книги / Обобщенная теория анизотропных оболочек
..pdfДДдо — |
i ^ f -Д W+ |
525cf f '■w = |
0; |
(25.26) |
|
с44Л2 |
СцЛ4 |
|
|
|
45с> |
Ю5с^ |
|
|
ДД© — |
со = |
О, |
|
|
'<МДсо -f- |
|
<W*a
эквивалентные системе (25.16) при р = const.
§ 26. ФОРМУЛИРОВКА ГРАНИЧНЫХ ЗАДАЧ
Поскольку действие нормальных к поверхности пластины внешних нагрузок в основном связано с задачами изгиба пластин, то рассмотрим лишь эти задачи. Наиболее часто встречаются задачи изгиба пластин с жестко защемленным, шарнирно опертым и свободным краями. Рас смотрим их подробнее.
1. Случай приближения N = |
1. Пусть |
— частное решение урав |
нения (25.5). Тогда |
|
|
« = |
мБ + н0, |
(26.1) |
где «Б — решение бигармонического уравнения, которое в соответст вии с результатами § 18 примем равным
иБ = Ф (г) + Щ Г)-----\IF (г) + гЩ ] .
Здесь Ф (z), F (2) — произвольные голоморфные функции.
Из формул (25.3) определим
2h |
(/ |
да |
^ |
cn„h2 |
9Аи |
3(ь да> ^, |
c14/i„ |
др |
и+ _ |
\ |
Л? |
1 |
Зс44 |
дг |
^ дг |
Зс44 |
дг |
3 |
||||||||
|
\ д* |
|
|
|
|
|
|
(26.2)
(26.3)
Подставляя в (26.3) значения функции и из (26.1), получаем
ий) = h |
(г) -f- zF' (г) + |
v\h2F"(z) — |
Ф' (г) + i -^=-J -b huff, |
(26.4) |
||||
_ |
4cn |
|
|
|
|
|
|
|
где vt = |
Зс« ’ |
|
|
|
|
|
|
|
|
цИ) — ___ L J b . |
2clf/ta |
9Ац0 |
2ct4ft |
X9/7 . |
(26.5) |
||
|
“+ |
3 |
aJ |
9c44 |
Лг |
9C44 |
дг |
|
По данному решению моменты напряжений определяются равен |
||||||||
ствами |
|
|
|
|
|
|
|
|
off + off = 4 (Од* + Ов.) A2 |
(2) + Р' (2)] + |
ч+ off: |
|
|||||
off - |
off - |
2<> = |
4 c„ft2 f i P (г ) + v ^ F * ( 2) - |
-§- Ф ” ( 2) - |
|
|||
|
|
- f |
|
|
o f f - 2off; |
|
(26.6) |
o ? = 3cu h [vI/i’F M + i - |p ] + 5 |
$ . |
< + og = - + С«ЛД«„);
Ss? - Sg- 2W‘>---- -5^ - -5- (“« + - 3^-^ + - i : ") •• (26.7)
»? = — % г - r <p + 3c‘*/l4“”)-
Согласно формулам (22.8) и (26.6), (26.7) находим
Мта + Ш |
„ =2с0/13 |
(г)IF '+ F(55i - |
|
|
- [IK W + Л |
v - W •— f V |
(г) |
|
|
^ |
± ^ |
( ^ + ^ i r ) + |
- f S - [“• + |
|
|
6с< |
|
|
|
+ |
4 - v ^ (A u 0 + 1 5 - ) ] ( § ) ’}; |
(26.8) |
Qv« = - - ^ - ^ - { < o + iv;ASi f ' w - f 7(55]) -
2ciiA3
r ^ o + i f r ) -
Рассмотрим значения главного вектора и главного момента всех сил, приложенных к контуру пластины. Согласно формулам (22.28) получаем следующие условия:
v*F (х) — v+xF' (т) + v'-xF' (т) — vlh*F' (т) + -|~Ф ' (т).—
- |
^ |
+ |
^ x 4 c o = /<» + |
^ |
+ |
Ci; |
|
(26.9) |
|
|
и + |
|
[F (т) - |
Р Щ |
= № + |
С, |
|
|
|
где С и Сх — произвольные постоянные; |
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
о |
|
|
|
|
|
|
Р + Ч ¥ - ^ - & [ ь ь + - & ) * + |
|
||||||||
I |
|
5 |
cia + св« |
(а , |
р |
\ |
dx |
, |
|
J^L С/_ |
|
||||||||
+ |
з |
л |
4с„ |
l4"» + |
|
Ц Т + |
|
||
+-&■ [“ • + - Гv‘h‘ К |
+ - 6 - )] -гг-} |
(26.10) |
|||||||
|
( к + - & ) * .
