книги / Проектирование устройств фильтрации радиосигналов
..pdfFi(z) и F2(z). Если радиосигнал пропадает, то происходит раз рыв цепи обратной связи из-за того, что снижается до нуля коэффицент передачи дискриминатора (\V2(z) =0) . Тогда выход ной сигнал продолжает формироваться из сигнала Y\(k), при чем на основании (6.3) полезная информация h(k) проходит на выход следящей системы без искажений.
Таким образом, использование следящего измерителя в ком плексной системе позволяет простыми средствами обеспечить ее переключение из режима совместной обработки сигналов в ре жим сопровождения по автономным данным при пропадании сигнала.
При программной реализации алгоритмов фильтрации в ЭВМ принцип инвариантности осуществляется путем составления спе циальной системы разностных уравнений, в которой исключается ряд неизвестных, описывающих движение объекта.
Предполагаем, что известна модель случайного движения объекта:
Х0(if) = А„Х(| (7)4- r w\V0f*h |
|
(6.4) |
модель ошибок автономных средств: |
|
|
Ха (0 ==АаХа (^) + r aW;1(t) |
|
(6.5) |
и вектор наблюдаемых параметров: |
|
|
Y (t) = Н0(t) Хо (t) + На (t) Ха (t) + V (*). |
16.6) |
|
Шумы Wo(/), Wa(/) и V(/t) являются белыми |
шумами с из |
|
вестными свойствами и статистически ие связаны |
между собой. |
Выражение (6.6) составлено таким образом, что измерения наряду с шумовой ошибкой V(t) содержат коррелированную срставляющую На(£)Ха(0» которая характернадля ошибок^автономных измерительных средств.
Если составить новый вектор состояния X \t)= [Хо(ОХаг(о ]7,
то можно получить уравнения |
|
|
|
|
X (О — АХ (O + rW (t), |
(6.7) |
|
|
Y (t) = H (t) X ( 0 + |
V(t), |
(6 . 8) |
где A = !A > |
0 1 ; |
W (0 = |
|
10 |
AaJ ’ |
w a(oi ’ |
|
H(l) =. [Ho(/) |
|
A |
по наблю |
Задача нахождения оценки X(/) |
|||
дению Y (t) может |
быть решена как обычная задача |
линейной |
фильтрации в непрерывном времени. Задача, соответствующая уравнениям (6.7) и (6.8), использует уравнения объекта (6.4) и не основана на принципе инвариантности. Недостаток такого подхода заключается в большой сложности фильтров, так как
размерность вектора |
X(t) равна |
сумме размерностей |
векторов |
Х0(/) и Ха(^). При |
реализации |
подобного фильтра |
возникает |
|
|
|
Ш |
также проблема априорных данных из-за зависимости парамет ров в уравнении (6.4) от режима движения объекта. Для упро щения задачи необходимо применить принцип инвариантности, который позволяет снизить размерность задачи и устранить в значительной мере проблему априорных данных.
При использовании принципа инвариантности новый вектор Х(/) строится так, чтобы устранить ряд нежелательных пере менных. Выявим условия, при которых возможна такая опера ция. Первое условие состоит в том, что матрицы дифференци ального уравнения объекта (6.4) должны быть приведены к виду
~ |
- |
О |
О' |
|
|
А, |
|0 |
о |
о |
|
|
Ю |
о |
|
|||
А0 — |
П |
|
п\ Г„= |
1 |
|
|
|
||||
|
|
|
А, |
|
1 — 1 |
|
'X'(t)' |
|
Х0 V) |
} * - |
х " (0 . |
Подобная модель параметров движения объекта состоит из двух контуров, связанных через переменную X0i(t). В схеме на рис. 6.3 часть вектора состояния X"(f) формируется в контуре с мат*
Рис. 6.3.
