книги / Принципы и практика решения задач по общей физике. Электромагнетизм
.pdfНайдем теперь скорость распространения волны тока и напряжения вдоль коаксиального кабеля. Ранее мы уже на ходили его емкость и индуктивность
^ 2 п а
Тогда
1
v= — =
А С0
с, = 2щ
0 1л Ыа
1
= —= = г = С.
Vе0^0
Иначе говоря, вдоль коаксиального кабеля электриче ские колебания распространяются в виде волны со скоростью света. Если линия не бесконечна (свободные концы, либо они закорочены), то происходит отражение волны и появляется стоячая волна с пучностями и узлами тока и напряжения.
43. Движение заряженных частиц в электромагнитных полях
При движении частицы с зарядом q и массой т в элек
трическом и магнитном полях на нее действует сила Лорен
ца F , которая складывается из кулоновской силы Fk - qE
и магнитной Fm= |
: |
F =qE +q^yB~^.
Само движение подчиняется второму закону Ньютона, который при релятивистских скоростях имеет вид
d mv
dty jl- { v /c f
Вобщем случае, когда электрические и магнитные поля неоднородны и изменяются со временем, движение частиц носит весьма сложный и запутанный характер. Проинтегри
ровать уравнения движения в аналитическом виде удается не всегда. Но если магнитное поле сильное (по сравнению с электрическим), а его изменения в пространстве и времени достаточно медленные, то ситуация значительно упрощается. Ну и наконец, если поля стационарные и однородные, то за дача, как правило, становится совсем простой. В этом случае иногда бывает удобно перейти в другую инерциальную сис тему отсчета, в которой можно исключить электрическое поле и исследовать движение частицы только в магнитном поле. Связано это с тем, что при переходе от одной системы отсчета к другой поля Е и В определенным образом преоб
разуются. Законы этих преобразований |
устанавливаются |
|||
в специальной |
теории относительности. Если К' -система |
|||
движется относительно ^-системы со скоростью |
v0 « с , |
|||
то поля Ё' и В' |
связаны с полями Ё и В |
следующим об |
||
разом: |
|
|
|
|
E' = E +[ V0B ], B' = B - [ V0E ]/C2 |
(1) |
|||
Первая из этих формул получается достаточно просто. |
||||
Пусть в ЛТ-системе в некоторый момент времени t |
заряд q |
|||
имеет скорость |
v0. На него действует сила |
F =qE +<7^v0B j. |
||
Если перейти |
в |
К' -систему, движущуюся относительно |
А'-системы со скоростью v0, то в ней исчезает магнитная сила и остается только кулоновская сила F' =qE. Так как при v0 « с сила инвариантна (F ' = F ) , то приходим к первой из формул в (1). Кроме того, для нерелятивистских частиц мож но считать, что В' = В .
Рассмотрим для примера движение заряда в скрещенных однородных и стационарных электрическом и магнитном по лях. Пусть в момент времени / = О частица с удельным заря
дом qlm находится в начале коорди нат. В это время включаются взаимно
перпендикулярные |
поля |
Ё |
и В |
|
(рис. 4.23). Описать дальнейшее нере |
||||
лятивистское движение частицы. |
|
|||
Нетрудно сообразить, что ее дви |
||||
жение будет |
происходить |
все |
время |
|
в плоскости |
XY |
Конечно, можно последовательно проин |
тегрировать записанный в проекциях второй закон Ньютона
m ^ = qE + q\yB \.
Однако это достаточно утомительная задача, поэтому попробуем перейти в такую К' -систему отсчета, в которой будет наблюдаться только магнитное поле. Из преобразова ний (1) следует, что электрическое поле исчезает в системе отсчета, движущейся со скоростью v0, удовлетворяющей со
отношению Ё = - ['v0f ij . Отсюда видно, что движение части цы будет наиболее простым, если вектор v0 направить вдоль оси X Итак, если перейти в систему отсчета, движущуюся со скоростью v0 =E/B в направлении оси X , поле Ё' об ращается в нуль, а так как v0 « с , то магнитное поле остает ся прежним.
Вновой системе отсчета частица будет двигаться только
вмагнитном поле перпендикулярно вектору В, т.е. по ок ружности радиусом R , который можно найти из уравнения движения
Таким образом, частица движется равномерно со скоро стью v0 по окружности в К' -системе, которая перемещается
в направлении оси X |
также со |
|
скоростью |
v0 = E IB . |
Такое цик |
лоидальное |
движение |
рассматри |
валось нами ранее (см. часть 1, подразд. 3.1) и его можно описать как движение точки обода колеса радиусом R , катящегося без про скальзывания с угловой скоростью (0= v0/R =qB/m (рис. 4.24, пунк тирной линией отражена траекто
рия частицы). Координаты частицы q в момент времени t
находятся как
x(t) = v0t - R sin (i)t =а ( ш - sin ш ),
(2)
y(t) = R-Rcoscat = a(l-coscof).
