книги / Нерегулярные граничные задачи на плоскости

131 УПРАЖНЕНИЯ И ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ ЗАМЕЧАНИЯ 101

предельных для последовательпости {£п}. Наконец, покажите, что функция Бляшке с точностью до постоянного множителя, по модулю равного 1, оп­

(см., например, (16J, гл. I, § 7).

13.3.Обращение теоремы 10.4 пе имеет места. Действительно, функция

по какому бы некасательному пути ни стремилась точка z к eia. Вспоминая опрсделенпе интеграла Коши — Стнлтьеса (п. 10,8) п теорому ед!шствеп-

102 ГРАНИЧНЫЕ СВОЙСТВА АНАЛИТИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ [ГЛ. III

ности 10.8, выведите следующую теорему: для того чтобы интеграл типа Коши — Стилтъеса с мерой |х (s) был интегралом Коши — Стилтьеса, необходимо и достаточно, чтобы мера Ц (s) была ортогональна всем функциям eins, п = 1 , 2 , . . . :

гл

Покажите также, что эти условия необходимы и достаточны и для того, чтобы интеграл Пуассона — Стилтьеса (10.2) изображал аналитическую функ­ цию внутри единичного круга. Меру dp. ($), удовлетворяющую условиям (13.3), иногда называют аналитической. Покаяште, что такая мера порож­ дается абсолютно непрерывной функцией р (s) (см. [18], а также [10]). Если

отсюда эквивалентность двух утверждений теоремы 10.6. Докажите также теорему Герглотца: для того чтобы аналитическая в круге \z |< 1 функ­ ция Ф (z), Ф (0) >■ 0, принимала значения, лежащие в правой полуплоскости, необходимо, чтобы функция Ф (z) была представима интегралом Коши — Стилтъеса

2я is

ф(г>=-4-$

о

мера которого порождена вещественной неубывающей функцией р ($). 13.6. Весьма интересно отметить, что класс аналитических функций,

представимых в виде интеграла типа Коши — Лебега (10.10), ш и р е клас­ са Нг (см. [16], гл И). Учитывая теорему 10.4, согласно которой ипждия такой интеграл есть функция класса Нр, 0 < р < 1, и теорему 10.5, это утверждение можно перефразировать иначе: существуют такие суммируе­ мые функции / (s), s е [0, 2я], что функция Ф (z), равная интегралу (10.10), имеет (согласно теореме 10.4 и замечанию, сделанному после доказательства теоремы 10.1)] почти всюду конечные предельные некасательные значения Ф+ (***), по эта функция Ф+ (е1е) пе принадлежит пространству L (0, 2я). (Как будет следовать из результатов гл. IV, если / e i p (0, 2я) при р > 1, то ее интеграл типа Коши — Лебега будет принадлежать Нр.) Чтобы интег­ рал типа Коши — Лебега принадлежал Е^, т. е. был функцией, предста­ вимой интегралом Коши — Лебега (теорема 10.6), необходимо и достаточно, чтобы Ф+ (е*®) ЕЕ L (0, 2я).

13.7. Согласно результатам, приведенным в п. 13.5, для того чтобы некоторая функция / (г) была предельпым значением Ф+ (е*®) некоторой функции Ф (z) из класса Н1г необходимо и достаточно, чтобы выполнялись

где мера dp (s) порождается некоторой певозрастающеп функцией ц (s), пропзводпая которой почти всюду равна пулю (сингулярная функция в смы­ сле определения из п. 1.3). Убедитесь также, что параметры, определяющие кпждый пз сомножителей в формуле (13.6), независимы (см., папрнмср, [16],

гл. II, § 6).

f Пусть функция z = ш (£) конформнои однолистно отображаеткруг | £| < 1 на область Gс границей С, а £ = й (z) *— обратная функция. Функция Й' (z) принадлежит классу Ег в G, ибо для иее пптограл вида (11.4) вдоль образа Ст окружности | С| = г. 0 < г < 1, при р = 1 равен 2ш\ Докажите, ведя рас­ суждения от противного и используя формулу вида (13.6), что если кривая С не принадлежит классу Смирнова (см., конец п. 11.3), то фупкция й' (z) не принадлежит классу Ер, р > 1 (см. [16], гл. III, § 16).

