книги / Обобщенная теория анизотропных оболочек
..pdf
|
dg(i3 |
4~ |
5оШ |
----- -- п® |
. л в |
|
|
|||
|
|
23 |
|
(24.20) |
||||||
|
дх, |
|
дх. |
|
7Г сгэз -Ь <7 = О*. |
|
||||
д0П . |
ЗСТ<12 |
3 |
(1, |
|
|
до\» |
Н— |
до% |
3 (1) |
— и> |
-d Z r + |
-fc 2 |
Г * 713 |
= |
0 ' |
ах, |
зг---------гг ^23 |
||||
|
|
|
|
|
|
“и |
ах2 |
|
|
|
в которой Оар* |
= 0» О, <*аз — моменты напряжений вида |
|
||||||||
af\k) = h {с1хгик) + |
с12е ^ + |
с13е$°); |
аЦ* = |
c99he(u K, |
|
|||||
а{2 2 } = h (с12еIf) + |
*„«3? |
+ с1342з°); |
ai3 = |
с44Ле{з; |
(24.21) |
|||||
Озз9 — h [с13 (e(uW+ |
е§?) -J- с334зА)]; |
агз = |
c^Jie^L |
|
||||||
причем |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
.2/0 |
ди?к) |
е11 |
= “ ^ т |
АЩ |
ди™ |
(2*) |
а«<2А> |
а*<ад |
(6 = 0, 1); |
622 |
дхг |
■; el? |
дхх |
дх. |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
(24.22) |
_з_ |
.(2) |
|
|
М " |
5 |
( ) |
/[ ^3 » |
Сзз |
= 0; |
еа = - |
|
|2 |
|
|
т |
“ : |
||||
|
|
|
Пусть F (лгц *2 ) — функция напряжений. Тогда первые два урав
нения тождественно выполняются. Для удовлетворения остальных трех уравнений введем две вещественные функции о и X по формулам
t f ’ - у;
u ? = a h J £ |
----- a,ft» |
дхх |
+ Ыг |
ад/7 |
|
h |
ах |
дх, |
|
<?ЛГХ |
|
2 |
Си |
||
в Р - а А . * |
— a0h3 |
dAv |
JL /5/7 |
ад/7 |
4 . |
/l |
ах |
дх. |
|
дх2 |
+ |
2 |
ах. |
в которых
1 1
осЛ2 |
дд |
, |
(24.23) |
|
С4-1 |
||||
а*, |
1 |
|
||
aha |
а7 |
|
|
|
си |
аха |
» |
|
|
|
а = ах— 51 |
|
|
. |
|
|
1 |
|
|
|
||
|
|
’ |
|
25с24 (С12 + |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
с0в) |
|
|
|
|||
|
|
а2 = |
а = |
|
cii • |
|
h |
СПС13СП» |
• |
|
|
||
|
|
|
|
75с14 |
|
150с44 (с,2 + с6в) |
|
|
|
||||
Определяя по |
|
данным функциям |
моменты |
напряжений |
о^з, |
т. е. |
|||||||
|
|
|
а А2 |
бДи |
|
dAF |
|
1 |
ax |
ah |
|
|
|
|
1 ах. |
+ |
*■ dxx |
|
2 |
ax3 |
Cu |
|
|
||||
|
“»” |
a»j |
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(24.24) |
|
023 = 5cMh |
1 |
ас/ |
.- a ,ft» 4 ^ - |
|
dAF |
1 |
* |
ax |
ah |
dg |
1 |
||
■'44'Ч ^1 |
r)v |
v*2'*' |
axa |
"Г+ ^b' я%- |
“Г |
о |
Я%> |
c4i |
dxt |
J |
|||
[ - |
1 |
ах2 |
|
2 |
|
dxs |
+ |
2 |
ax. |
и внося их совместно с (24.6) в третье уравнение (24.20), получаем
следующее равенство:
AAv — |
3^1^11^33 |
Av + |
45^3$ |
и — |
|
С44 (^12 4~ с4в) |
(С13 4“ Сбб) |
||||
|
|
|
|||
|
15^44 |
|
|
|
(24.25)
Выразим при помощи функций (24,23)-моменты напряжений сг^р (а, fi = 1, 2). Для удобства представим их таким образом:
|
|
off = |
h2 ela faAv — a2h2AAv + |
bAAF — |
Aq} |
-f |
|
||||
|
+ 2сел(а-Щ ----- a2h2 d*Av |
, |
. d*A F __ 1 |
д Ч |
ah |
d2q |
|||||
|
|
|
dx\ |
^ |
dtf |
2 |
dxtdx2 |
cu |
|
dxf |
|
|
|
об = |
Л2 ^cla faAv — a2h2AAv -f bAAF — |
A^j |
+ |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(24.26) |
, |
n ( |
d*v |
. 2 б2Ди . |