Рассмотрим упомянутые ранее граничные условия.
Жестко защемленный край. В этом случае
|
|
|
|
и ^ - О ; |
и? = 0, |
d 0, = 0 |
|
(26.11) |
||||||
и, следовательно, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
—т , ■; . . да |
|
(26.12) |
|||
F (X) + т^ТГ) + V .W J 3 - - § - ® 7F> + '-ff- = |
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
3 |
Г-, |
|
тF (T)J = — и0. |
|
|
|||
|
Ф (т) + Ф (т)-----[тF (т) + |
|
|
|||||||||||
Шарнирно опертый |
край. Имеем |
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
и^ — 0; |
Alvs “}■iMvv =* О, |
|
(26.13) |
||||||||
Отсюда |
следуют |
условия |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
v*F (т) — v+xf' (т) + |
v lx F' (т) — \*h2F" (т) -f |
Ф' (т) — |
||||||||||||
|
— F |
di |
4- -тй- ™ = f\l) + |
W |
+ const; |
|
(26.14) |
|||||||
|
|
|
^ |
4h* |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
Re |
Ф (т)----- -- тF (т) |
— |
2 М0* |
|
|
||||||
Свободный край. Для свободного края имеем |
|
|
||||||||||||
|
|
|
Mvs -f iMw — 0, |
Qva = |
0. |
|
(26.15) |
|||||||
Условия (26.15) эквивалентны условиям (26.9). |
|
|
||||||||||||
2. Приближение N = 2. Обозначим через |
w общее решение одно |
|||||||||||||
родного, |
а через |
w0 — частное решение |
неоднородного уравнения |
|||||||||||
(25.13). |
Тогда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
W = W+ |
WQ, |
|
|
|
|
(26.16) |
||
и из уравнения (25.11) следует, |
что |
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
и = иь -f |
-У ^ 4 ■w + |
и, |
|
(26.17) |
||||||
где ыБ — бигармоническая |
функция, |
а |
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
н = |
н0 + |
С1ВС<4 |
О»о, |
|
|
(26.18) |
||||
|
|
|
|
осцс83 |
|
|
||||||||
причем |
и0 — частное решение |
уравнения |
|
|
|
|
||||||||
|
ДЛип = |
|
3Р |
|
|
|
1 — |
с ^ |
(Cfa+ 5a?fi) |
Др. |
(26.19) |
|||
|
ccu № |
|
cu h |
|
5c2c‘f ,4 |
|||||||||
|
|
|
|
|
||||||||||
Принимая мБ в виде (26.2), найдем значения функций а+ |
и ai2,j |
|||||||||||||
|
< ’ = / i [ f ( 2) + г П г ) + |
^ |
‘F lz ) - |
-f - ® 4 i)] - |
|
|
|
_ |
|
|
З^ц^зз |
J * L |
j L i h ^ L + |
Ш |
' , |
|
|
|
(26.20) |
|
|
|
|
|
|
dz |
|
dz |
|
' ■1 |
|
|
|
|
|
|
|
t i f = |
- |
v 2’/i2 (F' (2) + F 4 z )\ + |
W + |
u f , |
|
|
||||||
где vj = |
|
v* = |
- |
2cj. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
13 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
3C44 |
2 |
|
5c, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
1 |
|
|
|
33 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