рицей А2, а часть X'(t) — в контуре с матрицей Аь Одна из пе
ременных вектора X"\t) (Xoi(t)) выделяется |
матрицей Hi = |
|
= [10 .. 0] и через матрицу Н2Г= [ 0 0 |
1] |
суммируется с пе |
ременной Xo(i-i)(t). Благодаря наличию всего одной связи между этими контурами вектор Х'(./) можно восстановить, зная зна чение Xoi(t). Особенность этой модели заключается также и в том, что шум объекта действует только в контуре вектора Х"(/), и при известном значении Xoi(t) априорные данные о шуме Wa(t) не требуются.
Второе условие, необходимое для использования принципа инвариантности, заключается в том, что в формировании вели чины Y(t) участвует лишь вектор Х'(/). Таким образом, состав ляющие вектора Y(t) имеют вид
|
Yi ( t ) = X üj{t)+ V,(l) |
(6-9) |
|
„ л и |
Г , ( f ) = |
* oy ( 0 + |
* . , ( * ) . / < * • |
Выражение (6.9) соответствует измерению X0j(t) в канале с ши рокополосной помехой (в радиоканале), выражение (6.10)— в канале с коррелированной помехой (в автономном датчике).
Чтобы исключить переменные с номерами I и выше, требу ется иметь автономный датчик, вырабатывающий величину
y i ( t ) = X 0l(i)-l-Xip(t). |
(6.11) |
Тогда можно восстановить переменную X0i(t), используя выраже ние (6.11):
|
|
|
|
|
*««(*)= М О -*»,(*>• |
|
(6-12) |
||||
Таким |
образом |
можно заменить систему п-го порядка (6.4) |
|||||||||
более простой системой (/—1)-го порядка вида |
|
|
|
||||||||
|
|
Х '(0 = А ,Х / (0 + |
На [К, ( 0 - * . ,( * ) ] • |
(6.13) |
|||||||
Объединяя системы уравнений (6.13) и (6.5) и образуя вектор |
|||||||||||
состояния |
X(t) = [Х ‘г (0 Хаг (/)17. с учетом выражения (6.12) |
||||||||||
получим |
уравнение |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
X (О = АХ (0 + |
U (<) + |
rW a(É), |
(6.14) |
||||||
|
|
|
10 0 |
0 “ |
|
|
|
1 - 1 |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
Ai |
1° |
0 . |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
где |
А = |
1 |
|
|
|
и ( 0 = |
|
|
|
||
1 |
|
Нз |
|
УДО |
|
|
|||||
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
1 |
|
А а |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
г = |
(г°, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Н, = [0. |
- 1 |
0]. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
р |
|
|
|
|
|
Особенность |
уравнения |
(6.14) заключается в том, что |
оно |
||||||||
имеет меньшую |
размерность по сравнению с выражением |
(6.7) |
|||||||||
и не зависит от шумов объекта Wо(0 , которые определяются его |
|||||||||||
маневренными |
свойствами. |
Вторая |
особенность |
уравнения |
|||||||
(6.14) |
— наличие известной величины 11(Д в правой части, кото |
||||||||||
рая формируется |
из выходного сигнала |
автономного |
датчика. |
Вычисление оптимальной оценки при таком виде дифференци
ального уравнения известно: см., например, работу [36]. Отли- /ч
чие выражения для Х(Д от формулы (2.6) состоит в добавле нии поправки U (/).
Процесс измерения описывается уравнением вида (6.8), од нако размерность вектора Y(/) снижена на единицу, так как один из сигналов используется для формирования значения 11(1). Используя уравнения (6.14) и (6.8), можно решить задачу оптимальной линейной фильтрации на основе принципа инвари антности.
Естественно, что при использовании ЭВМ уравнения (6.14) и (6.8) в непрерывном времени заменяются эквивалентными урав нениями в дискретном времени.