. |
d*AF . |
1 |
дЧ |
ah |
d2q |
||
+ |
2см \а-£р------ааЬ —г ^ |
+ |
й - т т - + |
— |
дххдхъ |
c44 |
dx\ ) } |
||||
|
|
|
dx\ |
|
|
dxi |
2 |
||||
|
|
- |
2c« A2[ - S ^ - (™ -a,h>Av + b&F-----^ |
?) |
+ |
|
|||||
|
|
|
, |
1 |
( дЧ |
дЧ |
|
|
|
|
|
|
|
|
+ |
4 |
\ * i |
d4 |
|
|
|
|
|
|
Если |
внести соотношения |
(24.26) совместно с (24.24) |
в |
последние |
два уравнения (24.20) и учесть при этом равенство (24.25), то получим одно уравнение относительно функции X
АХ |
15с.£г- X = 0. |
(24.27) |
|
сиЛа |
|
Наконец, условие совместности деформаций (24.10) приводит, очевид но,' к равенству
AAF----- Av =* 0. |
(24.28) |
Исключая из уравнения (24.25) член AAF, получаем совместно с
(24.27) и (24.28) следующую систему уравнений:
AAv — |
|
|
45сгСзз |
V + |
|
15c18c8fl |
AF = |
|
1 |
^ |
+ (Cia + c„)A4 |
2сц (с1а + cee) А* |
|||||
|
“ 1 |
|
||||||
|
|
|
|
15С44 |
|
|
(24.29) |
|
|
|
|
(Aq |
cu h!* |
q) |
; |
||
|
|
|
|
д д р _ _ ^ з . д и = 0; |
AX----- ^%-X = 0. |
Cla |
- |
|
<Wia |
ДF = |
- ^ 2. v + |
|
+ |
|
|
(24.30) |
|
|
|
ctcu |
|
|
|
и внесем его в первое. В результате этого получим равенство |
||||||
|
ДДя — |
Зсс»э |
л.. |
I |
45ссзз_ ^ _ |
|
|
с44Л2 |
До |
|
СцЛ4 |
|
|
- - |
Iv* w |
+ |
W1 |
- |
т е г (** — ^ |
1») • <24-3,) |
из которого находим |
|
|
|
|
|
|
|
о = — х*Л [ф' (г) 4- ф' (г)] + V 4- и0. |
(24.32) |
Здесь V — общее решение однородного, a v0 — частное решение неод
нородного уравнения
|
ДДо — 4 % |
4- ^ т г v ----------1 г (Д 9 -----т^ття)- |
(24.33) |
||||||
|
tub* |
|
c„/t4 |
|
с44Л ( |
4 |
cnh2 ч) |
v |
' |
Согласно (24.32) равенство (24.30) примет вид |
|
|
|
||||||
|
LF = |
4ft [<р' (г) + |
ф' (г)] + |
(V + |
о„). |
(24.34) |
|||
|
|
|
|
|
‘•и |
|
|
|
|
Если учесть, что |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
А*47 I |
CliA2 |
|
(24.35) |
||
|
|
|
45с33 |
ДД7 + |
Ж |
- AV, |
|
||
|
|
|
|
15с44 |
|
|
|
||
то (24.34) можно представить таким образом: |
|
|
|
||||||
&F = |
4ft |Ф' (г) + <7WI + |
|
Л И - - |^ - Д Д У |
+ -5 й- % |
(24.36) |
||||
|
|
|
|
|
15сс |
|
|
|
|
Отсюда |
находим |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
F = |
hu* + |
- ^ 1 |
К — |
AV 4- F0, |
(24.37) |
|||
|
|
1 |
5см |
Щссад |
1 |
|
|
|
|
где |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
и |
= гф(2)4-гф(г)4-4>*(-г) 4*^*(2), |
(24.38) |
||||||
a F„ — частное решение уравнения |
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
д/? _ 6ci* |
v |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
с |
ио* |
|
|
|
|
|
|
|
|
41 |
|
|
|
|
|
Так же можно построить систему уравнений равновесия |
пластин |
||||||||
для последующих приближений |
и найти их общие решения. |
|
|
§25. УРАВНЕНИЯ РАВНОВЕСИЯ ИЗГИБА ПЛАСТИН
у1. Приближение N = 1. Как и в § 24 начнем изложение метода построения эквивалентных уравнений со случая приближения N = 1.
