книги / Проектирование устройств фильтрации радиосигналов
..pdfная ошибка имеет порядок, определяемый размерами диаграм мы неопределенности принимаемого сигнала, которая, напри мер зависит от ширины диаграммы направленности антенны или протяженности автокорреляционной функции импульса сигнала.
Алгоритм фильтрации строится рекуррентно. по периодам повторения сигнала на основе выражения (2.12). Так как плот ность /j[Y(/;t+i)] непосредственно от X не зависит, заменим ее постоянным множителем С:
Р [X '/*„). tk», Y (tM )]=Cp [X (tkH). **+1/Y (t„\)p [Y(/*„), X (f* ,n . (2.29^)
В выражении (2.29) плотность p [Y (/fc4.,)/X (^*ч)1 является функ цией правдоподобия принятого сигнала Y (/АМ). Плотность
вероятности p [X (/АН), tM j \ <£*)] образуется.путем преобразова ния распределения плотности p [ X (tk), tki \ (/*)]. за период повто рения сигнала Т„ и выполняет роль априорного распределения в выражении (2 29).
Выражение (2.29) описывает процесс объединения априор ной информации с новой информацией, содержащейся в при нятом сообщении Y(4+i).
При рекуррентной обработке предполагается, что извест ны параметры плотности распределения p [Х(/А1, fA'Y (£*)| после
приема |
ft |
импульсов сигнала и |
функция правдоподобия |
|||
p [Y (^*<-1).'Х (4+i)] — после |
приёма (ft-)-l5-ro импульса. Задача |
|||||
заключается |
в |
построении |
нового |
распределения |
p [X |
|
i/t+i/Y (£*+,)] иа |
основании выражения (2.29).,При |
вместо |
||||
PlX, t j y |
(i„)] |
используется априорное распределение р* [X]. |
||||
Если р0 [X] |
и |
p (Y (tk)/X] |
являются |
нормальными распределе |
ниями, вычисление выражения (2.29) существенно упрощается, так как при умножении нормальных распределений получается новое нормальное распределение. Рассмотрим этот случай под робнее. Пусть после приема ft-го импульса сигнала было полу чено распределение
р \ Х , /*/Y <**)! =
= (2*)-**|det Р(А )]-1'2 ехр { - ± . \ Х - Х ( к ) \ гР-1(к) [ Х - Х (£)))„
где |
А |
p [X, |
tkf \ |
(£ft)J; |
X ( k ) — точка максимума распределения |
||||
P (ft) — ковариационная матрица размерностью п X ч. |
|
|
||
Если изменение параметров сигнала описывается |
уравне |
|||
нием (2.13а), то из выражений (2.14) и (2.15) можно |
полу |
|||
чить |
|
|
|
|
|
p [X, JW Y (/*)) = |
|
|
|
= |
(2K)-"* [det Р- (Л + 1)]-1* exp ( - 1 [X - |
X* (ft + |
l ) f |
X |
где |
X- (ft + 1) = |
Ф (ft) X (k) — экстраполированное значение |
A |
на момент |
Ф ( k ) — переходная матрица уравнения |
X (k) |
(2.13a); P" (/г -J—1 ) — ковариационная матрица P (ft), |
экстраполи |
|
рованная на момент |
|
|
Р- (Л + 1)- |
Ф (ft) Р (Л)ФГ (ft) +Q (ft), |
(2.31) |
'AH |
|
|
Q (ft)= J Ф К |
<w ) g W 4 ,^ r w * r ( ^ W * . |
Функция правдоподобия /?[Y(4+i)/X] в общем случае име ет произвольную форму, но вблизи точного значения она мо жет быть приближенно представлена нормальным распределе нием. Чтобы найти параметры этого распределения, запишем функцию правдоподобия в виде
P [Y (^ +1)/Х] = ехр [Inp [Y
Разложим In р [Y (£ft+,)/X] |
в степенной |
ряд |
в точке X~(ft-)-l) |
||
