книги / Принципы и практика решения задач по общей физике. Электромагнетизм
.pdfэлектрическое поле Е* Его линии представляют собой ок ружности, одна из которых совпадает с непроводящим заря женным кольцом. Динамика вращения кольца определяется уравнением
Л /= /— , |
(1 ) |
dt |
|
где М - момент кулоновских сил; I - момент инерции коль ца / = тгг (г - радиус кольца). Осталось только найти мо мент сил.
M = E*qr.
Поступая аналогично предыдущей задаче для Е' полу
чаем
Тогда (1) запишется в виде
В
—rqr =mr~(0.
2
И так как вначале кольцо не крутилось, то его угловая скорость будет зависеть от времени синхронно с изменением индукции магнитного поля
Bq
со = — -
2т
(знак минус связан с правилом Ленца и показывает, что на правление вектора со противоположно вектору В ).
4.1.5. Импульс рамки. Прямоугольная рамка со сторо нами а и b находится на расстоянии / в одной плоскости с прямым проводом с током /0 (рис. 4.4). Какой импульс по лучит рамка при выключении тока /0, если ее сопротивление равно R2
|
|
|
Прежде всего |
попытаемся |
по |
||
|
|
|
нять, каким образом и импульс како |
||||
|
|
|
го направления получит рамка? |
Так |
|||
f |
|
|
как провод с током |
/0 |
обладает ин |
||
, |
/ . |
а |
дуктивностью, то даже |
размыкание |
|||
ключа не устранит ток мгновенно. |
|||||||
|
|
|
|||||
|
Рис 4 4 |
В этом случае по проводу будет течь |
|||||
|
быстро уменьшающийся со временем |
||||||
|
|
|
|||||
ток |
/(/). |
Его изменяющееся магнитное |
поле |
возбуждает |
в рамке индукционный ток /(/). По правилу Ленца этот ток должен препятствовать уменьшению магнитного потока че рез рамку, т.е. магнитное поле индукционного тока направ лено туда же, что и поле тока / . Поэтому индукционный ток будет направлен по часовой стрелке, а это в конечном итоге приведет к притяжению провода и рамки. Таким образом, идея решения задачи будет следующей. Вначале рассчитаем индукционный ток рамки i(t) , который должен быть связан с током провода I(t). Затем найдем амперовскую силу взаи модействия рамки и провода F(t) . Ну а значение этой силы
даст нам импульс рамки р = \F (t)dt, где интегрирование
проводится по времени исчезновения тока провода. Правда, это время нам неизвестно, но, как увидим из дальнейшего, оно нам и не потребуется.
Пренебрегая индуктивным сопротивлением рамки, ее ток можно найти из закона Ома
где Wi - ЭДС индукции, обусловленная изменением магнит ного потока через площадь рамки,
d<t> dt '
Так как поле прямого |
провода нам известно |
|
(В = ц01/2пг) , то магнитный поток |
|
|
Ф(t)=b J Bdr = bll0I(t)h a + l |
||
а + / |
|
|
l |
2n |
l |
Тогда для тока рамки имеем |
|
|
Мa +l dl
т = 2RR ~ l ~dt'
Этот ток обусловливает притяжение ближней стороны рамки и отталкивание дальней стороны. Полная сила Ампера находится как
r _\L0b l i ( \ |
1 ^ |
2п \1 |
1 +а) |
Подставляя сюда выражение для i(t), получаем
F(t) = ИоЪ |
|2 |
а |
, a + l 1 d ,2 , . |
|||
|
— ;---- -In------------- r (t) |
|||||
2п |
|
Rl(l +a) |
l |
2 dt |
||
Здесь мы воспользовались тем, что |
|
|
||||
|
|
dl |
1 d l2 |
|
|
|
|
|
dt |
2 dt |
|
|
|
И окончательно находим |
|
|
|
|
||
Р = |
|
|
|
а |
|
. а +1 |
|
|
-----;----- гIn----- |
||||
|
|
|
2Rl(l + a) |
l |
4.1.6. Соединение индуктивностей. Две катушки ин дуктивности £, и 1^ соединяют либо последовательно, либо параллельно. Пренебрегая взаимной индуктивностью кату шек, найти индуктивность системы в обоих случаях.