П р и м е р 6.1. Рассмотрим задачу комплексирования дальномера и дат чика воздушной скорости, установленных на борту движущегося объекта [51]. Полагаем, что движение объекта описывается моделью с экспоненциальнокоррелированным ускорением. Тогда имеем систему уравнений для модели объекта, в которой
Гр Ю 1 |
Г О |
1 |
о 1 |
Х„(0 = vü(t) |
; Ао = 0 |
0 |
1 |
яв(0 |
0 |
0 |
—i/T'oJ |
Ошибку датчика воздушной скорости представляем как экспоненциальнокоррелированный процесс вида
|
|
Ха '/) = |
- |
7" Ха (t) |
+ у - Wa (t). |
|
|
|
|
|
/а |
1 а |
|
Дальномер |
вырабатывает отсчет |
дальности |
Y\ (/) = p(t) + V(t), |
а датчик воз |
||
душной скорости формирует Y2(t)= vp(t) + X a(t). |
|
|||||
Рассмотренным |
моделям |
объекта и ошибок измерений |
соответствует |
|||
структурная |
схема |
(рис. 6.4). |
|
|
|
|
Рис. 6.4.
Если при фильтрации используются данные о модели движения объекта, то образуется система уравнений
”р'(«
vo
<*р (/)
_
1 |
|
|
0 |
|
|
_ |
|
0 |
0 |
|
|
т о о |
||
0 |
0 |
о
1
0
о 1 0 ^1
—1/7’а_
р(1) |
■ |
0 |
0 " |
Up (0 |
|
0 |
0 |
Up (0 |
|
- I /Го |
0 |
*.(0 |
_ |
0 |
-1/г. |
Измерение описывается выражением
,р (О -,
|
|
|
ГК, (0 1 |
r i 0 О О |
l’,, 10 |
|
V(0 |
|
|
|
|
|
[K2(oJ |
1010 1 |
«р <0 |
|
о |
|
|
|
|
|
|
|
|
L^a'oJ |
|
А |
|
|
В соответствии с теорией линейной фильтрации |
оценка |
|||||||
|
X(t) отыскивает* |
||||||||
ся как решение дифференциального уравнения |
|
|
|||||||
|
“ 0 |
1 |
0 |
0 |
“ |
|
г |
/\ |
п |
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
0 |
|
|
|||
X |
0 0 |
1 |
Л |
К \t) |
1 У. ( 0 - ? . 0 |
||||
X ( f ) = |
|
|
0 |
X (*) + |
|
|
|
||
|
0 |
0 |
— 1/7Ъ |
|
|
. ^ ( |
0 - [ « |
р ( 0 + % . ( ' ) ] _ |
|
|
|
|
|
||||||
|
0 |
0 |
0 |
|
|
|
|
|
|
Переходя от векторного дифференциального уравнения к системе уравнений, построим структурную схему фильтра в виде следящей системы с двумя входами (рис. 6.5). Следящая система содержит четыре интегратора, которые
хранят значения |
оценок |
параметров |
движения |
объекта р(/), |
ур(0 |
> а р ( 0 и |
|||
|
|
А |
|
|
|
|
|
|
|
ошибки датчика скорости Л'а(0- |
о |
модели движения |
объекта |
v^(t) |
и ар(/)» |
||||
Можно исключить данные |
|||||||||
если составить систему уравнений следующим образом: |
|
|
|
||||||
|
|
о /) = M 0 - ' Va ( П , |
|
|
|
||||
|
л* (0 = |
— |
т |
Аа (О + |
г W'a |
t). |
|
|
|
пли в векторной записи: |
|
|
1 а |
|
7 а |
|
|
|
|
- 1 1 >U) |
|
|
|
|
|
||||
мо 1 _ [° |
У2 |
) |
|
|
|
||||
L-V;, (0 J |
lO-1,r.J |
..V,, (0. |
О |
♦ ш W a io |
ns
Таким образом, использование принципа инвариантности позволило со кратить число уравнений с четырех до двух и устранить шум объекта 4Vo(0- Порядок уравнения наблюдения снижается на единицу, так как Ка(0 использовано в предыдущем уравнении: Y\(t) *=р(/) + У(0-
Структурная схема модели изменения параметров и измерений дана на а>нс. б.б.
