В рассматриваемом случае при подстановке конкретных зна чений постоянных А и D корни характеристического уравнения будут комплексными. Поэтому будем искать общее решение уравнения (52) только для третьего случая.
Характеристическое уравнение имеет два комплексных корня:
|
|
71.2 = |
А |
с |
|
|
|
|
~2~ ± |
бо |
|
|
где |
|
|
|
|
|
|
|
|
« ^ У М т )5 |
|
|
В этом случае |
выражения |
и еУ‘‘ |
имеют действительные |
значения только |
при |
/ = 0. |
|
|
|
|
Но теперь можно использовать функции |
|
s = е |
-А ( |
s = |
- A t |
sin б/. |
(54) |
2 cos Ы; |
е 2 |
Обозначим ~ = тг.
Подставляя значение функций (54) в уравнение (53), убеж даемся, что каждая из них является решением уравнения (53). Решения (54) линейно независимы и поэтому общее решение будет следующим:
s = е_ОТг< (с4cos Ы— с2sin6/),
или в ином виде
s = c3e -mj< sin (с4+ б/),
где
с3 sin с4 = с1; с3 cos с4 = с2.
Найдем частное решение уравнения (51). Правая часть урав-. нения — величина постоянная, поэтому и решение ищем в виде
|
s = Е, |
|
где Е — величина постоянная. |
1. |
Подставляя Е в |
уравнение (51), получим Е = |
Общее решение |
уравнения (51) |
|
s = |
е~т‘1(сгcos бt -j- сг sin б*) + 1, |
|
или в ином виде |
|
|
|
s = с3е -т *' sin (с4 -f- 6/) -f-1. |
(55) |
Напишем общее выражение движущего момента двигателя:
Заменяя s его значением из выражения (55), получим
/м*
Мд = s^ [сзе ** Sin (с4 -J- 60 + l] ,
откуда |
движущая сила |
двигателя |
(56) |
где |
р а = £з (с3е - от*' sin (с4 + б*) + 1], |
|
|
_ M‘Nln |
|
|
|
*3 |
|
|
|
S,V1] |
|
Постоянные с3 и с4 определяются из начальных условий. |
|
При |
t = 0; s = scx; |
л = |
лст; Мд = Мст |
|
=с4 = arcctg -g*-.
Определим вынужденные колебания упругой системы. На исследуемую систему действуют внешние возмущающие силы: Рд — движущая сила двигателя и W —'сила сопротивления дви жению моста.
Согласно уравнению (55), имеем
PR = 1з [сзе-Л1< sin (с4 -j- Ы) 1].
Силу сопротивления движению моста считаем постоянной, т.е. W — const. Определим обобщенную силу Qx:
Qi = |
Рд - Г = |
sin (с4 + б/) + U - |
W |
Обозначим |
NlH = £3с3; |
с„ = i 3 — W. |
|
Тогда будем иметь |
|
|
|
Qi = Nufi~n‘t sin (с4 + б/) + сп. |
(57) |
Этим выражением обобщенной силы целесообразно пользо ваться при решении уравнения (56) на ЭВМ, так как решение обычным способом довольно громоздко. В последнем случае целесообразно пользоваться упрощенным выражением Qx.
На основании проведенных вычислений реальных машин можно
•сказать, что sin (с4 |
б^) г» — (0,8-*■ 0,9). |
даст увеличение на |
Принимаем |
sin (с4 |
+б^) = |
—1,0. Это |
грузки примерно на 5—10%. |
Обобщенная сила |
|
|
Qi = - M llie- " . '+ c H. |
(58) |
Для решения на ЭВМ система уравнений (47) примет вид |
anxi -f |
avsfx + |
а\.уЛ + |
сцхi = |
sin(c4 + 61) -f cH; |
tf3i*i + аззф*+ азэ}х + a3.i2a + c33\|> = lNiHe~n^ sin (c4 + 6/) + cH] l)
am'xi + аэзф + a99fx -f a9.i2a + cg»fx = N\пегп'*sin (c4 + 6/) + c„;
П121Х1 -f- fll23^ + d\29fx #12.12® "I" #12-12® =
— [iVi„e-n‘<sin (C4 -(- 6^) -f- C„] Q.