и ограничимся |
членами второго порядка: |
|
|||
|
In р |
[Y (tM )/X\ = |
In р 1Y (fm )/X- (ft + 1 )] + |
||
|
d In/J [Y tfftnVX] |
[Xl - x r ( k + 1)] + |
|||
+ |
i2—1 |
dXi |
|||
|
X = X ( * + l) |
|
|
||
|
дЧПр \ \ ( ( л„)1Х\ |
[Xt- x г |
(ft+ |
1)] [X j - X T ( k +1 )]. |
|
I,J-I |
dXjdXj |
||||
|
X = X |
(ft + 1) |
|
(2.32) |
|
|
|
|
|
|
При использовании этого выражения следует учитывать специ
фическую структуру выражения (2.2) |
в |
радиотехнических за |
|||
дачах: |
|
|
|
|
|
Y [tk) = h (Н (ft) X (ft), |
*] + |
V (О, |
(2.33) |
||
где Н (£ )— матрица тХп, заполненная |
единицами и |
нулями. |
|||
В выражении (2.33) предполагается, что т параметров ft-й |
|||||
посылки сигнала |
(задержка, частота и т. д.) |
зависят от т ком |
|||
понентов вектора |
Х(6) (дальности, скорости |
и т. д.). Матрица |
|||
Н(А) показывает, |
какие составляющие вектора Х(£) |
участву |
ют в модуляции сигнала. Так как часть составляющих вектора
\ ( k ) |
непосредственно не влияет на сигнал Y(fft), ряд производ |
||
ных |
в |
выражении (2.32) |
равен нулю и результирующее число |
членов |
сумм оказывается |
равным т. Обозначив часть векто |
|
ра Х(&), участвующую в |
модуляции сигнала, как ii(ft), имеем |
|
|
Ч(Л) = |
Н(А)Х(А), |
|
|
|
|
(2.34) |
||
где H(ft) = [I,„ О], \т — единичная матрица т Х т , |
т^ . п. Тогда |
|||||||||
в выражении (2.32) в суммах |
останется |
лишь т слагаемых. |
||||||||
Введем обозначения: |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
д In р |Y (бы-/X] |
I |
л- |
9 ^— 1 » 2, |
|
/Л, |
|
|||
|
|
dm |
|
|
||||||
|
|
o r *i |
h - t i |
(fc + 1) |
|
|
|
|
|
|
|
д*\пр [УЦ ы УХИ |
/ ч „ |
* Л У |
— |
, |
т, |
, . |
|||
|
lt~ |
*Н *1/ |
I |
1 > |
2 |
|||||
|
|
|
tj=î) |
(А-И) |
|
|
|
|
|
|
|
|
г Т = [z,z2 |
|
А = [Л Лу]. |
|
|
|
|
||
Тогда |
(2.32) примет вид |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
lnp[Y (<*«)/X]=ln/> [Y ( ^ х)/Х -(Л + 1)] + |
|
|
|
||||||
|
|
+ *r H ( f t + l ) [ X - X - ( f t + l ) l - |
|
|
|
|
||||
— ^ |
[х — X- (А + l)]r H r (ft+ l)A H (ft-f- 1)[х — Х-(А + |
1)]. |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(2.35) |
Это выражение приближенно |
описывает |
ln р [Y (tM )IX] как |
||||||||
многомерную |
параболу, поэтому exp {In/> [Y (<*+|)/Х]| |
является |
||||||||
нормальным |
распределением. |
|
|
|
|
|
|
|
||
Используя выражения (2.29), (2.30) и (2.35), получим |
||||||||||
формулу для условного распределения^[X(tkht), |
tk+JY (**+1)]: |
/0 [ X ( W .W Y ( ^ ,) ] = C e x p { -y [X - X -(A + l)]r [(P-(A + l))-, +
+ Нг ( * + 1 ) АН( А+ 1 ) ] [ Х - Х - ( А + 1) |
+ |
-f-Zr H (A+ 1) IX - £ - ( * + !)]}. |
(2.36) |
Найдем требование, при выполнении которого условное рас пределение имеет вид
P [X (**„), W Y (^ i)l = |
С, exp { - i [X - |
X (ft + 1)]ГX |
|
X P -' ( f t + l ) l X - X ( f t + l ) ] j , |
(2.37) |
||
где Ci — коэффициент, не |
зависящий от X; |
A |
|
X (ft+ 1)— точка |
|||
максимума распределения; |
P (ft+ 1 )— ковариационная |
матри |
|
ца. Для этого в выражении |
(2.36) из всех |
X вычитаем и ко |
|
