книги / Принципы и практика решения задач по общей физике. Электромагнетизм
.pdfКак правило, электрические колебания зарождаются в так называемом колебательном контуре. Под ним обычно понимают контур, содержащий катушку индуктивностью L и конденсатор емкостью С . В таком контуре при отсутствии сопротивления проводников совершаются периодические колебания, при которых изменяется заряд конденсатора, напряжение на нем и ток через индуктивность. Если же сопротивление проводников R * 0 , то будет происходить также преобразование электромагнитной энергии в джоулеву теплоту.
Рассмотрим общий подход к исследованию электриче ских колебаний на примере стандартного колебательного контура (рис. 4.7), включающего в себя кроме указанных ранее элементов генератор с ЭДС
Выберем положительное направление |
R |
|
|
|
|
обхода контура (для применения зако |
С ~ |
|
на Ома), например, по часовой стрел- |
|
|
ке. Пусть в некоторый момент време |
2 |
] |
ни нижняя обкладка конденсатора (2) |
l.. ■■Л/Л |
■■1 |
|
|
|
имеет заряд q> 0. Тогда за время dt |
w |
|
заряд получит приращение dq> 0 : |
Рис. 4.7 |
|
dq = Idt, |
|
0 ) |
где I - мгновенное значение силы тока (при другом выборе направления обхода контура в соотношении (1) следовало бы
сменить знак перед /). |
|
Запишем закон Ома для участка цепи IRL2 |
(внутри |
конденсатора ток не течет!) |
|
/Д = Ф,-Ф2+ * ,+ ? , |
(2) |
где ШS= -Ldlldt - ЭДС самоиндукции; ф[-ф2=-<7/С -
разность потенциалов на обкладках конденсатора. С уче том (1) уравнение (2) можно представить в виде
Lq +Rq +1 = Г
C
Данное уравнение называется уравнением колебатель ного контура. В общем случае - это линейное дифференци альное неоднородное уравнение второго порядка с постоян ными коэффициентами. Найдя из него функцию q(t) , можно в дальнейшем рассчитать напряжение на конденсаторе
Uс = q/С , силу тока и др. Если ввести обозначения
й)п
то уравнение (3) приводится к стандартному уравнению ко лебаний
q +2|3q + (002q = |
, |
(4) |
здесь со0 - собственная частота контура, Р - коэффициент затухания.
При Ш= 0 колебания принято называть собственными или свободными, при R - 0 они являются и незатухающими. Следует заметить, что уравнение (4) можно получить и из энергетических соображений. И, как правило, задачи на элек трические колебания сводятся к решению уравнения (4) в его различных частных случаях.
Рассмотрим теперь некоторые конкретные случаи обще го подхода к исследованию электрических колебаний.
4.2.1.Конденсатор с утечкой. Колебательный контур
содержит катушку с индуктивностью L и конденсатор с утечкой. Емкость конденсатора С , его активное сопротив ление R . Найти частоту затухающих колебаний такого кон тура, пренебрегая сопротивлением катушки.
Наличие утечки означает, что небольшая часть тока Г поступающего на одну из обкладок конденсатора, проходит
через диэлектрик внутри конденсатора на другую обкладку (рис. 4.8). Запишем закон Ома для участка цепи -q, L, + q:
/ Д + ( /= 0 , |
(1) |
dt |
|
где U - напряжение на конденсаторе, определяемое мгно венным значением заряда конденсатора
q =CU |
(2) |
Кроме того, значение U можно связать с протекающим внутри конденсатора током /'
U = RI' |
(3) |
При наличии утечки скорость изменения заряда конден сатора определяется разностью токов / и /'
*1 =1 -1 ' |
(4) |
d t |
|
Для определения частоты ко лебаний нам необходимо иметь яв ное выражение для какой-либо из меняющейся величины: тока, заря да либо напряжения. Попытаемся найти, например, закон изменения напряжения на конденсаторе U Исключая из системы уравнений
(1)-(4) величины q, I и /',нетруд-
но получить дифференциальное уравнение для напряжения на конденсаторе
U +2$U +ш02и =0, |
(5) |
|||
где |
|
|
|
|
0)п |
2 |
1 |
а 1 |
|
|
= — , |
р = ----- |
|
|
0 |
|
LC |
2RC |
|
Хорошо известно, что решением уравнения (5) при Р < со0 является функция
U(0 = U0exp(-Pf)cos(o« + а ) ,
где со - искомая частота затухающих колебаний,
Это выражение является ответом зада
1
чи и существенно отличается от частоты
т Q затухающих колебаний для контура с ак тивным сопротивлением и конденсатора без утечки:
Рис. 4.9
Нетрудно убедиться, что конденсатор с утечкой можно смоделировать как параллельное соединение идеального конденсатора и сопротивления R (рис. 4.9).