Здесь a -m E /q B 2, а значение оi =qB/m называется цикло тронной частотой. Уравнения (2) описывает так называемый электрический дрейф частицы, а скорость v0 =[^£flj/fl2 -
скорость дрейфа.
43.1. Преломление электронного пучка. Электроны, движущиеся со скоростью V ,, переходят из области электри
ческого поля с потенциалом (р, в область с потенциалом <р2. Под каким углом к нормали к границе раздела областей будет двигаться пучок, если он подходит к ней под углом a ?
Выберем направление норма ли к границе раздела за ось X (рис. 4.25). Преломление электрон ного пучка происходит из-за того,
что в направлении, перпендикулярном границе раздела об ластей с разными потенциалами, т.е. вдоль оси X действует сила. Эта сила изменяет только составляющую скорости vx,
но не изменяет составляющую |
vy . Воспользуемся законом |
|||
сохранения энергии для одиночного электрона: |
||||
тvfx . mvf, |
|
v i |
/nv? |
|
Ь |
_ т*2х |
2у |
-Сф2, |
|
2 |
-eq>, = — —+ |
2 |
||
' |
2 |
|
где величины, помеченные индексом 1, относятся к первой области, а индексом 2 - ко второй области. Так как Vj^, = v2y,
то приходим к более простому равенству
_ _ !i_ e(pi= _ ---- *р2. |
О) |
|
Из рис. 4.25 следует, что tgP = v2y/ v2x. Найдем v2x из (1):
2^(ф2 ~<Pi) V!' = 4 1+' « г ,
Тогда
tgP =
mvfx
И так как v2 / vu = tg a , a v,x = vcosa, получаем
tgP = tga 1+ 2g((p2 —<Pi) mv2 cos2 a
4.3.2. Угловой разброс электронов. Узкий пучок элек тронов, ускоренный напряжением U , входит в плоский кон денсатор параллельно его пластинам, расстояние между ко торыми d много меньше его длины (рис. 4.26). Каков мак симальный угловой разброс электронов, если на пластины подается переменное напряжение U0sinсо/ ?
Y |
UQsin Ш |
|
1 |
т |
_—- у |
dI2 |
|
а |
Будем полагать, что период изменения напряжения на кон денсаторе много больше време ни пролета электронов вдоль пластин, т.е.
~ т ~ |
2п |
I |
Т =— » — , |
||
Рис. 4.26 |
со |
v0 |
|
|
|
где VQ - начальная скорость |
электронов, |
которую можно |
найти из закона сохранения энергии |
|
|
mvI |
fleU |
(1) |
-< L =eU -> v0 = J ----- |
||
2 |
V m |
|
В этом случае за время пролета электронов через кон |
||
денсатор напряжение на нем |
не успевает |
изменить знак |
и происходит плавное изменение угла отклонения электро нов. Значение этого угла при выходе из конденсатора можно найти из соотношения
Запишем теперь для направления Y второй закон Нью
тона
mvy =-eE0sin сос, |
(3) |
где E0 =U0/d - амплитуда напряженности электрического поля. Но интегрировать уравнение (3) будет не совсем пра вильным, так как момент входа электронов в конденсатор никак не синхронизирован с переменным напряжением на конденсаторе. И если мы хотим найти максимальный угло вой разброс электронов, то из подаваемого на конденсатор напряжения U =£/0 sin со/ необходимо взять временной уча сток, на котором электрическое поле будет максимальным.
Таким образом, необходимо интегрировать на самом деле уравнение
mvy = еЕ0coscof
в интервале времени от до . Именно на этом уча
стке электроны испытывают максимальное возмущение. Проделав это, получаем
2еЕ0 . |
ml |
--------- s m |
--------. |
mm |
2v0 |
Тогда максимальный угловой разброс электронов с уче том формул (1) и (2) можно найти как
а = ± a rc tg ГгГ(/о-sin rml т
\m U dm 1 2)12eU J
4.3.3. Расширение электронного пучка. Бесконечно длинная щель шириной d выделяет плоский пучок электро нов с энергией W (рис. 4.27). На каком расстоянии х от ще ли ширина электронного пучка удвоится из-за кулоновского расталкивания электронов, если электронный ток, приходя щийся на единицу длины щели, ра вен /?