Л |
|
|
|
всем добавляем величину X(ft+1) и выносим в постоянный мно житель слагаемые, не содержащие переменную X:
P [X (4 +1), W Y (7ft+,)] = С, exp { - 4 IX - X (ft + 1)1г X
|
X P -1(k -b 1) |
[X - X |
(k + 1)] — [X (* + |
1) - X-(k + |
1 )]T X |
|
X Р-‘(ЛН-1)[Х— X (ft+ l)]+ z r H (* + l)f(X -X (ft + l)]j , |
||||||
|
P"‘ {k + 1) = |
[P- (k |
|
AH (k + |
|
(2.38) |
где |
1)]_1 4- Hr (é + 1) |
1). |
Сравни |
|||
вая |
выражения |
(2.38) |
и (2.37), можно |
сделать |
вывод, что |
А
X (/г -f- 1) будет соответствовать максимуму распределения, если
— IX (A: H- 1) — X- (/г -Ь I)]7 P-1 (Л + |
l) + -Zr H (ft+ |
1)= 0. |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(2.39) |
|
Из выражения (2.39) затем получаем |
|
|
|
|
|
|
|
||||
Х (Л + 1 ) = |
Р ( Л + 1 )Н Г (* + |
l)Z + X - ( * + l) . |
(2.4Э) |
||||||||
о |
|
Если |
равенство |
(2.40) |
выполня- |
||||||
|
ется, |
то |
точка Х(£-И) соответ |
||||||||
|
|
ствует |
максимуму |
условного |
|
рас |
|||||
|
|
пределения. Выражение (2.40) |
дает |
||||||||
|
|
структуру |
оптимальной |
оценки |
по |
||||||
|
|
критерию |
максимума |
услозного |
|||||||
|
|
(апостериорного) распределения ве |
|||||||||
|
|
роятности. |
Оценка |
получается |
пу |
||||||
|
|
тем |
сложения экстраполированного |
||||||||
|
|
|
|
А |
|
|
и |
поправки, за |
|||
|
|
значения Х~(&+1) |
|||||||||
|
|
висящей |
от |
принятого |
сообщения |
||||||
|
|
Y(//t+I)= Y (0 , |
/а< /< * л+1. |
|
|
||||||
|
|
Выясним смысл величины Z, раз |
|||||||||
|
|
ложив составляющую гг*в степенной |
|||||||||
|
|
ряд в точке Х(/г+1), соответствую |
|||||||||
|
|
щей истинному значению вектора X |
|||||||||
|
|
в момент //«+1. Если шумы в каналах |
|||||||||
|
|
измерения |
иекоррелированы, то при |
||||||||
|
|
принятых |
|
свойствах |
матрицы |
||||||
|
|
H (é+1) |
получим |
|
|
|
|
|
|||
|
|
д \ пр [У(/*+,)/Х] |
Х= X (А 1) + |
|
|
|
|
|
|||
|
|
tf.Yf |
|
|
|
|
|
|
|||
|
dXi |
|
[ X T ( b + \ ) - X , ( k + ] ) U 2 A l ) |
||||||||
|
■Х-Х (А+ 1) |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Выясним роль отдельных слагаемых |
в выражении (2.41). |
||||||||||
Максимум |
функции |
правдоподобия |
p[Y(^t+i)/X] |
располагает |
|||||||
ся вблизи |
точного |
значения Xt(k+ 1) |
(рис. 2.4). |
Так как мак- |
симум смещается относительно точного значения случайным! образом, значение
s _ 0 1n/»[Y(/fefl)/X1|
1 |
д ' ^ Ч |
|x-X(fc + 1) |
является случайной величиной с нулевым средним. Значение второй производной вблизи максимума есть почти постоянная величина:
К |
сМп р |Y Uk 4 )(X] |
|
|
dXi |
Х - Х ( Л + 1) |
||
|
|||
|
|
Таким образом, величина z t может., рассматриваться как выход оптимального дискриминатора, состоящий из полезного-
А
сигнала ошибки /С[Хг(&+1)—Хг(А + 1)] и случайной погреш
ности li. Крутизна оптимального дискриминатора при малых: ошибках является практически постоянной величиной и зави сит от ширины функции правдоподобия, которая определяется отношением сигнал/шум в радиоканале. С ростом шумов функ ция правдоподобия расширяется и крутизна К падает.