Представим, что мы имеем две системы проводников, обладающих одинаковой индуктивностью. Такие системы, естественно, должны вести себя одинаковым образом. В ча стности, должны создавать магнитные поля с одинаковой энергией при подводе к ним одинаковых токов. Попробуем этим воспользоваться. Так как мы пренебрегаем взаимным влиянием катушек, то полная энергия этой системы составит 1/ 2 - Lyly + 1/ 2 -1^122, где /[ и /2 - токи, протекающие по ка тушкам индуктивности Ly и L}. И эта энергия должна быть
равна 1/2 LI2, где I - ток, протекающий по катушке с ин дуктивностью L, заменяющей систему соединенных индук тивностей L, и L}. Таким образом, мы потребуем выполне ние равенства
( 1)
независимо от вида соединения катушек.
Пусть катушки соединяются последовательно. В этом
случае, очевидно, все токи одинаковы: |
|
/ , = / 2 = / |
(2) |
Тогда из (1) немедленно следует, что |
|
L = Ll + L2. |
|
Соединим теперь катушки параллельно. Сейчас же сум ма токов отдельных катушек должна быть равна току, проте
кающему через катушку с индуктивностью L : |
|
/ = А + /2- |
(3) |
Нетрудно проверить, что равенства (1) и (3) могут быть |
|
выполнены одновременно только при условии |
|
LI = L\Iу= V 2 • |
(4) |
Перепишем теперь равенство (3) в виде
L L = h L + b L
L А А* ' Отсюда с учетом (4) получаем
I-_L _L
L Ly Lj
Заметим, что расчет индуктивностей при их последова тельном и параллельном соединениях проводится точно так же, как и расчет сопротивлений. Это становится понятным, если учесть, что индуктивное сопротивление переменному току с частотой со равно соL .
4.1.7. Взаимная индуктивность треугольных конту ров. Два одинаковых контура в виде равносторонних тре угольников (из тонких проводов с изоляцией) одной сторо ной совмещены, а расстояние между противоположными вершинами равно стороне треугольников. Индуктивность каждого контура L . Найти их взаимную индуктивность.
Расчет взаимной индуктивности тонких контуров обыч но проводится по следующей схеме. Запускают ток / в один контур и находят магнитный поток через второй контур. От ношение этих величин и есть взаимная индуктивность .
Понятно, что здесь не удастся провести прямой расчет вза имной индуктивности, так как не известны геометрические параметры контуров. Поэтому воспользуемся соображениями симметрии и тем, что индуктивность каждого контура нам известна. По определению индуктивность контура есть от ношение магнитного потока Ф1 через поверхность, натяну
тую на контур, к его силе тока /,:
L - ± .
где Ф2 - магнитный поток через второй контур. Приставим теперь мысленно к этим двум треугольным контурам еще два таких же контура, образовав тетраэдр. Тогда в качестве вто рого контура может быть взят любой из трех контуров, одна сторона которых соприкасается со сторонами первого конту ра. В силу полной симметрии их магнитные потоки Ф2 будут одинаковыми и равными одной трети от полного магнитного потока трех соприкасающихся граней тетраэдра. Этот поток в силу теоремы Гаусса <j§dS =0 равен Ф,. Таким образом, Ф2 = Ф, / 3. Откуда сразу следует, что
4.1.8.Теорема взаимности. Рассмотрим несколько по
лезных применений теоремы взаимности = L,2.
1. Имеется тонкое кольцо радиусом а с током / . Найти индукцию магнитного поля в плоскости кольца в точке, на ходящейся на расстоянии г от центра, если г » а.
Ранее мы уже решали подобную задачу прямым расче том поля, исходя из закона Био-Савара (см. задачу 3.1.1). Воспользуемся теперь теоремой взаимности. Для этого вве дем еще один проводящий круговой контур радиусом г » а . Если по нему пропустить тот же ток I , что и через кольцо радиусом а , то по теореме взаимности Л,2/ = 1^,/ Отсюда
следует, что магнитный поток Ф,, создаваемый кольцом ра
диусом а через площадь контура радиусом |
г , равен потоку |
|
Ф2, создаваемому контуром радиусом |
г внутри себя через |
|
поверхность кольца радиусом а . Так |
как |
задано условие |
г » а , то |
|
|
ф2
Всилу аксиальной симметрии поля, создаваемого коль цом радиусом а , его магнитный поток Ф, можно предста
вить в виде
Ф, » fB(r')2nr'dr'
о
Таким образом, для отыскания зависимости В(г) мы имеем интегральное уравнение
jB(r')2nr'dr' =—
о2г
Дифференцируя это равенство по г , получаем
В(г)2%г = Н г т г
2г2 (знак минус мы опустили). Откуда сразу следует ответ
В(Г)М
4 г
2. Ток I течет по рамке в виде квадратного контура со стороной а . Найти магнитный поток через полу плоскость Р (рис. 4.5), граница кото рой ОО' отстоит от ближайшей сто роны рамки на расстояние Ь. Полу плоскость Р и рамка лежат в одной плоскости.