u[J! = |
| - - | - ( ио+ ^ - Д |
и 0 + |
-й й 1 - |
1 ^ |
* |
v |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
CC11C33 |
®0 "b |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3c:AA |
|
(26.21) |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ц М - ю |
I |
eH * ‘ / л ц |
I |
4 g - V |
T I . - I |
|
W |
|
l |
|
||||
“3 - ^ |
+ |
I5c„ |
+ |
c„h ) |
’ 11 |
|
|
c c „c „ |
|
|||||
По данному решению определяем моменты напряжений и соответ |
||||||||||||||
ствующие |
граничные условия. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
3. |
Приближение |
N — 3. |
Пусть |
w = |
w -Ь до0, |
где |
w — общее |
решение однородного, a w0 — частное решение неоднородного уравне
ния (25.22). Тогда |
из уравнения |
(25.23) |
имеем |
|
|
||||
|
|
c.Cj./i2 |
А |
|
Зс^^Саз |
гу |
|
|
|
п |
I |
|
17с^4 |
л |
(26.22) |
||||
“ = “ |
+ |
i ^ |
T |
A“’--------- ^ ------- »+«Р . |
|||||
|
|
|
|
|
|
7^4 |
|
|
|
где |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Л7(Л |
|
I |
СоСп Да |
. |
ЗСгС^Сзз — |
7 ^ 4 |
(26.23) |
||
< = |
“0 + |
|
|
Д^о----------- ~ ---------щ о» |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
к |
|
|
причем и0— частное решение неоднородного бигармонического урав
нения
|
З р |
|
6с2с п сЭз — ci3c44 д р |
|
CjCn a ah |
|
|||||
л д“« = |
«..*• |
|
5сс„СаЛ*'1 |
|
1 |
35с,2, ЛЛ/5' |
(26.24) |
||||
Согласно формулам |
(26.22), (26.23) и (26.20) моменты компонент век |
||||||||||
тора перемещений (25.18) в комплексной форме примут вид |
|
||||||||||
«? = |
Ф |
|
« |
+ |
з Р Й |
+ v I^ F Iij - |
4 - $ 4 5 - |
|
|||
_2су__аш_ , |
2Cj3ft8 |
ЗДда |
|
|
|
|
|||||
|
7с„ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
и? = |
— v^*F"(z) + |
2 (Зсе^сяя— 7с |4) Л |
а© |
|
|||||||
|
49^4 |
|
дг |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
2c„fa3 |
|
адш |
зш |
аш |
, |
|
ад© |
+ |
(26.25) |
||
245с, |
|
dz |
|
|
F- + |
7с,44 |
дг |
||||
|
44 |
|
|
|
дг |
|
|
|
|||
, ( 0) |
Ф (z) + |
Ф (г) — - |- [zf (г) + zF (z)] + |
|
||||||||
“aJ= |
|
||||||||||
|
_j_ |
ci cxiha |
д да__ |
Зс2сп сяа 7г^4 |
^ + |
из0>; |
|
||||
|
|
35сс, |
|
|
|
7с2 |
|
|
|||
|
|
|
•44 |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
,с44 |
|
|
|
|
« f |
= |
_ |
v2h> [F* (г) + |
F' (г)] + |
Ш+ |
й 2’, |
|
_2 |
ейр |
о ,, |
зда<°> |
2KJ ^ |
+ 2asA « -^ L + |
||
и ¥ |
дг |
2ah2 |
3 |
||||
3 |
|
дг |
dz |
|
|
dz |
|
Kip |
|
|
|
|
|
+ |
«э |
А(3) |
|
|
|
|
|
|
|
- * ( ■ |
dz |
|
d2 |
dz |
|
CK dz |
|
|
|
|
|
|
|
u f = dtf&uf* + d^o — dJFAw0 +
2oLjh dp .
CU dz
J).’