Построим в соответствии с выражением (2.40) схему опти мального нелинейного фильтра, реализующего оценку по прин ципу максимума апостериорной вероятности. Фильтр содержит' нелинейный дискриминатор (рис. 2.5), вырабатывающий сиг-
Рис. 2.5.
нал рассогласования Z между экстраполированным и точным: значением параметров. В линейной части фильтра сигнал рас
согласования оптимальным, образом объединяется с экстрапо-
/ч
лированной оценкой Х -(£+1). При линейном наблюдении вида;
Y (tM ) = Н (ft + 1 ) X (ft + 1) + V (ft -|Ч ). |
(2.42) |
где E (V (A-f 1) Vr (ft+ 1)| = R (ft+ П. метод максимума апос териорной вероятности приводит к известному алгоритму диск-
•ретного линейного фильтра Калмана. Для наблюдения вида (2.42) функция правдоподобия
р [Y |
= С exр { — i [Y (ft + 1) — Н (ft + |
1) X] ^X |
|
X |
R'1 (Л + |
1) [Y (ft-f 1) — Н ( й + 1 ) Х ] } , |
|
•и следовательно, |
|
|
|
Z = R-1(A+1)(Y(A: + |
1 ) - H (A + 1 )X - (* + 1 )] HA= |
R-, (* -И). |
Оптимальный дискриминатор при этом превращается в вычи тающее устройство, а оптимальная оценка принимает вид
X ( A + l ) - £ ( * + l ) + K ( f t+ l) lY ( * + l) — Н (* + 1 )Х -(* + 1)],
■где К (/s 4" 1) — оптимальный коэффициент усиления, К (к + 1) =
= P (* + l) H r (* + l)R -1 (УН- 1).
Можно получить более удобное с точки зрения вычислений выражение для К(&+1)> если использовать лемму об обраще
нии матриц (см. Приложение 1): |
|
K (* + l) = P-(Æ + l)Hr (Æ-f 1)[Н (*+1)Р -(*+1)Х |
|
X H r ( H l ) + R ( H l ) l ‘'- |
(2.43) |
Теория линейной фильтрации широко используется при из вестной структуре дискриминатора ошибки. Достоинство же нелинейной теории фильтрации заключается в том, что она позволяет синтезировать не только сглаживающую часть •фильтра, но и оптимальную структуру дискриминатора.
П р и м е р 2.3. Рассмотрим |
задачу |
проектирования |
нелинейного |
устрой |
||
ства измерения |
дальности. |
Принятый |
сигнал задается |
выражением |
(2.16), |
|
• а изменение его |
параметров |
во |
времени — выражением |
(2.17). При дискрет- |
.ном во временя поступлении информации целесообразен переход от диффе ренциального уравнения (2.16) к разностному
|
Х ( £ + |
1) = |
ФХ (At) -f- W(ft), |
|
|
E |
г |
r |
, „ JV,r г»/з |
|
|
( W ( * ; W r ( * ) ) - Q - - ^ |
£ |
TnJ |
|||
|
|
|
|
|
Функция правдоподобия при приеме (£+1)-го импульса определяется •выражением (2.20). При сильном сигнале можно воспользоваться тем фак том, что зависимость In/<,(*) при * > 1 близка к линейной. Тогда из (2.20) :получнм
^2 Vr 2Pc
In p [ Y ( W / X ] |
1п С + |
м |
(2.44) |
.Выражение (2.44) можно реализовать, выбирая с задержкой 2р/с0 напря-
:2 б
мера [3] R(k) = Wa‘q)~', где q — отношение снгнал/шум; р0 — среднеквадра тичная ширина энергетического спектра.