При этом будем исходить из той же системы уравнений, к которой
предполагается построить |
эквивалентные |
уравнения, |
не прибегая |
к условиям совместности деформаций. |
|
|
|
Допустим, что пластина |
находится под |
действием |
произвольной |
достаточно гладкой нормальной нагрузки />=*/? (хг, х2), р = Раз —
— Рзз. При N = |
1 система |
уравнений |
равновесия |
имеет вид |
|
||||
^мЛЦ11 + |
(с,а + |
с„) -■&-----т 1 |
— |
^ |
«(О = |
0: |
|
||
|
|
|
дх, |
|
Эди |
fta |
I |
’ |
|
|
|
|
|
|
diffl |
яс |
(1) |
Q . |
|
ceeA«21} + |
(с12 + |
сов) -^ 7 -----j~C |
3 |
Мц |
(25.1) |
||||
ал, |
Аа |
2 |
|
||||||
где |
Ц М * + Т 0* ) - — Г Р ’ |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0i = |
|
+ |
а41} |
|
|
|
(25.2) |
|
|
Эх, |
Эх, |
|
|
|
|||
|
|
|
ч |
и*а |
|
|
|
|
Цель дальнейших рассуждений — изложение способа построения уравнений, эквивалентных системе (25.1). Для этого введем две веще ственные функции и и о по формулам
n f = «;
„(п _ |
л |
/ |
а« |
| |
спла |
ады , |
з |
эш . |
|
|
Эр > |
|
|
|
|
dXi |
|
'll’1_____ |
' 2 .а*. ^ |
|
|
|
|
||
“I |
я |
I |
|
зс44а- |
Эх4я* |
|
3cL44 |
дх' у |
(25.3) |
|||
|
h |
[ |
ди |
. |
%Аа |
ЭДи |
3 |
до |
, |
СдА |
Эр |
|
4 } = — |
3 |
1 |
Эл , |
*" |
Зс,41 |
дл. |
2 |
дх, |
+ |
3с24 |
Эл,г |
|
Продифференцируем а!1’ по *1э а и?1 по х2 и найденные значения сло
жим. В результате этого будем иметь
Ь — Ц л н + ^ - Ш + ^ Л р ) . |
(25.4) |
Внося (25.3), (25.4) в третье равенство (25.1), получаем относительно функции и следующее уравнение:
дд“ — |
( 2 5 - 5 ) |
Если же внести (25.3) в первые два уравнения и учесть равенство (25.5), то они будут удовлетворены при выполнении равенства
Дю |
Здfe<o = 0. |
(25.6) |
Согласно (25.5) функция 0Х примет вид
0j = — £-Дц — Зс |
(25.7) |
44 |
|
Таким образом, уравнения (25.5) и (25.6) при выполнении равенств $5.3) будут эквивалентны системе уравнений (25.1).
с66Ди{‘) + (Cj2+ cw) |
— |
*44 |
Н |
0) |
+ |
|
|
Л |
dxt |
||
C6Q&U{2li -j- (с13 + ^бб) |
“ |
С44 |
* 4 * |
+ |
|
h |
дх2 |
||||
'44 |
|
' + |
X |
е ») = |
|
<W 4m |
3с |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
бс13 |
& to |
1 1 |
|
h |
a * . |
5 C f g |
M 2> |
h |
dx2 |
1
h •P\
1CO UP Г' |
м{0 = 0; |
Л2 |
|
3c44 |
|
Aa |
|
|
(25.8) |
Введем действительные функции и, w и о» при помощи равенств
uf> = и;
“1, " = |
- 4 ^ + |
c c f jh 2 |
дД ы |
2 |
3 c44 |
3 * i ^ |
|||
|
|
ccf ,ft2 |
дДы |
3 |
“i " = — |
3 |
3C44 |
|
2 |
$ - (& ■ + |
|
|
||
'1ЯЛ* Ди + со; + — - |
|
|||
15с.33 |
С44 |
|
дш |
|
1 « | |
1 |
*1 |
|
дсо
5 ^ 1 3 |
дш; |
З а ,Л |
a p V |
с44 |
4 " |
- |
|
|
С«4 |
а * 1 'Г |
|
|
|
|
|
5сс1з |
дш |
З а ,Л |
_ а Л . |
с44 |
+ |
С44 |
а*. Г |
|
(25.9)
где |
с = |
’ С13 |
а 1 = |
|
«о = |
43 |
|
|
|
|
|||
ctlc83 |
' |
ЭС44 |
15с.33 |
|
|
|
|
||||||
|
Из формул (24.9) следует, что |
|
|
|
|
|
|
||||||
|
в1 = |
_ 4 |
( д и + |
^ |
д д а . |
5ссяя |
|
За, А |
Д |
(25.10) |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
с44 Дw + |
с44 |
|||
Если внести значения |
функций |
«з0) |
и |
в третье |
уравнение (25.8), |
||||||||
то |
получим |
следующее |