|
|
(t) Л |
|
X ,(t) |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
'/It) |
|
|
|
VrV'ï |
|
- в p tt) |
|
jpv*) |
|
|||
|
|
|
|
|
Рис. 6 .6 . |
|
|
|
||
Далее строим оптимальную оценку в соответствии с уравнением |
||||||||||
гх |
1 |
- |
Г |
т ' |
Ч+ |
| |
|
|
" Yo (t) |
|
р.(0 |
|
|
|
А |
|
|
1[К,п |
[Г| (fi-P(Ol + |
0 |
|
|
J |
1 |
-l/T'aJ 1*.(<)] |
|
||||||
|
|
1 |
|
|||||||
В последнем уравнении Y*(t) рассматривается как известная величина. |
||||||||||
Структурная |
схема |
фильтра |
(рис. 6.7) |
близка |
к схеме следящего измернте- |
Рис. 6.7. |
|
|
ля, показанного на рис. 6.2. Если сигнал Y\{t) |
отсутствует |
(дисперсия шума |
А |
формируется |
путем интегриро |
'K(f) бесконечна и /Ci= /<2 = 0 ), то отсчет р(/) |
||
вания показаний датчика воздушной скорости |
Т2 (0- Показания радиодально |
|
мера Y\(t) используются в схеме фильтра для коррекции |
ошибки датчика |
|
воздушной скорости. В установившемся режиме фильтра |
вырабатывается |
|
/V |
показаний датчика воздушной |
|
«оценка ошибки Ха(/), которая вычитается из |
А
«скорости Y2(t). Таким образом, при формировании оценки р {t) интегрируется ■уточненное значение скорости.
Чтобы оценить полезность исрользования принципа инвариантности до статочно сравнить схемы фильтров 6.5 и 6.7, Если используются фильтры с «переменными коэффициентами усиления, то выигрыш будет еще более суще ственным из-за уменьшения объема вычислений при решении уравнения для ковариационной матрицы Р(/).
6.2.Проектирование комплексной системы ближней навигации
Теория фильтрации находит широкое применение при проек тировании бортовых навигационных комплексов, объединяющих в себе ряд источников информации о параметрах движения и местоположении объекта [4, 24, 49]. При высокой плотности и жестких требованиях к регулярности и безопасности воздушно го движения невозможно обеспечить требуемую точность и на дежность бортового оборудования летательных аппаратов (ЛА) с помощью отдельно взятых навигационных устройств. Для по лучения навигационной информации в указанных условиях при меняют комплексные навигационные системы, в которых осуще ствляется совместная обработка информации от нескольких дат чиков для повышения точности и надежности измерений [10,44]. Рассмотрим задачу проектирования комплексной навигационной системы, состоящей из радиотехнической системы ближней нави гации (РСБН) и автономного датчика скорости. Радиотехниче ская система ближней навигации состоит из наземных радиомая ков и бортового оборудования и обеспечивает в пределах зоны действия системы информацию об азимуте и дальности ЛА. Азимут и дальность определяются относительно радионавигаци онной точки, в которой установлена антенна радиомаяка и по ложение которой известно [43].
В качестве автономного датчика скорости используется инер циальная навигационная система или система воздушных сиг налов. Инерциальные навигационные системы основаны на изме рении составляющих вектора ускорения движения центра масс ЛА. Местоположение определяется путем счисления пути, поэто му точность определения навигационных параметров зависит от времени действия системы. Из-за роста ошибок с течением вре мени инерциальная система нуждается в периодической коррек ции путем ввода внешних данных, поступающих от других си стем [50]. Данные о скорости ЛА вырабатываются в системе воздушных сигналов с помощью аэродинамических датчиков. Ошибка измерения скорости при использовании таких датчиков-, обусловлена, в первую очередь, влиянием ветра. Поэтому при использовании воздушной скорости в комплексной навигацион ной системе необходима коррекция этой составляющей ошибки..