Использование метода максимума апостериорной вероятно сти позволяет строить фильтры параметров сигнала на основе хорошо развитой статистической теории обработки сигналов, что и позволяет применять известные результаты при построе нии функций правдоподобия радиосигналов.
При сравнении двух рассмотренных методов вычисления по ложения максимума апостериорной вероятности следует иметь
ввиду, что кроме чисто вычислительных различий (по объему вычислений) эти методы существенно отличаются требованиями
каприорным данным. Вычислительный подход дает возмож ность получить экспериментальную оценку точности измерений,
вто время как метод квазилинейной фильтрации в рассмотрен
ном виде основан на расчете ковариационной матрицы оши бок по априорным данным.
2.3. Расширенный фильтр Калмана
Существенные вычислительные трудности, связанные с при
менением оптимальной нелинейной |
фильтрации, |
привели к |
|
разработке приближенных методов, |
базирующихся |
на |
простых |
и хорошо изученных линейных фильтрах Калмана. |
|
в виде |
|
Если случайный процесс Х(/) можно представить |
х (0 = 11(0 + *Х (О,
где р ( t ) — априорное среднее; 5 Х (0 — малое случайное от клонение, то для уравнений (2.1) и (2.2) можно получить линеа ризованные выражения для малого отклонения 6Х(/) и затем построить линеаризованный фильтр Калмана, дающий оценку
А
ôX(if). Оценка вектора Х(/) затем определяется как' сумма
Х ( 0 = р ( 0 + ô X ( 0 .
Подобный метод предполагает наличие надежных априор ных данных о величине р (f), так как погрешность в их опре делении входит, в погрешность оценки. Поэтому возникает не
обходимость в построении других алгоритмов, менее чувстви- /ч
тельных к априорным данным. При известной оценке X(f); можно разложить в ряд Тейлора нелинейные функции в. выра жениях (2.1) и (2.2):
X ( * ) - f [X (0, |
t) + |
at [X U), t) |
Y J W (O , |
|
|
т а |
(2.46). |
|
|
|
|
Y ( ^ h [ X |
( / ) , |
/] + dh [X |
щ - x ( t ) ] + V (t). (2.47). |
|
|
dX(t) |
|
Выражения( 2.46) и (2.47) представим затем в виде
|
|
X ( /) = f ( O X ( 0 + g (O W (f) + u(f), |
(2.48) |
||||
|
|
Y(f) = |
h (< ) X ( 0 + V (0 |
+ z (9 . |
|
(2.49) |
|
где î(0 |
= |
at |X (/), /] |
g(t) = g\X(t), |
t]- h(t) |
ah рцл. t\ . |
||
â\(t) |
ax (0 |
||||||
|
|
|
|
|
|||
u (0 = f |
[X (<>, i\ — î |
t) X (0; z (f)-=h |
[X (f), |
(] - |
h (i) X (t). |
||
В выражениях (2.48) и (2.49) функции u(f) |
и z(/) являют |
ся известными возмущениями, которые легко учитываются при составлении уравнений фильтрации. Дальнейшее использова ние теории линейной фильтрации приводит к получению выра
жений, совпадающих с |
выражениями |
(2.4) |
и |
(2.5), |
получен |
|||
ными для оценки условного среднего. |
|
|
|
|
||||
Значительно большую практическую ценность представляет |
||||||||
случай нелинейной фильтрации в дискретном |
времени. Для |
|||||||
процесса, заданного уравнениями |
|
|
|
|
|
|||
X(А + 1) = Ф [X (It), |
А] + |
Г [X (/г), |
A] W (А), |
(2.50) |
||||
|
Y (А) = |
H [X (А), |
Л J |
V (А), |
|
(2.51) |
||
где W (А) и V (А)— независимые белые шумы с нулевым сред- |
||||||||
ним и Е |W (Л) Wr (A )|= I, |
E (V (A)V7 (A)| = |
R (A), |
получим |
|||||
линеаризованные уравнения |
|
|
|
|
|
|
||
X (A + 1) — Ф (А)Х (А) + |