(26.26)
По данному решению определяем моменты напряжений и соответ
ствующие граничные |
условия. |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
4. |
|
Примеры. В качестве примера рассмотрим задачу изгиба круг |
|||||||||||
лой жестко защемленной пластины, находящейся |
под действием рав |
||||||||||||
номерно |
распределенной |
|
поверхностной |
нагрузки |
интенсивности |
||||||||
q(q = |
— Р33 = |
const). |
Вводя полярную систему |
координат г, |
ср, за |
||||||||
пишем частное |
решение |
уравнения |
(25.5) |
таким |
образом: |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
«о |
3? |
|
|
|
|
(26.27) |
|
|
|
|
|
|
|
64сиМ Z2Z2. |
|
|
|
|
|||
Тогда |
имеем |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Й°> |
|
Л<1) |
16cuh* •Z2Z |
6c44h 2 |
. |
(26.28) |
|||||
|
|
|
и+’ = |
||||||||||
Представим |
голоморфные функции F (z), Ф (z) в виде |
|
|||||||||||
|
|
|
F (z)= |
J |
атгт, |
Ф(г) = |
jj |
bmi■т |
|
(26.29) |
|||
|
|
|
|
т = 1 |
|
|
т«=0 |
|
|
|
|
||
а вещественное решение уравнения (25.6) — следующим образом: |
|||||||||||||
|
|
|
|
ш = |
J |
Cm/m (|хр) |
|
|
|
|
(26.30) |
||
|
|
|
|
|
|
m = —оо |
|
|
|
|
|
|
|
где /т (до) — модифицированная |
функция |
Бесселя; |
р = -^ -и ; р ** |
||||||||||
х= |
; R — радиус пластины. |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Если |
внести (26.28) |
и (26.29), |
(26.30) в граничные условия (26.12), |
то получим относительно неизвестных коэффициентов алгебраическую систему уравнений. Отличные от нуля коэффициенты определяются из равенств
ai + ai "Ь ~2^г Л (р) Оо == — |
и+ (R) е ,ф; |
|
|
|
(26.31) |
^о + ^о-----2~ |
“Ь ai) = |
— ^ (^)* |
По данным функциям находим компоненты вектора перемещений.
Так, прогиб к3 - ' - 7г кз0) и радиальное перемещение кг = |
Рг (С) и¥ |
пластины определяются формулами
« з = |
— |
|
3<7 |
|
|
|
|
|
|
|
|||
128(4,Л* |
|
|
|
|
|
|
(26.32) |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
В случае приближения # = 2 частное решение имеет вид |
|||||||||||||
S P - |
|
Зс88? |
z*z2; |
|
(1)________С33<? «25__ |
Я |
г; |
||||||
64ccu c33/i3 |
|
и+' |
16£C„Cgg |
|
6Сц/( |
||||||||
|
(2) _ |
|
|
gfs? |
- |
, 5сс11свз |
(С,д-f- С41) -J- ^3^44 |
|
(26.33) |
||||
|
|
|
|
|
|||||||||
и у = |
^OcCjjCjg/i3 |
^ Н-----------, е . ".2- .-----------Я- |
|
||||||||||
|
|
|
|
|
1 |
75сс^с^си |
|
|
|
||||
Присоединяя |
к (26.29), |
(26.30) функцию |
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
W = |
2 |
c j m(Yip) eim* , |
|
|
(26.34) |
|||
D |
|
|
|
|
|
m =—oo |
|
|
|
|
|
||
k, |
|
относительно |
неизвестных |
коэффициентов получаем |
|||||||||
где Yi = |
|
||||||||||||
следующую систему уравнений: |
|
|
|
|
|
||||||||
« . + i - - |
е |
т |
|
г |
'« (* ) с . • - - ж |
/г м |
с » - — |
т |
“ ¥ |
<*> е_ "ф; |
|||
*0 + ь„ - |
4 |
|
|
(а. + а,) + ^ 4 - '• (Vi)с. = - |
Sp (Л); |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
“ |
|
|
|
|
(26.35) |
|
|
- |
|
i£ft* (% + |
о,) + С0/ 0 (Tl) = |
- a? (R). |
|
|
Определив искомые функции, находим компоненты напряженно-дефор мированного состояния пластины. Аналогичным способом получаем решения задачи для последующих приближений. Результаты вычисле ний представлены в таблице.