равенство: |
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
ДДв = |
^ |
- Д |
ш |
- ^ г ( д Р - ^ |
1 |
гР) . |
|
(25.11) |
|||
Согласно (25.11) функция 0Х из (25.10) |
примет вид |
|
|
||||||||||
|
|
|
|
е. = |
- 4 |
( л“ + - ^ г ) - |
|
|
|
<25Л2> |
|||
|
Легко проверить, |
что четвертое |
уравнение |
(25.8) |
после |
внесения |
внего значений моментов и$]и 0г и учета равенства (25.11) приводится
ктакому:
|
л |
(2 5 1 3 > |
|
где |
с<зс14 |
Что касается первых двух уравнений (25.8), |
|
5ссцсэз |
|||
|
|
то они удовлетворяются тождественно при выполнении равенства
Ао> — (1З — О. |
(25.14) |
Если же р = const, то система уравнений (25.8) приводится к та*
ким уравнениям:
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Зр . |
|
|
|
|
|
|
д » — |
|
|
|
|
|
|
£0= |
0 |
|
(25.15) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
при значениях (25.9), |
в которых |
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
w = w; |
аЛ= 0; |
а2 = |
- с1'зсы 4“ 5cciicS3 (с1з 4- |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
7БсСи4з |
|
|
|
|
|
3. |
Приближение N = |
3. Поскольку общее решение системы урав |
||||||||||
нений |
равновесия |
изгиба |
пластин содержит, |
как это видно из п. 2 |
|||||||||
$ |
17, |
бигармоническое решение |
вплоть до |
третьего |
приближения, |
||||||||
то |
рассмотрим еще |
случай |
N '= 3. |
Система уравнений равновесия |
|||||||||
в этом случае имеет |
вид |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
/ ■ Л, 1111 л . |
|
|
X . |
|
____с4. д“зв |
/1 |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
-----$ -(3/4'> + |
7и{») = |
0 ; |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Scfa |
А ,® |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Л |
0ДС9 |
|
|
|
|
|
|
|
— |
|
|
+ |
7и?) = |
0; |
|
|
|
|
|
г « М |
" + |
^ - ( З в 1 + |
70s) = - |
J - Р-. |
|
|
(25.16) |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ (си + |
|
— %■ |
+ 5 ~ |
P |
j - |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
+ |
42и®) = |
0; |
|
|
|
|
|
+ f e , + е „> |
|
|
|
+ 5 ^ j - ) - |
|||||||
|
|
|
|
|
|
*44 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
# -(З и р + 4 2 « ® )-0 ; |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
7с, |
|
15с« |
|
|
|
|
|
|
— Цг 01 4- -Зй- 6,-------------- -----i- |
Я» |
||||||||||
где |
|
|
|
|
|
Л |
из |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
А*? |
(А = |
1, 3). |
|
|
(25.17) |
|
|
|
|
|
|
|
|
дх. |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Введем, как и в предыдущем пункте, три действительные функции a, w и ю по формулам
u f = и;
|
|
dx, |
■+ a l |
dw |
|
|
dxx |
||
1 |
да |
+ |
tXjh |
dp \ . |
+ “ о" |
дх |
c44 |
||
2 |
|
to il* |
. / 1 . , а dA«
0, = _ ft^ _ ^ _ + aft2 _ «I»
2 dx, +
+. |
a i _dadw |
2 |
dx, |
|
+ |
|
■dx2 |
||
a-ji |
dP |
\ . |
|
|
|
C44 |
ro |
«■ |
|
|
w(t2‘ = |
dh2Au -f- djtiy — d2h‘iAw + |
a,ft |
|
|
|
|
(25.18) |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
u44 |
|
|
|
|
|
|
|
. |
A t o |
^ |
+ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
cMh* |
дЛа |
