книги / Механика трещин

Найдем распределение напря­ жений в малой окрестности особой точки x t = /, х 2 = + 0, где напряжение, действующее на бе­ рег трещины, разрывно:

звездочки и положив вследствие ограниченности напряжений а1 = 0.

достигает максимума при

[‘ = \ ~л2 + “л2 + “л2 ^ а2 + 1/Г а

Состояние пластичности наступает при xf = к2, чему соответствуют значения

— = — = — а = 2 д/ l -2/л «= 1,2056; 0О« 1,0283 «59°.

кк и

Таким образом, при рД = р0/к = 2 y/ l- 2/п возникают „усы” - ли­ нии скольжения, ориентированные под углами ± 0 Ок оси (на кото­ рой при В = л находится трещина). После этого, т. е. при больших зна­ чениях отношения p/к, приведенное выше решение не годится, так как оно в некотором секторе определяет экстремальное значение каса­ тельного напряжения тх > Ас, что запрещено условием пластичности. В эксперименте, действительно, появляются указанные линии сколь­ жения, а при дальнейшем увеличении нагрузки пластическая область расплывается [45].

§ 4.6. Растущая трещина при антиплоской деформации упругопластического тела

Как было показано в § 4.5, при нагружении упругопластического тела с фиксированной трещиной концентрация деформаций оказывает­ ся большей, чем при прочих равных условиях в упругом теле. Рассмот­ рим теперь стационарную задачу о растущей трещине. В отличие от пре­ дыдущего, когда при пропорциональном нагружении пластичность (необратимость деформаций), по существу, не проявлялась и тело вело себя как нелинейно-упругое, при росте трещины путь нагружения усложняется, возникает разгрузка, необратимость пластических деформаций становится существенной. В результате роль пластично­ сти в формировании поля деформаций у края трещины оказывается противоположной: концентрация деформаций в упругопластическом теле получается меньшей, чем при прочих равных условиях в упру­ гом теле.

Пусть трещина расположена на оси х г при x t < l(t), причем ско­ рость ее роста / = dl/dt > 0 и настолько мала, что силы инерции можно не учитывать. Рассмотрим точку тела, координата х 2 которой

положительна, но достаточно мала. Если вначале данная точка находи­ лась далеко впереди трещины (хх /(0)), то в некоторый момент t = tt она попадает в пластическую область. При дальнейшем продвижении трещины пластическая область, движущаяся вместе с ее краем, ока­ жется впереди рассматриваемой точки. Следовательно, в этой точке должна происходить разгрузка. А так как материал неупругий, то в некоторой области, примыкающей к берегам трещины, после разгруз­ ки сохранятся остаточные деформации. Этот факт играет решающую роль в уменьшении концентрации деформаций у края трещины.

Найдем асимптотически точные решения для линейно упрочняю­ щегося и идеально упругопластического материалов. Основываясь на соотношениях (1.8) - (1.11) и учитывая, что вследствие неограничен­ ности деформаций в окрестности края трещины начальный участок диаграммы т(у), где т = 2ру, можно не принимать во внимание, запишем

Тогда „напряжения” 0*3, о*3, определяемые формулами (4.2), будут удовлетворять уравнениям равновесия так же, как и напряжения о 13, о23, а перемещение и3, через которое компоненты 0 j 3, о*3 выражают­ ся обычными формулами теории упругости, будет гармонической функцией (см. § 4.4).

Итак, предполагая, что окрестность края трещины разделена гра­

Кэтому следует добавить требование непрерывности деформаций

инапряжений на границе 101= 0 А (г > 0), а также условие

В соответствии с представлением (6.2) в области нагрузки

и3 = АЛ sin À0 ,

a = Mi/Ц.

Из условий непрерывности напряжений, определяемых фор и (6.4), (6.6), находим

При этом перемещения и деформации (6.2), (6.5), (6.6) также оказывают­

Предположим, что область разгрузки простирается до края трещи­ ны. Тогда, подчиняя второе из равенств (6.7) граничному условию (6.3),

то условие нагрузки, т. е. монотонного роста максимального сдвига, имеет вид

Таким образом, нагрузка возможна в секторе 101 < л/2. С другой стороны, в области разгрузки должно выполняться неравенство У < 7 °.

Используя приведенные выше зависимости для области разгрузки, определяем производную

+ 2(1- a)eo3]Re(Bz^-2)} = - i - \ 2 ( 1_ ^ 2 r2\-3 х

/ sin0 , \i-*.

Ф = ( ---------1 cos[(l - A.)n]sin[(2- A.)0 - (1 - А.)л] -

\sin 0 /

-sin [(1 - X)0 j]cos0.