Теория Трехмерная
<}R -4,543
И. |
Н. Векуа |
Классическая |
ЛГ = |
I—4,004 |
—2,747 |
N = |
2—4,309 |
|
N = |
3—4,420 |
|
Там же приведены значения прогибов срединной плоскости пла стины при R/h = 5, Е/Е' = 1, ЕЮ' = 2,5, v = v' = 0,25, где Е, v — соответственно модуль упругости и коэффициент Пуассона в пло скости изотропии, а v ', G — соответственно модуль упругости,
коэффициент Пуассона и модуль сдвига в нормальной плоскости. Для сравнения в таблице приведены значения прогибов, полученных на основе трехмерной теории упругости 173] и классической теории пла стин.
1. Нелинейные уравнения пластин. Рассмотрим нелинейные урав нения равновесия пластин. При этом ограничимся случаем, когда в уравнениях равновесия учитываются нелинейные члены, возникаю щие лишь от прогибов срединной плоскости пластины. Для прибли жения N — 1 указанные уравнения запишем таким образом:
|
|
|
|
ддП |
+ |
|
dq(i2 |
= |
0; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
дхг |
|
дх0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
д°1з |
|
бо23 |
|
|
|
|
(0) |
|
+ |
2о® |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
дх± + |
дх, |
+ |
т |
|
0 ц |
дх\ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
д°п |
|
**18 |
-------г1- |
013 |
= |
0 ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
0Й = |
0; |
|
||||
|
дхх |
|
дх0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
д°1э |
+ |
д°23 |
_L ag + J_ |
m |
3Ч°' |
|
n |
о) |
|
|
I Л(Ч |
|
+ |
|||||||||
дх^ |
Ох, |
|
0 п)- т 4г- + |
20112)-----— |
4~ |
022 |
dx\ |
|||||||||||||||
|
|
|
h |
33 ^ |
2 |
|
|
0J^ |
|
|
дхгдх2 |
|
|
) |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4-<7 = |
0, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
где p = |
ow |
— a33; |
9 = |
о3з |
+ |
0.» ; 0.7 — моменты напряжении, вы |
||||||||||||||||
ражающиеся |
через моменты деформаций ef} равенствами |
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
0и |
= |
h (сп еи14 - с1аб22 |
+ |
с13езз); |
0 1 2 |
= |
сввНе\ |
|
|
|||||||||||
|
|
022 |
= |
/х(с12е(п |
+ |
с1хе22 4* с13езз); |
0if |
= |
|
|
|
|
^ 7 2) |
|||||||||
|
0зз = |
h [с13 (ап |
4~ £22) + |
с33бзз]; |
023 = |
ciJie<23 |
{k = 0, |
1), |
|
|||||||||||||
в которых |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
7°) _ |
|
аир |
|
т ! |
duf |
|
|
_(0>_ |
|
|
+ 4 1 |
ч 01 |
|
|
||||||
|
|
£ц = |
|
Ох, |
+ |
дх. |
|
|
622 |
— |
дхй |
ах„ |
|
|
||||||||
|
|
efi |
= |
<ч°> |
|
|
Sup |
|
|
|
04°> |
ди(? |
|
|
|
U). |
|
|||||
|
|
аде, |
4- |
|
0*о |
+ 4 - |
0*, |
|
0*2 |
£33 |
= |
«з |
|
|