Магнитное поле тока 1 имеет еще более сложную конфигурацию, чем
в предыдущей задаче, поэтому непосредственно вычислить интересующий нас поток Ф очень трудно. Поэтому также
воспользуемся теоремой взаимности. Представим, что вдоль границы полуплоскости Р, огибая ее на бесконечности, те чет такой же ток I Магнитное поле этого тока - это поле прямого тока В =\1 0 1 /2 п г. Его магнитный поток через пря моугольный контур
|
|
I 2nr |
2п |
Ь |
|
И этот поток по теореме взаимности равен искомому по |
|||||
току от прямоугольного контура. |
|
|
|||
4.1.9. |
|
Электрическая цепь с индуктивностью. Найти |
|||
закон изменения со временем тока, текущего через индук |
|||||
тивность |
L (рис. 4.6) после замыкания ключа К в момент |
||||
U |
К |
1 |
Кроме искомого тока / |
при |
|
|
|
сутствуют еще два тока /, |
и / 2. |
||
|
|
Для их определения воспользуемся |
|||
|
|
правилами Кирхгофа для контуров |
|||
|
|
Ш |
и RL : |
|
|
I2R + 1xR =%,
- l 2R = %’s ,
где = —L—— ЭДС самоиндукции. Кроме того, dt
/ + /2 = Л.
Исключая из этой системы уравнений не интересующие нас токи /, и /2, для тока / получаем дифференциальное уравнение
r dl |
R , |
& |
dt |
2 |
2 |
Решение этого неоднородного уравнения складывается из двух частей. Первая часть - это общее решение однород ного уравнения
, „ |
* |
'I |
/ = Сexp |
- — t |
, |
уZL J
здесь С - некоторая константа.
Вторая часть - некоторое частное решение, например, / =&’/R . Поэтому полное решение
Так как при t =О ток был равен нулю, то, очевидно,
С= / R . Таким образом, получаем окончательно
4.1.10.Пролет сверхпроводящего стержня через со леноид. Сверхпроводящий тонкий стержень сечением 5 ,
длиной I и массой т летит издалека по направлению к со леноиду вдоль его оси. Индукция поля в центре соленои да В. Какой минимальной скоростью доложен обладать стержень, чтобы он смог пролететь через соленоид насквозь?
Для того чтобы стержень смог пролететь соленоид, ему достаточно дойти до области максимального поля внутри со леноида с индукцией В. Но в чем причина торможения стержня? Вдали от соленоида внутри стержня не было маг нитного поля. Но его не должно быть и в момент пролета со леноида. Вытеснение магнитного поля из сверхпроводящего стержня связано с появлением индукционных токов на по верхности стержня. В соответствии с правилом Ленца эти индукционные токи и обусловливают торможение стержня.
В данном случае разумно воспользоваться законом сохране ния энергии. Работа по созданию индукционных токов А равна энергии магнитного поля W в объеме, занимаемом стержнем
A =W = -----SI.
2Ц0
В силу закона сохранения энергии эта работа соверша ется за счет изменения кинетической энергии стержня, т.е.
2р0 2
Откуда находим
4.2. Электрические колебания
При протекании изменяющегося со временем тока, во обще говоря, в каждый момент времени ток оказывается не одинаковым на разных участках цепи (это происходит изза того, что электромагнитные возмущения распространяют ся хотя и с очень большой, но конечной скоростью). Для того чтобы можно было пользоваться законом Ома, необходимо выполнение условия квазистационарности: 1 « с Т , где I - длина цепи; с - скорость распространения электромаг нитных возмущений (очень часто она совпадает со скоро стью света); Т - период возмущений. При невыполнении ус ловия квазистационарности (это происходит при очень больших частотах, или очень длинных цепях), законом Ома уже нельзя пользоваться и требуется совершенно другой подход (этому будет посвящена отдельная задача).