Г (A) W (A) -f и (А), |
(2.52) |
||||||
Y, (A) = Y (А) —z (А) |
H (А) X (A)-j-V (А), |
(2.53) |
||||||
где Ф(А) = а<1>[^ |
- |
H(fe) = ^ |
^ |
--*1; |
Г(А) = Г [X (A), Aj; |
|||
д Х |
(А) |
|
|
ах (А) |
|
|
|
|
г1 (А) = Ф[Х(А), |
А] — Ф (А)Х(А); z (А) = H [X (A), AJ — Н(А)Х(А). |
|||||||
|
|
|
|
|
А |
|
|
|
Экстраполированное значение оценки Х '(А + 1) найдем из |
||||||||
выражения (2.50):,. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
X- (А + 1 ) = Ф [X (А), А]. |
|
|
(2.54) |
Оценка фильтрации строится как линейная оценка с минималь ной дисперсией:
Х(А4-1)=Х"(А-|-1) 4-К (А -|-1 ) IYV(A 4-1) — Н(Л-}-1) Х- (А -f 1 )|~
— X" (А 4-1) + К (А+ 1) (Y (А -|- 1) — H [X" (А + 1), А + 1 ]|. (2.55)
Оптимальный коэффициент усиления К(А+1) определяется
для |
линеаризованной модели (2.52), |
(2.53) из выражения |
||
(2.43): |
|
|
|
|
|
К(й + 1) = Р " ( А + 1 ) |
Нг (А+1) [Н ( А + 1 ) Р ~ ( А + 1 ) Х |
||
|
X Нг (/г+ 1)-Ь R (Л + I ) ] - 1, |
(2.56) |
||
где |
р-(А + 1) = Ф(*)Р(/г)Фг (А) + |
Г (А) ГГ(А); |
|
|
|
Р(А) = [1_К(А) H (A)] P” (А). |
|
||
Алгоритм фильтрации, |
определяемый уравнениями |
(2.54) — |
(2.56), называется расширенным дискретным фильтром Калмана. Этот алгоритм представляет большую практическую цен ность, поскольку алгоритм для непрерывного времени, опреде ляемый выражениями (2.4) и (2.5), практически нереализуем с помощью современных вычислительных средств. При исполь зовании аналоговой вычислительной техники возникает пробле ма обеспечения необходимой точности решения нелинейного уравнения (2.5), что ограничивает ее применение простейшими задачами. Для решения дифференциальных уравнений с помо щью цифровых вычислительных средств осуществляется пере ход к дискретному времени. Поэтому постановка задачи в дис кретном времени позволяет существенно сократить расходы на математическое обеспечение и машинное время.
Рассмотрим проблемы, возникающие при использовании расширенного фильтра Калмана при обработке радиосигналов. Измеряемый параметр в радиотехнических системах описыва ется, как правило, дифференциальным уравнением вида (2.1), но так как полезные параметры изменяются относительно мед ленно, то существенных затруднений при переходе от диффе ренциальных уравнений к разностным не возникает. Изменение параметра на малых интервалах времени описывается простей шими моделями случайных процессов, и функция Ф[Х(А), А] часто оказывается линейной, а Г [Х(А), А]— постоянной.
Особенность радиотехнических задач заключается в суще ственно нелинейном характере функции h[X(f), /] и быстром из менении ее во времени. В подобных задачах характерна функ циональная зависимость вида
|
М Х ( 0 . t ] = b t (ha [X(OI, |
о . |
(2 57) |
|
где hi{ |
} — функция, описывающая модуляцию радиосигнала; |
|||
Ьг[Х(*)]— функция, связывающая |
вектор |
Х(*) |
с модулирую |
|
щим параметром. |
формирования |
h[X (/), *] на |
||
На |
рис. 2.8 поясняется метод |
примере радиотехнической системы управления движением объ екта. В кинематическом звене устанавливается связь между модулирующим параметром hs[X(/)] и координатами движу щегося объекта, содержащимися в векторе состояния Х(/). Особенностью функции h2[X(f)] является сравнительно мед-