||||||||
|
|
|
Л |
- |
- £ |
- |
+ 4 - М"; |
|
£23 = |
ад(0) |
|
4 |
^ |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
5лп + |
|
|
(27.3) |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
0« < 1 > |
|
JD — ад1» |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
^ |
= |
|
|
|
£зз = |
0; |
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
дх{ |
’ |
£22 |
= |
0*3 |
’ |
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
JD __ |
dxi |
|
|
|
аир |
й |
= |
0*1 |
|
i(., _ |
|
№ |
|
|
||||||
|
|
612 = |
|
|
4- ' дх* |
£23= |
0*9 |
|
|
Если внести значения (27.2), (27.3) в (27.1), то получим систему уравнений равновесия в моментах вектора напряжений
|
duf> |
dv№ |
Ц) |
|
с*ДаР + (с1а4-свв) - ^ |
dxt |
Р \ , |
i£ й- i ? |
+ |
+ i 4 j + |
.h Oxf |
+ |
т |
К |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ |
,,) |
«»•«'(., a ^ |
- 0 ; |
|||
|
|
|
n |
|
|
c j |
a |
( |
duf> |
duf |
\ |
|
|
|
+ |
|||||
|
cMAi&}+ (cia + |
|
|
|
+ |
~ ш г ) + |
|
|
|
|||||||||||
|
4- |
|
|
|
a*40> |
duf |
|
I |
a^p |
|
|
|
aa40) N |
duf] |
- 0 ; |
|||||
+ |
(C12 + |
с«^~д^х~~дхГ |
|
Caa~dP |
|
^ Cl1 |
dxl |
|
dx„ |
|||||||||||
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
Л « . , |
3cu ( 0 u f > |
|
d 4 > \ , _ l j ( c |
i £ . |
|
||||||||||||
|
|
|
:« л“3 + |
i r \ ~ l ^ |
“ + |
" a ^ r j+ |
|
8 |
|^ Cl1 |
a*2 |
+ |
|
||||||||
|
|
|
|
a*40) \ / aup> |
\22 |
|
|
a24 0, |
|
а и р |
сЦ 0) |
, |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
—J 4- 4c«o а^аХг |
ал, |
а^Г + |
|
|||||||||
|
|
|
|
аг40) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
+ |
\c 12 I |
f |
|
+ |
‘ » |
^ |
) |
( ^ |
- |
) |
а] + |
- |
^ |
= |
0; |
(27-4> |
|
|
A О) |
, |
/г |
О .Л |
^ |
д |
l |
ац(|1> |
I |
d“2> |
\ |
|
c44 |
a“30) |
|
3c44 |
fl) |
|||
С„„ДИ| |
+ |
(C1I + CM) |
dXi |
у gXi |
|
dxt |
) |
|
h |
а*, |
|
л2 |
u[l) = 0; |
|||||||
|
|
|
|
|
|
a |
/ |
a«(,1} |
|
a 4 ‘ |
|
|
|
|
_a«p |
|
^C44 |
.,(1) _ A* |
||
CC»A^2 |
|
|
|
|
fj* # |
|
|
|
|
|
|
a^o |
|
|||||||
4* (^ц “f-Ceg) ■dor. |
\ |
d*i |
|
|
|
|
|
|
|
-^ “ «2 = U , |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
/4 |
|
|
|
.(0, |
|
3иЛ |
' |
|
Зс33. |
(i) |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
I __ |
|
|
|||||||
|
|
|
|
СлаДИз |
|
h |
\ |
dxx |
+ “ a*7~( |
|
Ла |
*0 |
— |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
aff* |
|
|
,(0) |
\2 |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
C 1 3 |
|
|
|
£ 4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
4Л |
|
a*i |
Wa*.. |
|
|
+ |
T |
? |
- ° |
‘ |
|
|