Для решения обычным способом система уравнений (47)
примет вид: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Яц*1 + «13^ + |
<*иУ* + |
вИ2« + Спх1 = |
|
+ |
сн; |
|
|
Язз'р “Г ^39fx 4 «3-12» 4 |
Сзз'Ф = |
(—N l uC~nit 4 |
сн)/; |
« э Л + <*»з$ + |
a»lfx 4 |
а 9-м « + свв/ , |
= |
— |
|
+ |
с„; |
я ш * 1 + |
aio3ii) 4 - a mf x 4 a^.-n'd 4 |
с ^ м г а |
= |
(— Л Ч „е -л‘' + |
c„) a. |
Общее |
решение |
данной |
системы: |
|
|
|
|
|
|
|
1=4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
XI = |
S |
Л}° sin (М -ь б() 4 UieTn'‘ 4 |
Ev, |
|
|
|
|
i=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i= 4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
^ = |
S |
^7^ sin (kit -f- 6/) -f- Uit |
nii -f- £7; |
|
|
|
|
i = l |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
fx = |
i=4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
S |
4 |
0 *sln (M 4 |
6t) 4 |
|
4 |
£ 9; |
|
|
|
|
t = l |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t=4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
OC= |
S |
Л У |
Sin |
*4" |
"4“ ^ 12e |
1 ~f“ ^*12» |
|
|
|
|
i = l |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
где
п |
с» |
в |
E * = |
i r |
. |
Z7 |
— |
CH . |
|
17 |
cHQ |
b l ~ ^ T ' |
> |
£ 9 |
7 |
> |
|
£io |
----------- |
|
c33 |
|
|
|
c90 |
|
|
2 |
^12•12 |
~ N u |
|
|
ai3«i |
|
|
a i9n{ |
|
|
|
# 1 1 2 # 1 |
— N in / |
(#3 3^ 1 4 ~ С33) |
|
|
2 |
|
|
|
#312# 1 |
|
#39^1 |
|
|
|
~ N itt |
|
093/Zl |
|
(a^ofi\ -4- c99) |
|
|
|
0 |
|
|
|
|
«912721 |
— N h,a |
|
Я12.3Я1 |
|
|
#12-97*1 |
(#12-12#1 + |
#12-12 ) |
(allnl + |
Cll) |
в13л1 |
|
|
a\ A |
|
|
|
a112«l |
(*3ini |
|
(аззп1 + |
сзз) |
|
a39rtj |
|
|
|
a312rtl |
|
|
|
|
|
|
|
a9lnl |
|
a93nl |
|
(a99nl + С9э) |
|
|
a9\2nl |
a\2\nl |
|
a123nl |
|
а129Л1 |
|
(a12• I2nl+ C12-12 ) |
|
|
- A 3 - |
и |
___ 4 |
• |
и |
- |
- |
_ A12 |
|
|
u 9 = |
Д ’ |
|
— |
|
|
^ |
1 2 |
Д • |
Динамические нагрузки
Л -= *14 Р» = т Ф в,
Рщх --- flfilШ»
Мкр = etc,’кр*
Наезд конца вертикальной консоли на жесткий упор
Расчетная схема показана на рис. 77. Принимаем, что тележка находится в середине моста. Рассмотрим случай наезда конца вертикальной консоли на жесткий упор при работе механизма
движения |
моста. |
|
консоль |
(хобот) |
крана |
отсутствует, |
Так |
как |
горизонтальная |
то ffl, = |
0; |
|
а |
= 0; |
= </в |
= z„ = |
0; |
v9 = 0; |
Te = |
0; Якр = 0; |
а = а = |
а |
= |
0; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
дТ |
дП_ |
дТ_ |
jd_ (JT_ \ _ |
0 |
|
|
|
|
|
da |
да |
fa |
dt |
[ д а / |
|
|
Уравнение движения упругой системы, соответствующее ко ординате а, обращается в тождество. В остальных уравнениях
исчезают члены, содержащие множители а, а и а.