Таким образом, на борту ЛА принимаются сигналы дально
сти и азимута, излучаемые |
наземными |
маяками |
(см. пример* |
2.4): |
|
|
|
Уе (0 = V p>*'+ ^ |
<'>• |
(6.15> |
|
П ( о = |
л.в(е, t ) + v 2 (t), |
(6.16> |
где /ilp(p, t ) и Aie(0, t) описывают модуляцию радиосигналов*. Выражения (6.15) и (6.16) составлены таким образом,, что-
предполагается наличие помех типа |
белого шума |
Vi (/) |
и Уг(1). |
|||||
Если необходимо исследовать действие коррелированных |
ошн- |
|||||||
_ |
бок (создаваемых, |
например, |
пере- |
|||||
** |
отражениями |
сигналов от |
местных |
|||||
|
предметов), |
требуется |
заменить вы- |
|||||
|
раженмя (6.15) и (6.16) системой |
|||||||
|
уравнений, |
описывающей |
измене |
|||||
|
ние во времени этих паразитных |
|||||||
|
параметров и нх влияние на форму |
|||||||
|
принимаемого сигнала. Мы |
ограни |
||||||
|
чиваем свое |
исследование |
простей |
|||||
|
шей моделью помехи в виде белого |
|||||||
|
шума. |
|
|
датчик |
скорости |
|||
Рис. 6 .8 . |
Автономный |
|||||||
вырабатывает |
две |
составляющие |
||||||
|
вектора |
скорости |
У)(0 |
и |
Уг(0 |
|||
|
(рис. 6.8) : |
|
|
|
|
|
|
|
У, (*) = |
т> cos 'li + |
д-,Л(<), |
|
|
|
(6.17) |
||
Y2 (t) = <v sin à + |
x 2l (0 . |
|
|
(6.18) |
||||
где о — модуль вектора |
скорости; |
ф — угол курса; |
*ia(0 и |
*2а(0 — ошибки измерения составляющих скорости.
Если дополнить уравнения (6.15)— (6.18) дифференциальны ми уравнениями, описывающими случайное изменение во време ни параметров р, 0 и ошибок *ia(0 . *2а(0» то задача получения
/Ч А
оптимальных оценок р и 0 может быть решена как задача оп тимальной фильтрации. Так как современная теория фильтрации позволяет найти структуру оптимального фильтра сравнительно легко, то задача проектировщика комплексной системы сводится в основном к выбору удачных моделей движения объекта, оши бок автономных средств и поиску субоптимальных алгоритмов, позволяющих снизить требования к бортовому специализирован ному вычислительному устройству.
Рассмотрим особенности выбора моделей движения и ошибок автономных средств.
Если летательный аппарат не маневрирует, можно выбрать простейшую модель движения в соответствии с выражением (2.17)
р — ,
Vp = r 0 (0- |
(6.19) |
В этом случае скорость объекта моделируется как винеровский случайный процесс (интеграл белого шума). При Г о(<)==0 система уравнений (6.19) описывает движение с постоянной ско ростью, причем значение скорости задается начальным условием t»p(0). В модели (6.19) ускорение объекта описывается как бе лый шум, поэтому она не годится для описания движения ма-
неврирующего самолета. Так как маневр самолета длится десят ки секунд, ускорение следует моделировать как экспоненциаль но-коррелированный случайный процесс [ 12]. Тогда модель дви жения летательного аппарата принимает вид
o = v |
|
|
v 9= |
яр, |
(6.20) |
яГ/= —я?/Т 0+ |
W0 (/) Т 0, |
|
где Т0— интервал корреляции ускорения.
При описании движения ЛА на плоскости необходимо соста вить две системы уравнений (по одной для каждой из коорди нат х и у). Таким образом, в задаче на плоскости модель дви жения маневрирующего самолета содержит шесть уравнений.