2. Граничные условия. Обозначим через va (a = 1, 2) направля ющие косинусы внешней нормали к границе L области Q, занимаемой срединной плоскостью пластины. Тогда граничные условия на L имеют
вид
„(ft)., ] |
_<*)., |
_ |
п№. |
_(*),, I |
_(*)„ |
_ |
п№ |
|
|||
ffll V, + |
021 V2 = |
Г\ , |
Ol2 Vj ■+■022V2 = |
Г2 |
|
||||||
„(ft) |
, |
J_ |
<к) |
а«р |
I „(ft) |
£«P |
vi + |
|
|||
<Jl3 |
*Т |
2 |
1 ^ 1 1 |
|
dxt |
-i~ <J|2 |
|
ах2 |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
v2 = |
?P |
(Л = 0. |
1), (27.5) |
|
где Р[к) г - моменты |
заданных |
внешних |
усилий. |
|
|
||||||
3. Система эквивалентных |
уравнений. |
Следуя методу, |
изложен |
ному в §§ 24, 25, уравнениям (27.4) можно придать иной вид. Для этого воспользуемся функцией напряжений F ( JCx, х 2). Тогда первые два
уравнения (27.1) удовлетворяются тождественно, а шестое уравнение
после внесения в него значений |
|
|
|
|
JW |
из |
(24.6) |
примет |
|||||||
|
из (27.2) и озз |
|
|||||||||||||
вид |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
д |
|
|
3 Цс12 + |
св0).сЯз — С|3] |
|
|
С13^66ля^1 |
|
|
A F = |
|
||||
Д о ------------ :-----;-----"То----V---- |
2 с„ (с1а + |
свя) Л2 |
|
||||||||||||
|
|
|
|
С41 (с 1г + |
с ов) Л2 |
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
(!) а2«30) |
Л |
(I) |
52« f |
- f |
.(И |
5Ч 0> ^ |
q |
|
|||
2с*44Л |
ail1(1) — |
- |
+ 2 o g - r - 1 — |
dig |
— |
|
- |
c*4.h |
(27.6) |
||||||
|
dxj |
|
|
dxjdx2 |
|
|
дх* |
||||||||
Обратимся к условию совместности деформаций. Следуя [27J, из |
|||||||||||||||
первых трех равенств (27.3) определяем |
|
|
|
|
|
|
|||||||||
«М* |
Д*2(0) |
|
Д2л(°) |
|
o2u f |
у |
а2ы^ |
да4°> |
|
||||||
° |
|
*22 |
|
о е,2 |
|
(27.7) |
|||||||||
“ а Г + |
|
0дс^ |
|
a*xa*2 |
2 |
<3*10*2 |
) |
|
|
а*( |
б*1 |
||||
|
|
|
|
|
|||||||||||
Подставляя в (27.7) значения деформаций (24.5), получаем |
|
||||||||||||||
AAF — 6с<3 |
Ли = ^ (c<g ~Ь с"в) ^ |
ауч0) V |
|
|
аЦ0' |
а2^ 1. |
(27.8) |
||||||||
|
|
С11 |
|
|
-и |
|
дхудх2 |
|
|
6*? |
|
|
|||
Переходя |
к рассмотрению второй группы уравнений (27.1), введем |
||||||||||||||
две вещественные функции и и |
ю по формулам |
|
— и; |
|
|||||||||||
|
О» |
|
ftЛ |
fг ди . |
' c,.h2 |
ади . |
3 |
0 © . |
|
||||||
|
щ |
|
= |
— |
Н |
1 7 Г + |
Зс» |
дх, |
+ |
—2 |
|
—дх, |
+ |
|
+ - |
ci i c6th |
а |
IF , и] |
|
|||
a*i |
wc44 |
||||||
|
б^4 |
|
|
||||
,0) |
А |
( |
|
ди |
сц№ |
ади |
|
|
3 |
\ |
|
- + |
Зс44 |
а*а |
|
|
дхг1 |
||||||
+ ■ |
с11смк |
а |
[F , и] |
сп Л |
|||
а*а |
+ « ь |
||||||
|
& & |
|
|
||||
|