<*Ф |
dp \ |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
14c44 |
dx2 |
c44 |
dxt |
|
|
|
|
|||
|
U ? = |
» /t-г.** |
dAu |
. |
, da» |
. ,o |
dAa» |
|
3 |
- |
da |
, |
||
|
ft 6 f t 3 _ |
+ |
6l _ |
_ _ £,af t 2 _ |
----- ^ |
3; - |
+ |
|||||||
|
|
|
+ |
cMh2 |
ЗА® |
a:ah |
dp \ |
|
|
|
|
|||
в которых |
|
14C44 |
dxj |
|
|
^Г~дx^)^ |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
____6crn c33 — £„^4 . |
л |
_ |
Зсс^Сзз — 7C44 |
( |
c3 (6ce11c33 --C j3C44) . |
|||||||||
a |
~ |
45сязс44 |
’ |
f l l “ |
|
2 1 4 |
|
+ |
|
|
|
3 4 |
||
л |
_42сс11с,33-4- ЗсцСзд— 7c18c44 . |
u __ |
“ |
c2cn |
• |
|
|
|
||||||
а2 - |
|
ТГ-; |
|
|
> 0 - |
1057 |
|
|
|
|||||
|
|
315C33C44 |
|
|
|
|
|
44 |
|
|
|
|
||
bx = |
фцСзд |
Зссп с33 |
7 4 |
|
. |
__ |
cu (3 + |
7c,) |
_ |
|||||
- n ------ h |
|
494 |
|
’ |
|
2 _ |
735^ |
|
' |
|||||
|
|
7 4 |
|
|
|
|
|
|||||||
|
— — H |
C\3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
^13^44 |
||
|
— |
a 2 |
15c33 |
|
|
|
u44 |
|
|
|
|
сисаз |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
1 |
5^13 |
I |
З^ц^зз (5ССПС33 + C13C44) — 7cf34 |
(25.19) |
||||||||
|
— |
15 |
|
|
lObcc^c^ |
|
|
|
|
|||||
|
15C39 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
33M4 |
|
|
|
|
|
|
|
4 |
C44 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
75ccn cl3 * |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
_ |
1 |
cis |
|
ЗСцСдз (5cCj|C33 -}- c18c44) |
|
7 4 ^'44 |
|||||||
|
|
35 |
|
+ |
|
|
105сСиСззс«4 |
|
|
|
||||
|
|
15c.S3 |
|
|
|
|
|
|
Из (25.18) согласно (25.17) определяем
0. = |
— h ( 4 - Аи + |
ah2AAu + axAw — a2h2AAw + |
Д/?); |
|
||
1 |
V 3 |
|
|
c« |
/ |
(2 5 .2 0 ) |
% = h ^bh2AAu + |
bxAw — b2h2AAw----- Ap'j. |
|
|
|
||
Подставляя значения функций «з0> и 0j, 0s |
в третье уравнение |
|||||
(25.16), |
получаем равенство |
|
|
|
|
|
|
|
•5с3с83 д - |
Зр__ |
|
|
(25.21) |
|
АДи — ААw - 7 j r &w+ |
а ъ р + |
5ccn c33h |
|
||
|
|
|
Шестое уравнение (25.16) после внесения в него значения функций
«Л |
\k = |
1, 3) и учета равенства (25.21) приводится к такому: |
|||||||
|
ДAw |
ISccss л.7. г 525£ ^ “ _ 42р |
а 0АР |
|
(25.22) |
||||
|
с44Ла |
Aw + |
Сц Л* |
СцА« |
cu h |
* |
|||
где «Ь°0=1‘ ~Г+ |
5сспся9 ' |
|
|
|
|
|
|
||
ь |
t |
CfSC44 |
|
|
|
|
|
|
|
Согласно |
(25.22) |
уравнение |
(25.21) |
преобразуется к |
виду |
|
|||
ДДц = |
Aw — |
|
w — c44h |
Д п — |
(3 + 42c) |
n |
(25.23) |
||
cuA4 |
P |
2 |
F . |
||||||
|
|
сп Ла |
|
|
|
сси Л |
|
|
Учитывая равенства (25.22) и (25.23), моменты функций 0А из (25.20) можно представить таким образом:
(2 5 24)
- + _ S _ p) ,
Перейдем теперь к рассмотрению оставшихся четырех уравнений (25.16). Если внести в них значения (25.18), (25.24) и принять во вни мание уравнения (25.22) и (25.23), то нетрудно проверить, что они приводятся к одному уравнению вида
ДДш |
« % -д в + |
10^ |
ш= 0. |
(25.25) |
|
|
|
|
‘Is'*4 |
|
|
Полагая в формулах |
(25.18) |
w = |
w, |
|
|
а х = « з = 0 , |
«„ = |
- - СиСзэ |
~ |
|
75ссиСзз
получаем уравнения
ААи = ■15с” Дш- -525ссзз |
ш |
, |
3 + |
42с |
сп А2 |
т |
+ |
^ Ь |
5” /7; |
^А4 |