |
|| u ||L*(S); |
|
(9.11) |
|||||||||
|
|
Иu Hw|(S) “ |
II H-Hw^sj "I" II “ HwJ(S)» |
|
|
а также
Iu 1L«(S) |
2 I u(Al) ||L*(5); |
IIu I|L*(.?> = 2 |
IIц(Л> IIL«(S); |
|
A=0' - |
- |
- |
^J?llwJ(Sj |
A=0 |
|
|
|
|
|