Ошибки автономного датчика скорости системы воздушных сигналов создаются в основном за счет скорости ветра. Из-за того, что скорость ветра непостоянна, величины х ха(/) и х2а(0 моделируются как экспоненциально-коррелированные процессы:
* ..(* )= |
л а |
(*) + 1rа W' |
(6-21) |
* 2. (0 = |
— f |
*а (t) + T- w, (/), |
(6.22) |
|
1 a |
J а |
|
где Та— интервал корреляции ошибки датчика автономной ско рости. Величина Та определяется непостоянством скорости вет ра во времени и в пространстве. По данным [56] Га=300 с.
Ошибки инерциальной системы можно представить как гар моническое колебание с периодом Шулера, равным 84,4 мин [50]. Для точного моделирования этих ошибок следует соста вить дифференциальные уравнения гиростабилизированной плат формы, но такой способ моделирования увеличит порядок комплексирующего фильтра. Для упрощения фильтра можно при ближенно моделировать ошибки инерциальной системы как экс поненциально-коррелированные процессы вида (6.21) и (6.22) с интервалом корреляции, близким к четверти периода Шулера.
Если при построении комплексной системы не используется принцип инвариантности, то вектор состояния Х (0 имеет вид
|
X (t) = [рл (t) v tx (t) a9X {t)py (t) v py afy (t) |
(t) x ,a {t)]T, |
||
где |
p* (t), |
v ?x (t ), |
ciox (t) — проекции векторов p, v и ускорения |
|
на |
ось х, |
а ру (t), |
v ey (t), afy (t) — на ось y. |
состояния Х(/) |
|
В соответствии с выбранным видом вектора |
формируется система из восьми дифференциальных уравнений, содержащая шесть уравнений модели объекта и два уравнения моделей ошибок автономных датчиков. Комплексирующий фильтр при этом имеет большую сложность.
При использовании!! принципа инвариантности можно исклю чить дифференциальные уравнения' для opv(0 >aP.v(0 » up!,(.f) и
аРу (0 , так как проекции вектора скорости измеряются с по. мощью автономных датчиков.
При использовании принципа инвариантности вектор состоя ния Х(/) принимает вид
х(*) = Ы * ) *..(*) Ру (*)*..(01г . а система дифференциальных уравнений —
P.V ( 0 |
~ М |
О |
- - * « . ( * ) |
|
|
|
|
|
(0 |
- 7 |
- * |
. . ( * ) + |
г |
а |
UM*) |
||
|
1 а |
|
|
1 |
|
|
||
Ру ( 0 |
к , |
( 0 |
- |
л -,а (t) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
_ л*оа ( / ) _ |
— |
T ~ |
x u |
( t ) + |
± W |
t {t) |
||
_ |
* а |
|
|
|
1 а |
|
_ |
Системе уравнений (6.23) соответствуют значения матриц в векторной записи (6.4):
"0 |
— 1 |
0 |
0 |
■ |
■ |
0 |
0 |
" |
0 |
- 1 / Г а 0 |
0 |
• |
Г — |
1/7*. |
0 |
|
|
0 |
0 |
0 |
- 1 |
1 |
1 — |
0 |
0 |
|
|
|
|
||||||
0 |
0 |
0 |
-1/7*. |
|
|
0 |
1,т. |
|
Уравнениям (6.15), |
(6.16) |
и |
(6.23) соответствует |
структур |
||||
ная схема формирования сигналов азимута |
и дальности, пока- |
Рис. 6.9.
занная на рис. 6.9. В этой схеме проекции вектора р на оси х и у формируются путем интегрирования составляющих скорости Yi{t) и У2(/), вырабатываемых автономным датчиком. Посколь ку оценка скорости в автономной системе выполняется с ошиб кой, для получения истинного значения скорости производится вычитание ошибок xla{t) и x2ü(t).
Для получения значений р и 0 необходимо нелинейное пре образование /гг(рх(0> Pi/(0). так как формирование составляю щих скорости выполняется в прямоугольной системе координат,