Рис. 77. Расчетная схема для кранов с вертикальными консолями в случае наезда нижнего конца вертикальной консоли на жесткий упор
В результате уравнения движения упругой системы в случае наезда конца вертикальной консоли на жесткий упор при работе механизма движения моста будут:
1. |
anXy + |
a13ij> + |
ctiifx + |
cnxj. == Qa |
(59) |
3. |
a31x\ + |
a33ijj + |
a3‘J x + |
c33ip = |
Ql\ |
9. |
flejA-! -f О03А+ |
C90fx -{-c99fx = |
Qb |
|
где
1. а„ = |
alft = 2m„; |
а,. = |
2mJ; |
96£7,У . |
|
|
|
|
|
|
L3 |
3. |
аг1 = 2тк1у |
a33 = |
2(M1/2 + M34 |
|
|
^39 — |
c33 — 24EJxb2 |
|
|
|
|
|
|
L3 |
|
9. |
a91 = |
2mK; a93 = 2MX/; a99 = |
2Mi; |
Coo -- 3 £ / u |
; |
M I = -T |
(2тк + mx + m2 + |
m3 -f m4) ; |
Л13 — -g- (mx + пц + m3 -j- m4).
Определим вынужденные колебания упругой системы. На исследуемую систему действуют внешние возмущающие силы: Рд — движущая сила двигателя; W — сила сопротивления дви жению моста.
Для решения на ЭВМ обобщенная сила, согласно уравнению
<57), будет |
|
Qi— Wine-"1' sin (с 4+ |
|
Ы) + с„, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
а система (59) примет вид |
|
|
|
|
|
|
|
|
an*i + |
«иЙ + |
«isL + |
cii*i = ^ 1Не -Л1' sin (с4 + |
б/) + |
сн; |
«31*1 + |
« 3з^' + |
« 39/л: + |
«зз'Ф = |
1М1не - п‘' sin ( с |
44 - б/) + |
с„1 /; |
«91*1 "Г «9з4 + |
a » J x + |
«99fx = |
N 1не_П1< Sin («4 + |
“Ь «н- |
Для решения Ьбычным способом обобщенная сила, согласно |
уравнению (58), |
будет |
|
|
|
|
|
л ‘ * -I- |
с ,„ |
|
|
|
|
Ql— ^ 1 н в |
|
а система (59) примет вид |
|
|
|
|
|
|
|
|
«п*1 + |
«1з4 + |
«ю/* + |
«n*i = |
|
—М1не -П-' + с„; |
|
« 3 1 * 1 + |
«ззФ* + |
« 39/* + |
«зз4 = |
(— М ,„ е -Л*' + |
сн) /; |
|
«91*1 “Ь «9з4 + «99/* “Ь cuofx = |
|
N 1ие—"»* 4 С1с |
|
Общее решение |
этой |
системы |
|
|
|
|
|
|
|
1=3 |
А[п sin {Ы + |
|
|
UieTnit + |
|
|
|
|
*i = |
S |
б,) + |
|
|
|
|
|
|
i~ 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ч>= |
’S |
Ail) sin {kit + |
60 + |
[/Зе“ л,< + |
£ 3; |
■ |
|
|
|
1=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i=3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
fx = |
2 |
4 ° |
sin (fcf + |
8t) + |
|
t/9e_n,( + |
Д9, |
|
. р __ |
Р _ |
Сн |
г33 ’ |
в “ |
'^ Г |
а \3,21 |
а \ъп\ |
|
|
( аъъп\ + сзз) |
аЯ9Л1 |
- * 1 « |
|
а93Л1 |
(а99Л1 + С9э) |
(ап » 1 + |
* 1 1 ) |
а \ А |
|
а 19п 1 |
а31Я1 |
|
(аЗЗЛ1 + |
сзз) |
а39п1 |
а91л1 |
|
°93n'l |
|
(а99я1 + с9э) |
U» = is..