|
|
|
|
(27.9)
з а©
~2~~dXf +
где обозначено
[F, и] = |
д*Р |
dzu |
|
о |
d*F |
|
а*и |
|
dzF |
6% |
(27.10) |
|||
|
|
дх* |
а*1 |
|
|
дхгдх2 |
ajc^jcj |
+ |
1 5 ~ |
э ,; |
|
|
||
Согласно равенствам (27.9) моменты напряжений |
(а = 1,2) из (27.2) |
|||||||||||||
примут вид |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
g W --------h |
i - " * |
аД“ |
I |
|
CiiCoth |
д |
fР |
ц] 4 - ■Зс“ |
— |
4 - |
|
|||
ai3 |
п |
\ 3 |
и г |
+ |
|
бс44 |
а*х |
|
|
2 |
а*2 |
г |
|
|
|
|
|
|
, |
_£!1Л__др_) . |
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
зс44 а*, |
j |
' |
|
|
|
|
|
|
|
„(0) _ |
fiift2 |
ади |
|
|
|
|
[Л U } - |
|
|
||||
|
023 — |
3 |
|
|
дх, |
|
6С44 |
IM.дх,J |
|
|
||||
|
|
— |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
Зс44 |
|
а© |
cn h |
др |
|
|
|
(27 |
1,1) |
||
|
|
|
2 |
|
дх, + |
Зс44 |
~дх, |
}• |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
Если подставить значения (27.11) совместно с (24.5) в третье уравнение (27.1), то получим
( 2 7 1 2 )
Учитывая равенство (27.12) и формулы (27.9), представим моменты
напряжений |
о $ |
(а, р = 1, |
2) |
следующим образом: |
|
|
|
||||||
_<!) |
|
|
|
J o |
I |
i^ 2 ( |
| |
3Ci'ac 44 \ / A f . |
| |
Р |
\ | |
||
0 ,‘ ---------- Г |
Г - * Г + |
|
+ |
|
^ * 3 ? ) У |
+ |
^ 1 |
+ |
|||||
|
|
+ |
|
Cjih / |
^ |
| |
Зс1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3°44 у d xf |
|
2с* |
|
|
|
|
|
|
||
-(1) |
|
|
|
2 _^ы_ ^ |
2cith* |
+ |
& |
) ( А « Н |
- |
' |
+ |
||
022 |
—ЧЧ д& |
|
Зс, |
| - |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
с44Л |
•) |
|||||
|
|
+ |
|
|
|
+ |
|
|
|
|
|
|
<27ЛЗ> |
|
* = |
- |
^ |
| 2 |
^ |
+ |
у |
|
^ |
(А“ + ~ё^г) + |
|
||
|
|
+ |
|
clt/i |
д3 |
ff, |
U] |
|
дъа |
6»о> |
|
|
|
|
|
Зс44 |
|
|
дх? |
Здг, |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
- ц |
|
|
|
|
Подставив соотношения (27.11) и (27.13) в оставшиеся два уравнения
(27.1), получим |
относительно |
функции ю уравнение |
вида |
|||||
|
|
|
|
Д о |
зе,44 |
(о = 0. |
|
(27.14) |
Объединив |
уравнения |
(27.6), |
(27.8), |
(27.12), |
(27.14), |
получаем |
||
|
|
АДF — -Л&а- До = — J£ii±.cJ*)..h. [ц, ц]; |
|
|||||
|
|
|
|
С11 |
|
си |
|
|
|
До |
|
|
|
|
^18^66 |
|
|
|
С44 (Ct2 Н" С4в) Л2 |
2с<4 (с12 + |
св0) Л2 Д/7 Н |
|||||
“ |
2с„Л [ |
я1',> ^ - + |
2 < т Й ^ - + а 8 - 2 | |
c44ft ; (27.15) |
||||
|
а*? |
адгхад;2 |
•) |
|||||
ДД« = ~ -^ 5 Ь _ (д |
|
М] _ _ ^ Д |
Зс. |
|||||
|
|
В случае, когда обжатием по толщине пластины можно пренебречь (положить » = 0 и исключить из рассмотрения второе уравнение