При 0 = 0 1 рассматриваемая производная с учетом равенства (6.8) приводится к виду

1

Отсюда следует, что она обращается в ноль в одной точке:

удовлетворяющем неравенствам (1 - А.)л ^ 0 Х^ л/2.

Примем нижнее значение 0j в (6.10), которому при фиксированном параметре а соответствует максимальная концентрация напряжений. Тогда, как можно установить, рассматривая равенство (6.9), ду2/дхг > 0 при 0 > 0*, а значение показателя К определяется уравне­ нием (6.10) - следствием уравнения (6.8) при 0 t = 0*

Уменьшение максимального сдвига при разгрузке может привести к вторичной пластичности в том случае, если будет превзойден уро­ вень максимальных касательных напряжений. В рассматриваемой задаче вторичная пластичность возникает у края трещины, если пре­ дел отношения

окажется больше единицы. Из формул (6.4), (6.6) следует, что при

* 2 - + 0

sin 0 Х\i-X

т° = AUjA.

sin 0 j \i-A.

т ~ ДцА(1 - a)sin[(l - A.)0 J

Для „критических” значений a = ос*, À. = À.* получаем уравнение

Подставляя сюда выражение параметра а (6.11), приходим к равенству sin[A.*(l - А.*)л] = cos [(1 - À.*)л]. Отсюда и из формулы (6.11) находим

(0 > 02) от области разгрузки (0 < 02), так же как и симметричная ей граница в нижней полуплоскости, определяется условием R° = 1 (а < а*). К нему следует прибавить граничное условие (6.3), которое при а < а* должно выполняться в области вторичной пластичности.

Поступая так же, как и выше, но рассматривая три области - наг­ рузки, разгрузки и вторичной пластичности, можно определить гра­ ницы областей и распространение деформаций у края трещины. Оказы­ вается, что область вторичной пластичности, возникающей при а < а*, занимает очень узкую зону, прилегающую к берегу трещины [95]. Зависимость показателя к, определяющего концентрацию деформа­ ций, от отношения модулей а показана на рис. 4.7. Видно, что с уменьшением отношения модуля упрочнения к модулю разгрузки

Рис. 4.7. Рис. 4.8.

|i концентрация деформаций у края трещины также уменьшается. Особенность для деформаций em3 " '/ m(0)/r1~?lздесь, как и в линей­ но-упругом теле, того же порядка, что и для напряжений. Однако при p 1/| i< l показатель 1 - к < 1/2, поэтому произведение oduJdxt на контуре, окружающем край трещины (о - напряжение, действующее на контур со стороны внешней области), стремится к обычной, локаль­ но интегрируемой функции, когда контур стягивается к точке. В ре­ зультате поток энергии в край трещины при ее росте оказывается равным нулю - вся энергия, выделяющаяся из упругой части тела,

поглощается в пластической области.

Рассмотрим теперь ту же задачу, но для упругопластического мате­ риала без упрочнения. Выражения для полей напряжений и деформаций в областях пластического течения и разгрузки получены ранее [см. формулы (2.8), (3.15), (4.9)- (4.11)]. Возьмем для определенности в формулах (2.8), (3.15) верхние знаки. Как уже отмечалось, при антиплоской деформации тела впереди трещины должно располагаться центрированное поле линий скольжения, для которого функция Л (3.16) положительна при 101< л/2 и обращается в нуль на линии сколь­ жения 101= л/2. Поэтому в соответствии с утверждением, доказанным в §4.4, граница между областями пластического течения и разгрузки может проходить лишь вдоль прямых 101= 0 j < л/2.

Если у берега трещины возникает вторичное пластическое течение (101 > 83), то в соответствии с граничным условием (6.3) там может быть лишь равномерное поле напряжений. При этом на верхнем бере­ гу трещины при удалении от ее края деформация е 13 по модулю убывает, а так как она отрицательна (при выбранных знаках в фор­ мулах (2.8), (3.15)), то ô e 13/df >0, и, следовательно, о 13 >0. Учитывая граничное условиеДб.З) и условие пластичности (1.2), имеем

ц[а(1пг+ 1) - b0 t + c] = - fcsinGj ln

- n[b(lnr+ l) + a0 1 + d] = fccos0 1.

Отсюда находим

к

И

cf = -------(01sin01 + COS0J.

И

Как видно из представлений (6.1), непрерывность напряжений влечет за собой непрерывность деформаций. Удовлетворяя первому из условий (6.14), т. е. полагая в соответствии с формулами (4.10), (6.15) ад2+ d = 0, получаем

Графики для напряжений о13/к (кривая 1), 023/к (кривая 2) и для отношения т2/к 2 (кривая 3) показаны на рис. 4.8.

Как следует из равенств (3.15), в области первоначального пласти­

где I - длина пластической области, измеренная вдоль оси x v Действительно, в указанном секторе отношение RJL отлично