4.2.2. Треугольный колебательный контур. Электри ческий контур представляет собой треугольник, каждая сто рона которого содержит емкость С , а вершины соединены с общей центральной точкой индуктивностями. Пренебрегая сопротивлением и взаимной индуктивностью, найти частоту возможных колебаний.
Как выглядит контур, ясно из условия задачи. Неясным остается только один вопрос, в какой последовательности чередуются знаки заряда конденсаторов? Это, как мы уви дим, определяет характер протекания токов при разряде конденсаторов. Так как все индуктивности, как и конденса торы, одинаковы, то существует только две физически раз личные последовательности знаков заряда конденсаторов (рис. 4.10).
Рис. 4.10
В ситуации, отображенной на рис. 4.10, б, ни одна ин дуктивность не «работает», т.е. через них не протекает ток. Ток течет только по проводам, соединяющим разноименно заряженные обкладки соседних конденсаторов. В такой схе ме ни о каких колебаниях не может идти и речи. В ситуации же, отображенной на рис. 4.10, а, не «работает» только одна индук тивность между точками О и 2. По оставшимся двум индуктивностям будет протекать ток. Если убрать «неработающую» индуктивность, то мы придем к довольно простой схе ме обычного колебательного конту ра (рис. 4.11). Емкость такого конту
ра С/ = ЗС/2, а индуктивность L' = 2L (соединение индук тивностей мы рассматривали в задаче 4.1.6). Таким образом, частота колебаний в таком контуре
1 1
со= VZ/c7 у/зГ с'
4.2.3. Контур с индуктивной связью. Колебательный контур содержит конденсатор емкостью С и соленоид с ин дуктивностью L, (рис. 4.12). Соленоид индуктивно связан
с короткозамкнутой катушкой, имеющей индуктивность
и пренебрежимо малое активное сопротивление. Их взаимная ин дуктивность Ц2. Найти собст венную частоту данного колеба тельного контура.
Казалось бы, что можно сразу воспользоваться формулой (0= 1Ы Ь С , где под L понима ется значение L,. Но это не со
всем так. Поведение индуктивности определяется не только ее собственными параметрами, но и окружением. В данном случае катушка L, имеет индуктивную связь с катушкой . И тогда возникает вопрос, а чему же равна эффективная ин дуктивность контура? Рассмотрим более подробно характер протекания тока в контуре CL,. Запишем для выбранного на правления обхода этого контура закон Ома:
-± +ггл +&п =о. |
а) |
Здесь %sX= -L )dlxldt - ЭДС самоиндукции, определяемая скоростью изменения тока /,; %л = -L vldl2/ dt - ЭДС взаим ной индукции, определяемая скоростью изменения тока в кон туре, содержащем L?. Значение Il = dq/dt. Таким образом, уравнение (1) можно записать как
^ Ця ^2^2 |
(2) |
В данном уравнении присутствуют две неизвестные функции <7(0 и /2(0 ■Значит, нужно еще одно уравнение их связывающее. Для этого запишем закон Ома для короткозамкнутого контура, содержащего :
|
*,2+*i2=0, |
О) |
|
где <?j2 --L ^ d h /d t |
- ЭДС |
самоиндукции, |
a ^ l2 = |
=-L l2dll/dt - ЭДС |
взаимной |
индукции. Таким |
образом, |
уравнение (3) будет выглядеть как |
|
||
|
- Z ^ - Z ^ O |
(4) |
(мы учли, что Ii= q). Исключая из уравнений (2) и (4) значе ние / 2, приходим к дифференциальному уравнению относи тельно <7(0 :
Я |
= 0 . |
\ |
|
Отсюда сразу видно, что эффективная индуктивность первого контура равна Lj - t 122/L2, поэтому частота его ко лебаний
|
со = 1 |
^ |
|
( z ^ - z ^ J c - |
|
4.2.4. |
Контур в магнитном поле. Катушка колеба |
|
тельного контура с индуктивностью L помещена между по |
||
люсами электромагнита, создающего в ней постоянный |
||
магнитный |
поток Ф0. Конденсатор емкостью С вначале |
не заряжен. Активное сопротивление контура равно нулю. В момент времени t = 0 магнитное поле выключается. Время выключения мало по сравнению с периодом собственных колебаний контура. Найти зависимость от времени тока в контуре.