Будем полагать, что пучок расши ряется достаточно медленно, так что продольное электрическое поле Ех
можно не учитывать. Запишем уравне ние движения в направлении оси Y для граничных электронов (на краю пучка за щелью):
ту = -еЕ , |
( 1) |
где Е - напряженность электрического поля на краю пучка. Для ее определения выделим тонкий слой электронного пуч
ка толщиной dx |
в направлении |
движения электронов |
||||
и единичной ширины в направлении щели. Применим к это |
||||||
му слою теорему Гаусса |
EdS -q !% |
|
|
|||
|
|
2Edx =^ - . |
|
|
||
Здесь dq - |
заряд |
всех |
электронов |
пучка, находящихся |
||
в выделенном слое. Этот заряд можно найти как |
dq =idt = |
|||||
=idx/v, где v - скорость электронов. Тогда |
|
|||||
|
|
|
E= T v- |
|
(2) |
|
Подставляя (2) в (1), получаем дифференциальное урав |
||||||
нение для границы пучка у - у{х) : |
|
|
||||
|
|
d 2y _ |
ei |
|
(3) |
|
|
|
dx2 |
2mv3 |
|
||
|
|
|
|
|||
(при этом мы воспользовались тождеством |
dx |
|||||
|
|
|
|
|
dt |
|
Интегрируя |
уравнение |
(3) |
при |
начальном |
условии |
|
у(0) =d /2 , получаем |
|
|
|
|
|
|
|
|
y W = l _ _ f i _ * 2 |
|
|
||
|
|
У {) |
2 |
4mv3 |
|
|
Потребуем теперь удвоения толщины пучка при задан |
||||||
ном х . Отсюда находим |
|
|
|
|
||
|
|
|
/2mvV |
|
|
|
|
|
|
V |
ei |
|
|
где значение |
v находится как v = J W j т . |
|
||||
4.3.4. |
Фокусировка |
в магнитном поле. Слабо расхо |
дящийся пучок нерелятивистских заряженных частиц, уско
ренных напряжением U , выходит из точки А вдоль оси пря мого соленоида. Пучок фокусируется на расстоянии / от точки А при двух последовательных значениях индукции магнитного поля - Вх и В2. Найти удельный заряд qlm этих частиц.
Термин «слабо расходящийся пучок» означает, что заря ды двигаются в магнитном поле по сильно вытянутым винто вым линиям, у которых отличаются радиусы кривизны R , но одинаков период обращения Т и шаг винтовой линии L. В этом нетрудно убедиться, обратившись ко второму закону Ньютона:
mvx = qVxB -» R = mvx R qB
здесь vL - составляющая скорости, перпендикулярная векто
ру В (для разных зарядов она разная). Найдем теперь шаг винтовой линии:
2nR 2лmv
L = v«T ~ V-
~ q B '
Здесь Vj| - составляющая скорости, параллельная вектору В (при малых углах расхождения vj( * v). Видно, что шаг вин товой линии для зарядов, движущихся под малыми углами к вектору В , одинаков и определяется величиной индукции магнитного поля. Это и позволяет сфокусировать пучок в одной точке. Пусть при значении В = В1 пучок сфокусиро вался, сделав п оборотов, т.е. I = п • L(By) . Или
О)
qBx
Увеличивая последовательно значение поля до В = В2,
мы снова приходим к фокусировке, но пучок уже сделает на один оборот больше, т.е.
2nmv |
(2) |
' = ( » + а - |
|
Фг |
|
Исключая из (1) и (2) значение и, приходим к соотно |
|
шению |
|
2nmv |
|
Ч в г - 5 ,) = |
|
Я |
|
Тогда с учетом v=y]2qU 1т для удельного заряда по
лучаем
д _ 8п2Ц
т~ 1Ц в ,-в ,)г '
43.5.Удаление электрона от провода. С поверхности цилиндрического провода радиусом а , по которому течет постоянный ток / , вылетает электрон с начальной скоростью v0, перпендикулярно поверхности провода. На какое макси
мальное расстояние удалится электрон от оси провода, преж де чем повернуть обратно под действием магнитного поля тока?
Выберем систему координат, как показано на рис. 4.28. Очевидно, дви жение электрона происходит в плоско сти XZ и описывается вторым законом
Z Ньютона
|
т~ т - я \у в ]- |
(1) |
|
Рис. 4.28 |
at |
^ J |
|
|
|
|