книги / Нерегулярные граничные задачи на плоскости

Последнее выражение при е -^0 стремится к нулю, поскольку

вточке s0 производная от jx (s) существует и равна нулю. Докажем теперь, что первое слагаемое в правой части (15.4)

стремится к нулю вместе с числом 8. Рассмотрим, например, вто­

легко убеждаемся, что внеинтегральный член справа в последней формуле стремится к нулю вместе с числом е. Что же касается второго слагаемого, то его можно представить в виде суммы

Аналогичную оценку можно получить и для первого слагаемого суммы (15.6). Поэтому можно сказать, что для всего угла Аф0

lim sup|a|<tf sup г (о), е-*0

где К — абсолютная постоянная. Вспоминая теперь, что г (а) -»-0 при а ->• 0, а число h можно было взять произвольно малым, при­

$ 15] СВОЙСТВА ИНТЕГРАЛА ТИПА КОШИ — СТИЛТЬЕСА 123

Б силу уже доказанного первое слагаемое справа при z -*-z0 стре­ мится к пулю. Следовательно, теорема 15.1 для произвольной меры |x(s) приводится к случаю меры Лебега ds. Из результатов следующего пункта, посвященного частному случаю интегралов

ществует dz' (s)/ds, см. п. 2.2).

Доказательство формулы (15.3') тоже принадлежит И. И. При­ валову [21, а)] (см. также [6], гл. X, § 3) и в полном виде содер­ жит идеи и приемы, уже использованные выше, в п. 15.2. Ниже мы покажем, что после установления формулы (15.3') для част­ ного случая, когда / (z') = 1 на С, общий случай снова может быть редуцирован к интегралу (15.3), в котором р/($0) = 0 .

Пусть z0' = z (s0) — точка, в которой линия С имеет каса­ тельную и |dz'/ds | = 1, и пусть / (z') = 1. Первый интеграл в (15.3') тогда дает приращение любой непрерывной ветви функции In {z — z) при обходе С. Очевидно, что это приращение не изме­ нится, если дугу С (ZQ, е), |z — z'0\= е, заменить дугой полу­ окружности у с концами в z (s0— в), z (s0 + е), расположенной справа от С. Ясно также, что приращение непрерывной ветви функции In (z' — z'o) при том же обходе будет отличаться от приращения функции In (z' — z) на величину, стремящуюся к нулю при е -*-0; кстати, .если кривая С замкнута (а к этому слу­ чаю, как нетрудно сообразить, можно привести и случай не­ замкнутой кривой), оба эти приращения совпадают и равны 2ni, если z 6= б +. Значение второго интеграла в (15.3') равно описан­ ному выше приращению функции In (z — z‘0), уменьшенному на приращение этой же функции вдоль полуокружности у. Это последнее при е ->-0 стремится к яг, что и доказывает (15.3') в случав / (z') = 1 на С.

Устремив теперь <j к пулю и учитывая сказанное выше о свойствах точек s0 Е, получим, что первое слагаемое устремится к /iz (л0)1 — i'in что по абсолютной величине не превосходит е. Аналогичная оценка для второго слагаемого в последнем равен­ стве справа очевидна. Следовательно,

lim sup|£(«» + «. Ц)-М«о.Ц) |<8>

и поскольку е было выбрано произвольно, приходим к формуле (15.10) для всех s0 6Е (0, S) \ Е, т. е. почти всюду. Будем теперь считать, что точка z0 в формуле (15.8) выбрана как раз так, чтобы соответствующая дуга s0 принадлежала множеству (0, S) \ Е. Поскольку в предыдущих рассуждениях точка zn была фикси­ рованной, то мера dp., порожденная функцией (15.9), обладает свойством dji/ds = 0 при 5 = s0. Учитывая сказанное после фор­ мулы (15.8) и принимая во внимание рассмотренный в п. 15.2 случай, убеждаемся, что величина (15.8) стремится к нулю при z -> z0, равномерно впутриугла Дф0. Тем самым формула (15.3';,

ас пей и теорема 15.1 доказаны полностью.

15.4.С л е д с т в и е 15.1 (И. И. Привалов, см. [21,6)]). Если сингулярный интеграл (15.2) существует почти во всех точках

z0е= С, то интеграл типа Коши — Стилтъеса (15.1) почти для всех z0 6= С имеет при z ->z0 конечные некасательные пре­ дельные значения как слева от С, так и справа от нее; при этом имеют место формулы Сохоцкого — Племеля

= (« .И )

Обратно, предположим, что интеграл (15.1) почти для всех z0 Е= С имеет конечные некасательные предельные значения либо только слева отС, либо только справа. Тогдапочти во всех точках z0 Е= С существует сингулярный интеграл (15.2) и интеграл (15.1) имеет конечные некасательные предельные значения также с про­ тивоположной стороны, и справедливы формулы (15.11).