Д ’
Динамические нагрузки, действующие на металлоконструк ции крана,
р |
— Y г . р |
в |
— — г • |
л г |
Л1сг> |
2 |
■Рщх == fХ^Ш'
В качестве примера определим частоты колебаний и динами ческие нагрузки, действующие на металлоконструкции колодцевого крана Уралмашзавода Q = 10/10 тс в случае наезда ниж него конца шахты-колонны на жесткий упор.
Техническая характеристика крана |
|
Грузоподъемность клещей Q в тс |
10 |
Пролет моста L в м |
27 |
Длина шахты-колонны / в м |
16 |
Длина шахты L в м |
10,92 |
Вес в тс: |
без слитка <7кр |
143,5 |
крана |
слитка |
(экспериментального) |
7,1 |
моста |
|
91,5 |
тележки с шахтой |
52 |
одной балки моста |
30,5 |
шахты с кабиной и механизмами |
24,8 |
Скорость движения крана икр в м/мин |
100 |
Мост крана состоит из двух балок открытого типа и двух концевых балок. Шахта крана — решетчатого типа, установлена на тележке крана. Для динамического расчета принимается ра ботающим все сечение балки.
Сечение балки моста, соответствующее середине пролета, по казано на рис. 78, схема металлоконструкций шахты крана — на рис. 79.
Произведя расчет металлоконструкций крана по вышеприве'
денной методике, получим: |
колебаний |
металлоконструкций |
1) |
частоты собственных |
к х = |
5,54 кол/сек; /г2 = 4,7 кол/сек; k3 = 0,257 кол/сек; |
2) |
динамические нагрузки, действующие на металлоконструК' |
ции (табл. 33).
Таблица 33
Динамические нагрузки на металлоконструкции крана
Начальная |
|
Динамические нагрузки, |
тс |
скорость |
|
работающие |
механизмы |
|
|
движения |
|
|
крана |
|
рг |
р* |
|
в м/мин |
|
|
20 |
Двигатели |
отключе- |
44 |
10,3 |
100 |
ны |
2,01 |
То же |
14 |
241,6 |
57,2 |
20 |
Механизм |
движения |
234 |
51,7 |
|
моста |
15,4 |
Наезд моста крана с вертикальной консолью на упругие упоры (буфера)
Расчетная схема показана на рис. 80 [40]. Принимаем, что тележка находится в середине моста, скорость движения моста о0, двигатели механизма движения моста отключены, и торможение отсутствует.
II |
:н |
|
Уз = Уъ |
2 • • |
• • |
• • |
l|Jl = |
1|) = |
----F yi; |
2 = |
0; |
|
У, = |
0; |
|
1= const:; |
7 |
= 0 |
; |
Р = |
0; |
Р = |
|
0; |
|
a = |
0; |
a = |
|
0; |
|
Qi = Q4 = ^ 3 : |
|
|
N-IIч |
|
II |
|
|
|
me = |
0; |
а = |
0. |
|
Преобразовывая систему (36), получим новую систему урав
нений движения: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0. |
аоо•*: + |
a0i Х\ -}- Д07У |
аоо fх |
соо х = |
0; |
|
|
|
4 . |
040 X -|- 0 4 4 X -f- Q47 У~ |
а 49 ' f х |
4" С М Х1 = |
0; |
(60> |
|
|
7. |
О70 X -|- O74 Х1 |
О75 у -|- d-iofX“Ь с75у = 0; |
|
|
|
|
|
9. |
Ogo X -j' а94 Х1-(- O97 у |
|
Оgo fx -j- с9э[х = |
0. |
|
Найдем общее решение дан |
|
|
|
|
|
ной |
системы |
в виде |
|
|
|
|
|
|
|
|
X = |
АйSin {kt + |
б); |
|