Так как время выключения магнитного поля очень мало, то появившийся индуктивный ток еще не успеет зарядить конденсатор. Поэтому согласно закону Ома
RI =- — - L — . dt dt
В нашем случае R= 0, значит, Ф + L/ = 0. Интегрируя
это уравнение, получаем Ф0 = Ы0, где /„ - значение началь ного тока сразу после выключения поля. Дальнейший про цесс изменения тока будет описываться стандартным урав нением
( 1)
решение которого относительно тока имеет вид
/(0 = /mcos(cv + a ).
Здесь /т - максимальный |
ток; |
a - начальная фаза; |
a),, = 1/VZC. Значения 1т и а |
нетрудно найти из начальных |
|
условий |
|
|
/(0) = /0, |
~ |
=0 |
о
(второе условие вытекает из уравнения (1), так как при t =0 заряд конденсатора был еще равен нулю). Из этих условий находим а = 0 и /т = /0 • Таким образом, закон колебаний тока будет иметь вид
ф |
( |
I ( t ) = l 0 COS(OQt = — 2-COS |
|
^ |
ч |
4.2^ . Контур с постоянной ЭДС. Найти закон измене ния тока и напряжения на конденсаторе после замыкания ключа К в схеме, отображенной на рис. 4.13.
Запишем закон Ома для участка цепи -q,% , +q при указанном направлении обхода: -q /C +& - Ldl/dt =0. Или
Решение данного неоднородного дифференциального уравнения, как легко убедиться, имеет вид
|
|
К |
|
q = q0sin (co^f+ a) + C% , |
|
|
|
Рис. 4.13 |
где |
co0 = 1/VZC , а значения |
постоян |
ных |
q0 и а находятся из |
начальных условий <?(())= О |
|
= /(0) = 0 (вначале конденсатор был не заряжен и то |
|
|
1=0 |
|
ка в цепи еще не было). Следовательно, для определения qQ
и а имеем систему уравнений
q0sma +C ^ = 0, <70со0 cos a = 0.
Отсюда сразу следует а = я/2, q0 =-СШ Таким обра зом, закон изменения заряда конденсатора имеет вид
q(t) =С%(1-cos(B0/ ) .
Теперь можно найти как закон изменения тока /(/) =q =C&0iQsin a\ t ,
так и напряжения на конденсаторе
U =-^=r(l-cos©0f).
Причем максимальный ток в контуре
Imax = CftDb=#
|
|
Uшах = 2Г |
|
|
|
|
4.2.6. |
Установление колебаний. Катушку с индуктив |
|||||
ностью L и активным сопротивлением R подключили в мо |
||||||
мент времени |
t =0 |
к источнику напряжения U =Umcos(Ot |
||||
|
|
(рис. 4.14). Найти закон измене |
||||
|
|
ния тока в катушке. |
|
|||
U=Umcos(ot($) |
|
Запишем |
закон Ома |
для |
||
|
данного |
контура |
RI = |
|||
|
R |
|||||
|
=U - L d lld t, или |
|
||||
Рис. 4.14 |
|
dl |
R . |
Um |
... |
|
|
-----+ — / |
= —^ COS ОЛ |
( 1 ) |
|||
|
|
|
Л |
L |
L |
|
Решение этого уравнения складывается из двух слагае |
||||||
мых. Первое слагаемое - общее решение однородного урав |
||||||
нения |
|
|
|
|
|
|
|
|
R , |
|
|
|
|
|
|
Ё1 +—I = 0 . |
|
|
|
|
|
|
dt |
|
|
|
|
Оно, как мы знаем, имеет вид |
|
|
|
|
||
|
|
R |
\ |
|
|
|
|
|
/, = Лехр ---- |
1 |
|
|
|
|
|
L / |
|
|
|
|
где А - произвольная постоянная, которую можно найти из |
||||||
начального условия |
/(0) = 0. Второе слагаемое - частное ре |
шение неоднородного уравнения. Предположим, что оно, как и внешнее напряжение, также имеет гармонический вид (это разумное предположение):
/2 = jBcos(coi-(p),
где В - амплитуда гармонической части тока; <р - сдвиг фа зы колебаний тока относительно внешнего напряжения. Их можно определить после подстановки выражения (2) в урав нение (1). Проделав это, приходим к равенству