Оба утверждения этого следствия очень просто выводятся из формулы (15.3). В том случае, когда рассматривается интеграл

Доопределяя плотность / на некоторой дополнительной кривой тождественным нулем, всегда можно добиться, чтобы интегриро­ вание совершалось вдоль замкнутой кривой. Из очевидной формулы

.C^20,e) ' — ZO

вытекает, что в каждой точке z0 G С, в которой существует ка­ сательная, сингулярный интеграл Kf(z0) существует тогда и только тогда, когда существует другой сингулярный интеграл

выражение вида ei0Wdp.(s); это облегчает заключительную часть доказательства теоремы 15.1, поскольку тогда в формуле (15.7) вместо меры Лебега ds появляется мера dz(s) (см. начало п. 15.3). Мы предпочли рассматривать интеграл (15.1), ибо для того, что­ бы он имел смысл для любой спрямляемой кривой С, нет надоб­ ности доказывать или предполагать, что функция ei0(®) является ^-измеримой.

15.5. Наконец, перейдем к изучению непрерывности интеграла типа Коши — Лебега в замкнутой области, делая те или иные предположения о характере непрерывности его плотности /; вы­ яснение же более общих условий, при которых выполняется хотя бы одно из условий следствия 15.1, будет продолжено нами в §16.

функция Kf (z) ограничена в области G+. Согласно теореме 11.4, эта функция почти всюду на Симеет конечные некасательные пре­ дельные значения Kf+(z0), причем в силу сказанного в п. 15.4 эти значения могут быть представлены по первой формуле ив (15.11"). Следовательно, почти во всех точках С предельные зна­ чения Kf+(z) совпадают со значениями непрерывной функции f(z) + K'f(z).

Отобразим область G+ на единичный круг |£ | < 1; при этом функции Kf (z) преобразуется в некоторую ограниченную анали­

< 2л. Очевидно, для завершения доказательства теоремы нам

10.6). Вспоминая рассуждения п. 10.10, приходим к выводу, что действительная и и мнимая v части функции F (£) представимы в виде интегралов Пуассона — Лебега с непрерывными функциями

Тогда интеграл типа Коши — Лебега (15.1') с плотностью f (z) представляет функцию, непрерывную в замкнутой области G+ + С.

Кроме того, интеграл (15.12) непрерывен по z0 на кривой С. Это

причем первые два слагаемых справа пе превосходят 2е. Считая число 6 = б (е) фиксированным и устремляя точку z к z0, послед­ нее слагаемое также можно сделать сколь угодно малым. По­ скольку плотность /(z ) непрерывна в силу условия (15.15), то следствие 15.2 вытекает теперь из теоремы 15.2.

Еще проще проверить условие теоремы 15.2 и притом без всяких ограничений иа кривую С, когда / (z) удовлетворяет усло­ вию (15.15) при а = 1, ибо в этом случае вместо оценки (15.16) получим более сильную:

Это приводит к утверждению:

С л е д с т в и е 15.3 (Н. А. Давыдов, см. [7]). Интеграл типа Коши — Лебега (15.1') представляет непрерывную функцию в замкнутой области G+ + С с любой спрямляемой жордановой границей С, если плотность/ удовлетворяет условию (15.15) при а = 1.

15.7. Предположим, что условие (15.14) выполняется при Р = 1, как это, например, имеет место, когда линия С является

либо кусочно-гладкой без точек заострения, либо кривой Радона без точек заострения (см. начало п. 3.2). Более внимательно оце нивая отдельные слагаемые справа в формуле (15.17), покажем, что оператор (15.12) представляет функцию, удовлетворяющую условию Гёльдера одновременно с плотностью /.

Действительно, полагая б = 2 |z0 — г | и пользуясь оценкой (15.16) при £ = 1, легко получим

1

25Г

(15.18)

2я

Покажем, что последнее слагаемое в правой части (15.17) до­ пускает аналогичную оценку. С этой целью его подынтегральное выражение представим в виде

слагаемого. Замкнем эту разомкнутую линию дугой у окруж­ ности с теми же концами, причем позаботимся о том, чтобы точка z0 оказалась вне получившейся замкнутой линии. Тогда (б =

при соответствующем выборе однозначных ветвей участвующих справа многозначных функций. Вещественная часть этого выра­

дой точке имеет, во всяком случае, вполне определенную правую и левую касательную. Итак,

Переходя к изучению интеграла от первого слагаемого в (15.19), оценим его сначала на основании неравенства (15.14):