|
|
|
|
|
|
Х± == J44 sin {kt -|—6); |
|
|
|
|
|
|
|
у = |
sin {kt —(—б); |
|
|
|
|
|
|
|
fx = |
Л8 sin {kt |
6). |
|
|
|
|
|
|
Уравнение |
частот |
будет |
|
|
|
|
|
|
ox^8 |
ajk* + |
a3&4 -f a462 + a5= |
|
|
|
|
|
|
|
|
= 0. |
|
|
|
|
|
|
|
Принимая |
k2 = p, получим |
|
|
|
|
|
Ojp4 4- Ojp3 + |
o3p2 + o4p + a6 = |
|
|
|
|
|
|
|
= 0, |
|
|
|
|
|
|
|
где |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
al = |
^00^44^75^99 4" 001^47079090 4" |
Рис. 80. |
Расчетная |
схема для |
кранов |
+ ^07^49^70^94 4“ ^09^40^74^97 — |
|
2 |
'2 |
' |
2 |
|
с |
вертикальными консолями в случае |
|
— 009^47 - |
• #00^75^49 — |
|
наезда моста крана на упругие упоры |
|
2 |
2 |
|
'2 |
|
|
|
(буфера) |
|
|
— 001^79 — 0440990O7J |
|
|
|
|
|
|
|
|
9 |
2 |
|
|
9 |
9 |
9 |
2 |
02 = —^00^44075099 — 0ООС44099 4 |
" ^00044^75099 — 000044075099 4” %)075049 4~ |
4 " a 00c 75a 49 4“ ^44a 99a 07 4“ 044^99007 J
Щ = ^00^*44^75^99 “Ь ^00^44^75^99 |
с00^44а 75с99 “Ь ^00^44^75^99 "f* |
+^00^44^99^99 + ^00^44^75^99 — с*00с 75а 49 — С44С99^07',
ЧР ' |
/ |
/ |
СЦ = — ^00^44^75^99 — |
г00с44^75с 99 — |
^00^44^75^99 — |
— ^00^44^75^99’» ^5 = ^00-44^75^99-
Частоты собственных колебаний упругой системы:
„ v s - V ^ v T ^
*, = V 7, = j / — |
т — «- |
^ = Т ^ = ] / |
+ |
Определим амплитуды |
колебаний: |
|
fl09^1 |
— a0lk\ |
— aQ7^l |
|
a49^1 |
( C44 |
fl44^1) |
“ ■a47fel |
|
I fl79^1 |
|
a74fel |
( C75 fl75fel) |
M * i ) |
^9^ |
(С00 —°00^l) — а01^1 |
|
— а07^1 |
M *?) * |
|
а40^1 |
( С44 “ “ а44^1) |
— а47^1 |
|
|
—‘ а70^1 |
а74^1 |
( С75 “ |
° lb k\ ) |
|
|
4 Ц _ * , « ) . |
4 " _ * , « ) . |
|
|
* f ' |
|
A(*f) ’ |
-IS" |
“ |
* Ю |
' |
A«> |
< > |
|
A i‘ > |
< > |
|
|
. |
* . « ) |
M*?)' |
|
A , « ) ~ M * 5 ) |
|
1,2, 3,4, |
|
|
|
откуда |
имеем для |
корней k u |
k2, |
k3 и ft4: |
|
|
4 f, = |
D A (*?); |
4 f, = D A (^ ); |
|
4 °= D |A ,(* ?); |
4 0 =я,Д.(Л?). |
Общее решение системы (60) будет иметь вид;
Определение значений D[ производится из начальных условий. Динамические нагрузки, действующие на буфера и металлокон струкции крана в случае наезда моста крана с вертикальной кон солью на упругие упоры, будут:
где Рб — динамические нагрузки, действующие на буфера; сб— жесткость буферов.
Остальные величины имеют прежние обозначения.
Наезд моста крана с вертикальной и горизонтальной консолями на упругие упоры (буфера)
Расчетная схема показана на рис. 81. Принимаем, что тележка находится в середине моста, хобот направлен вдоль моста, ско рость движения моста о0, двигатели механизма движения моста отключены и торможение отсутствует. В нашем случае:
I = const; |
l\ = 0 |
Р = 0; |
р = 0 |
2 = 0; |
z = 0 |
/* = 0; |
/г = 0 |
Преобразовывая систему (36), получим новую систему уравне ний движения:
