книги / Нерегулярные граничные задачи на плоскости

удобства эти условия. Функция Q0 (s) непрерывна па сегменте

.[0, 51, где S — длина кривой С. В условиях теоремы 19.2 послед­ нее слагаемое й 2 (s) тождественно равно пулю, тогда как (s) обозначает произвольную ограниченной вариации функцию скач­ ков, скачки которой по абсолютному значению не превосходят числа 2л. Обозначая через *г0полный скачок аргумента й в точке отсчета длипы дуги, определим целое число х0 (D) по формуле

(19.50) и присоединим возникающий здесь скачок hi к множеству

{hi} положительных скачков из числа hr. Обозначим через {/£} множество абсолютных значений отрицательных скачков функ­

ции й2 (s). Считая множества {/г*}, {h~r} занумерованными в по­ рядке невозрастания значений /гГ—, определим затем четыре целых

числа g (D), % (D), х3 (D), х4 (D) соотношениями (19.59), (19.60).

262 КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ [ГЛ. V

Тогда число к (D), построенное по формуле (19.68), называется индексом задачи (21.5) в классах Ер (G±). В обозначениях пастоя-

(р)

щего параграфа имеем хр (D) = х (D). В утверждении (ii) теоре­ мы 19.2 предполагается, что имеют место условия (19.64); эти ус­ ловия исключают знаки равенств в соотношениях (19.59), (19.60), т. е. исключают «неустойчивый» случай. В условиях теоремы 19.3

а индекс х (D) задачи определяется по формуле (19.75) в предпо­ ложении, что правая часть этой формулы есть целое число. В этом случае хр (D) = х (D). Таким образом, приходим к утверждению:

Ле м м а 21.3. Пусть выполнены предположения 1—6 из п. 21.1

ив случае одного уравнения (21.1) {п = 1) аргумент Q функции (21.6) удовлетворяет условиям утверждения (ii) теоремы 19.2 или условиям теоремы 19.3 Тогда число линейно-независимых (над по­ лем комплексных чисел) решений однородного уравнения (21.7)

21.6. Сохраняя все предположения § 20, перейдем к рассмотре­ нию неоднородного уравнения (21.7) в пространстве Lp (С). Со­ поставляя лемму 21.1 и теоремы 19.4,19.5, приходим к заключе­ нию, что в случае хр (D) > 0 уравнение (21.7) разрешимо при любой правой части / (t) из Lp (С). Если же хр (D) < 0, то неод­ нородное уравнение (21.7) в пространстве Lp (С) разрешимо не при любой правой части / (t). Чтобы выписать соответствующие условия, обозначим через Z (z) каноническое решение однородной задачи (21.5) в классах Ер(G±). В условиях теоремы 19^2 это решение строится по формулам (19.10), (19.61), в условиях же теоремы 19.3 — по формулам (19.10), (19.73). Нетрудно убедить­ ся, что в сделанных предположениях, в частности при выполнении

образуют полную систему линейно-независимых решений од­ нородной задачи (21.19) в классе исчезающих на бесконечности

$ 21] СИНГУЛЯРНЫЕ ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ 263

функций из Eq (С), q = р/(р — 1). Пользуясь первой из формул (21.18) (при п = 1, h == 0) и леммой 21.2, получаем полную си­ стему линейно-независимых решений однородного уравнения

достаточные для разрешимости задачи (21.5), и пользуясь обозна­ чениями (21.10) и (21.27), получаем упомянутые выше условия на / (t):

вия леммы 21.3. Тогда а) число линейно-независимых (над полем комплексных чисел)

б) неоднородное уравнение (21.7) (при п = 1) с правой частью из Lp (С) разрешимо в этом пространстве тогда и только тогда, когда выполняются условия (21.28), где {ф/ (£)} — полная си­ стема линейно-независимых (над полем комплексных чисел) реше­ ний союзного однородного уравнения (21.14) (при п = 1, h = 0)

всопряженном пространстве Lq (С), q = р/(р — 1).

21.7. Два последних утверждения составляют полную теорию

характеристического уравнения (21.7) в Lv (С) (а также, как легко видеть, и союзного к нему уравнения (21.14) в сопряженном пространстве Lq (С), q = pl(p — 1)). В частпости, опи утвержда­ ют, что в сделанных предположениях оператор (21.2) является обобщенным оператором Нётера в пространстве Lp (С), а его

как это следует из формул (21.25) и (21.29). Согласно теореме 5.4, в тех же предположениях аналогичными свойствами обладает и общий сингулярный интегральный оператор (21.1) (при п = 1) в пространстве Lp (С). Таким образом, имеет место

Т е о р е м а 21.3. Пусть уравнение (21.1) (при п — 1) удов­ летворяет условиям 1—6 из п. 21.1, а аргумент Q функции (21.6)

го в смысле главного значения по Коши, т. е. условие b (t) ф 0. В самом деле, если матрица b (t) нулевая, то условия (21.4) озна­ чают, что матрица a (t) обратима в классе измеримых ограничен­ ных матриц, н тогда (21.1) эквивалентно системе уравнений с впол­ не непрерывным оператором а~гТ, имеющей нулевой индекс. Впрочем, аналогичный случай возникает и тогда, когда о (/) = 0, |det Ъ (t) |> m > 0, поэтому ненулевой индекс возможен толь­ ко в том смысле, когда слева в (21.1) присутствуют оба первых слагаемых и притом с непостоянными матрицами а (t), b (t).