13.10. Важная теорема 11.6 перестает быть справедливой, если граница области G не принадлежит классу С. Это иллюстрируется функцией Ф (z) =

по не принадлежит Ер при р > 1, хотя ее предельные угловые значения почти всюду на границе по модулю равны единице (см. [22, б)], а также [16], гл. III, § 16). В связи с этим возникает вопрос о том, существуют ли области G со спрямляемыми границами, не принадлежащие классу Смирнова. Утверди­ тельный ответпа этот вопрос былдан М. В. Келдышемп М. А. Лаврентьевым (см. [11]), построившим соответствующий пример. С другой сторопы, важпо иметь достаточные условия, обеспечивающие принадлежность области G к классу Смирнова. Ряд таких критериев получеп М. А. Лаврентьевым в его исследованиях однолистных функций (см. [12]).

13.11. Элементы теории функций классов типа Нр, главпым образом их граничных свойств и аналитических средств их исследования, были выше изложены в классическом духе. Точно так же отбор материала производился с точки зрения интересов теории краевых задач, для чего вполне достаточным, по крайней мере в настоящее время, оказывается классический аспект тео­ рии. Для ознакомления с современным состоянием теории, ее методами, про­ блематикой и результатами весьма полезна монография [7], особепно послед­ ние се главы. Этот новый этап в теории начался относительнонедавно (около двух-трех десятков лет пазад) и характеризуется интенсивным привлечением понятий и методов общего функционального анализа, в частности теории ба­ наховых алгебр. С общей точки зрения интересны основные статьи сборника [14], а также статья [1].

3.В и д о м X . (Widom Н.), Singular integral equations in Lp, Trans. Amer. Math. Soc. 97, № 1 (1960), 131-160.

4.Г а п о ш к и н В. Ф., Одно обобщение теоремы М. Рисса о сопряжен­ ных функциях, Матем. сб. 46 (68), № 3 (1958), 359—372.

8.Д а н и л ю к И] И., а) Лекции] по краевым задачам для аналитических функций и сингулярным интегральным уравнениям, Изд-во Новоси­ бирского ун-та, 1964.

12.Л а и p о u т ь e в M. А., О некоторых!грапичпых задачах теории одно­ листных фупкцнй,1 Матем. сб. 1 (43), № 6 (1936), 815—844.

14.Некоторые вопросы теории приближении, ИЛ, 1963.

15.П л е с н е р А. И., Zur Tlieorie der conjugierten trigonomotrischen Reihen, Mitt. Math. Sem. Giepen 10 (1923), 1—36.

16. П p и в а л о в И. И., Граничные свойства аналитических функций, Гостсхиадат, 1950.

17.Р и с е Ф. (Hies/. F.), Uber die Randwerte cincr analytisclien Funktion, Matli. Z. 18 (1923), 8 7 -9 5 .

18.P и с с Ф. и P и с с M. (Riesz F. und Riesz M.), Uber die Randwerte eincr analylischcn Funktion, Congr. Scand. Math. 4 (1916), 27—44.

19.P л с с M. (Riesz M.), Sur les fonctions conjugues, Math. Z. 27 (1927), 218— 244.

20.С e г о Г. (Szcgo G.), Uber die Randwerte der analytischcr Funktionen, Math. Ann. 84 (1921).

21.С и м о п e н к о И. Б., а) Краевая задача Римана с измеримыми коэф­ фициентами, ДАН 135, № 3 (1960), 538—541.

б) Краевая задача Римана для п пар функций с измеримыми коэффициен­ тами и се применение к исследованию сингулярных интегралов в про­ странствах с весами, ДАН 141, № 1 (1961), 36—39.

Г л a (i a iV

ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ОПЕРАТОРЫ РАДОНА И КОШИ

В настоящей главе излагается аналитический аппарат иссле­ дования краевых задач — теория интеграла типа Коши и родст­ венного ему потенциала двойного слоя. Прежде всего, приводится классический результат Радона: интегральный оператор, порож­ денный прямым значением потенциала двойного слоя на линии интегрирования, непрерывен в пространстве непрерывных функ­ ций, если линия имеет ограниченное вращение. Затем устанавли­ вается аналогичный результат в пространствах суммируемых функций. После этого излагаются наиболее важные результаты, относящиеся к граничным свойствам интегралов типа Коши: сначала основная лемма Привалова и ее следствия, затем вопросы непрерывности в замкнутой области интегралов типа Коши с достаточно хорошими свойствами гладкости их плотностей и, наконец, теорема Привалова о непрерывности сингулярного ин­ тегрального оператора в простраистве функций, непрерывных в смысле Гёльдера. Кроме того, изучаются упомянутые интеграль­ ные операторы в пространствах суммируемых функций. Основное внимание уделяется взвешенным пространствам типа Ьр, веса которых имеют вид интегралов, возникающих в теории неодно­ родных краевых задач линейного сопряжения. В заключение кратко излагаются другие важные результаты из рассматривае­ мой области, а также некоторые обобщения па пространственный случай.

§14. Интегральный оператор Радона в пространствах С н Lp

14.1.Рассмотрим некоторую спрямляемую кривую С на плос­

кости z = х + iy и, как обычно, через s обозначим длину дуги на ней. Каждую функцию / из соответствующего пространства Lp будем относить к параметру $, 0 ^ s ^ S. Как и в п. 3.4, через coz(s) обозначим угловую функцию arg [z (s)— z], определенную по непрерывности для каждой точки z ф. С. При каждом таком фиксированном z функция a>z ( S) абсолютно непрерывна по $ па сегменте [О, S] и, как легко убедиться непосредственным диф-

в котором второй интеграл может служить определением первого. Интеграл (14.1) есть вещественная часть интеграла типа Ковш с плотностью / (5), если она вещественна, и представляет потен­ циал двойного слоя вдоль С с плотностью диполей j (s).

Определим угол 0 (а) между касательной к П и осью х и по­ кажем сначала, что неравенство (14.2) имеет место, если оно

108 ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ОПЕРАТОРЫ РАДОНА И КОШИ [ГЛ. IV

справедливо для полигона П. Отсчет дуги s на П начнем с той

угол 0 (s) может быть взят произвольно между 0* и 0i+i. Вкоиеч-

причем первый член 0 ^ — 0 Остремится к нулю вместе с б в силу гладкости С в точке z (0).

Докажем теперь, что на каждой дуге кривой С, отвечающей

В самом деле, выберем такую систему координат, в которой х (Si-i) = у (s^) = 0, х (st) > 0, у (Si) = 0. Вспоминая формулы (2.4), получим тогда

Несложными рассуждениями можно убедиться, что для некоторой

было бы невозможно. Возврат к прежней системе координат при­ водит к формулам (14.5).

§14] ОПЕРАТОР РАДОНА D ПРОСТРАНСТВАХ С И L

Из формул (14.5) непосредственно вытекают неравенства

|в|и — ®i |^ 1 0 {+i — в* |» i — 1 , 2 , . . п — 1 ,

поскольку |0i+1 — Ог |< я. Суммируя эти неравенства, получим

0^1; Предположим, что неравенство (14.2) доказано для полиго­

что иемедленно приводит к соотношению (14.2) в общем случае. Перейдем теперь от полигона П к гладкой кривой Г с кусочно­

помощи дуги окружности, радианная мера которой равна_ |0 i+x —

— 0£ |. В случае «точки заострения», когда |0£+1 — 0* | = я, «закругление» осуществим следующим образом. Построим две дуги окружностей, симметричные относительно стороны поли­ гона, примыкающей к точке заострения, и имеющие центральные углы е / 4 < я/2. Свободные концы этих дуг соединим дугой третьей окружности, обеспечив гладкость получающейся линии. Замена острия построенной линией приводит к замене скачка

|6 i+i — 0 t |= л на полное вращение я + е, в чем нетрудно убе­ диться на основапии элементарных геометрических построений. Если N — число точек заострения полигона П, то из построений

вытекает, что полное вращение линии Г выражается формулой П—1

тельства можно предполагать, что кривая С — гладкая и состоит из конечного числа выпуклых частей с непрерывной кривизной.

цируемы и г (s) > 0 па сегменте [0 , £], причем дифференцирование