Однако пснулевой индекс у интегральных уравнений может возникнуть и вследствие причин иного характера — лпбо из-за наличия у ядра неподвижных особенностей достаточно высокого порядка, либо из-за бескопечпой лебеговой меры того множества, по которому ведется иптегрироваппе. Простейшим классом урав-

на примере этого уравнения был создан метод Випера — Хопфа, нашедший многочисленные приложения в ряде областей матема­ тической физики.

Теория таких уравнений и их непосредственных обобщений, когда интегрирование распространяется иа всю бесконечную ось, к настоящему времени достигла большой степени полноты. В со­ здании этой теории важную роль сыграли исследования совет­ ских математиков; наиболее глубокие обобщения в этом направ­ лении получены в исследованиях М. Г. Крейпа и И. Ц. Гохберга (см. [14, а), в)]). Уравнениям Випера — Хопфа и их обобщениям,

§ 22. Упражнения и дополнительные замечания к гл. V

22.1.Данное в п. 18.9 определение внутреннего (и ппетнего) краевого

потока регулярной впутри гармонической фупкцпп является обобщенней определения, которого придерживался Племель в [34, в)) (по этому поводу см. [36], гл. III, п. 2). Такое обобщение корректно, поскольку две функции, имеющие один и тот же краевой поток, как установлено в п. 18.9, отличаются только на аддитивную постоянную. Наперед заданная п регулярная во внут­ ренних точках гармоническая функция и (х, у) обладает краевым потоком на границе С области б + тогда и только тогда, когда сопряжепнал к и (х, у) гармоническая функция v (х, у) обладает двумя свойствами: а) опа ограничена в области <?+; б) ее граничные зпачения па С почти всюду совпадают со зна­

Для граничлых кривых С с ограниченным вращением Радон дал другое определение краевого потока (см. [36], гл. III, п. 2). Чтобы сформулировать

сходится с ограниченным вращением к граничной кривой С, если имеют место

ничена. Докажите, что для любой кривой С с ограниченным вращением су­ ществуют такие последовательности, причем каждая кривая Сп при этом об­ ладает свойством гладкости.

Рассмотрим непрерывную функцию <p (s) па С и обозначим через <р (х, у)

ее непрерывное продолжение на множество G+ + С\ через vn обозначим внут­ реннюю нормаль к Сп и рассмотрим интегральный поток функции ф отно­ сительно регулярного внутри G+ потенциала v вдоль Сп:

Согласно определению Радона, гармоническая регулярная внутри G+ функ­ ция v (х, у) имеет па С внутренний краевой поток, если для каждой последо­ вательности гладких кривых {Сп}, сходящейся с ограниченным вращепием к С, и каждой непрерывной на G+ + С функции ф (х, у) последовательность (22.1) сходится к одному и тому же конечному пределу. Этот продел lv ф

называется внутренним интегральным потоком функции ф (х, у)относительно v (х, у) вдоль граничной кривой С. Покажите, что lv ф представляет линей­ ный функционал, примененный к предельным значениям ф ($) фупкцпп ф (х, у) на С. Согласно упомянутой в п. 18.4 теореме Ф. Рисса, фупкциопал lvф

можно представить по формуле (18.3) с однозначно определенной мерой ц*

ний или внешний поток на С, то v сводится к тождествепной постоянной ([36], гл. III, п. 3). Покажите также, что потенциал простого слоя (18.22) для любой ц GErca (С) имеет на С и внутренний, и внешний краевые потоки

Для случая, скажем, внутренней задачи Дирихле в классе гармонических функций все приведенные выражения представляются через злементарные функции; в частности, если е < 1 и разность 1 — е достаточно мала, то для радиуса Фредгольма получается формула min (я/1 я — соп |},совпадающая с

той, которую получил Радон (см. [36, а)]) в пространстве непрерывных функ­ ций вдоль кривой ограниченного вращения (см. п. 17.2).

270 КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ [ГЛ. У

в этой сумме всегда лишь конечное число (но известное заранее) слагаемых отлично от нуля. Множество тех р, для которых указанные условия не вы­ полняются, не более чем счетно. Для внутренней задачи Дирихле в классе гармонических функций правая часть формулы (22.6) может быть вычислена,

тором Нетера в Lp (С), а его индекс равен

Я-(- IЯ— |>

(22.7)

(С — кривая Радона без точек заострения). Кроме того, второе дефектное число рр равно нулю, следовательно, ар = хр дает число линейно-независи­ мых (над полем вещественных чисел) решений соответствующего однородного уравнения. В частности, если С имеет конечное число угловых точек, то при

Фредгольма для оператора, отвечающего внутренней задаче Дирихле, в

При р -» оо этот радиус стремится к числу miu (я/|я — соп |[), совпадающему

1

с радиусом Фредгольма, вычисленному Радоном в классе непрерывных функций вдоль кривой ограниченного вращения без точек заострения (см. п. 17.2). Показано также, что к интегральным уравнениям Мусхелишвили, ин­ тегральным уравнениям Шермана — Лаурпчелла и интегральному уравне­ нию Фредгольма, возникающим в плоской теории упругости, применимы теоремы Фредгольма даже в том случае, когда эти уравнения рассматри­ ваются в пространствах Lp (С), 2 < р < оо, где С — кривая Радопа без то­ чек заострения. Подробные доказательства изложенных в настоящем пункте результатов содержатся в работе [42, в)].

26.6. В дополнение к сказанному в пн. 4.10, 17.6 приведем, следуя ра­ боте [4, а)], результаты, касающиеся потенциала простого слоя и разреши­ мости задач Дирихле и Неймана в пространственном случае. Пусть а>р (А) —

имеют место формулы скачка (17.7). Условие (22.9) также н е о б х о д и м о для того, чтобы интеграл (17.6) был продолжим па F изнутри и извне для лю­ бой непрерывной на F плотности /.