книги / Прикладная статистика

дисперсией о2. Показать, что несмещенной оценкой для о1 будет статистка: , д

"/=1

2.В результате проведения п независимых экспериментов в одних и тех же условиях событие А произошло к раз. Показать, что относительная частота к/п появления события А будет не­ смещенной к состоятельной оценкой вероятности/? события А в одном эксперименте. Определить такое значениер, при котором дисперсия этой оценки будет максимальна.

3.Пусть генеральная совокупность X имеет равномерное

распределение на интервале (я, а +./), причем а неизвестно. Из генеральной совокупности извлечена выборка х {9 ху ,.,9хп объ­ ема п. Для оценки параметра а можно использовать статистики:

Показать, что оценки эти не смещены. Найти дисперсию слу­ чайных величин л, и аг

4. Из генеральном совокупности Х шравномерно распреде­ ленной на НЕггервалс (ет, Ь)> извлечена выборка объема п: х г хг

.... хл~Длина интервала к =Ь -а известна, ко середина интервала С = (а + Ь)/1 неизвестна. В качестве оценки середины интервала предлагается случайная вешечина:

- _ тах (л г,)+ 1тп (.т,)

Доказать несмещенность этой^оцешш.

5. Из равномерно распределенной на интервале (а, Ь) гене­ ральной совокупности X извлечена выборка объема п: х г ху ...» хп, В качестве оценки длины интервала {Ь-а) предлагается слу­

чайная величина: - . . /

к = тах(х/) - тт(л-,)

Доказать смещенность этой оценки.

6. Из нормально распределенной генеральной совокупнос­ ти с параметрами а=18,1 и а =2,3 извлечена выборка объема 9. Найти вероятности следующих событий:

151

я) {-V < 1 б},б){ 15 < \- < 17} и){| б < .V< 19}.

Как измелится решение для выборки объема л = 36?

7.Некий кандидат набрал на выборах 45% голосов. Из всей совокупности избирателей случайным образом отобрали две группы людей. Оценить вероятность того, что разность меж­ ду долями голосов, подоешых за этого кандидата в каждой из групп, окажется больше 0,05.

8.У случайно отобранных 525 студентов г.гужекого пола из­

мерили рост. Средний рост оказался равным 181 см, выборочное среднее квадратическое отклонение роста 5 = 3,35 см. Какова точность оценки среднего роста с надежностью 0,95?

9. При испытании на крепость случайно отобранных 400 от­ резков одиночной нити были получены следующие результаты:

а) С вероятностью 0,95 определить среднюю крепость нити во всей партии.

б) С какой вероятностью можно утверждать, что разность между средней крепостью пряжи в выборочной и генеральной совокупностях нс превысит 3,5 г?

в) Сколько нужно отобрать для испытании образцов одиноч­ ной нити, чтобы с вероятностью 0,99 утверждать, что разность между средней крепостью пряжк в выборочной и генеральной совокупностях не превысит 3 г?

г) С вероятностью 0,95 определить гарантийные пределы, в которых находится доля пряжи во всей совокупности с крепос­ тью, превышающей 250 г.

152

д) Как изменить объем выборки, чтобы с вероятностью 0,9 можно было гарантировать отклонение выборочной доли от ге­ неральной, не превышающее 0,02?

е) С какой вероятностью можно утверждать, что выборочная доля будет отличаться от генеральной нс более чем на 0,025?

10*Для определения средней дальности пробега автомобилей наугад отобрали 100 путевок. Получены следующие данные:

а) С вероятностью 0,98 определить пределы, в которых нахо­ дится средний пробег машин базы.

б) Как изменить гарантийную вероятность, чтобы предель­ ную ошибку средней дальности пробега уменьшить на 20%?

в) Сколько нужно отобрать путевок, чтобы с вероятностью 0,99 гарантировать, что средняя дальность пробега всех машин автобазы не вышла за пределы 130,6-150,6 км?

г) С вероятностью 0,98 определить пределы, в которых нахо­ дится доля всех машин автобазы с дальностью пробега, превы­ шающей 200 км.

д) Какова вероятность того, что предельная доля ошибки ма­ шин, дальность пробега которых превышает 200 км, но превзой­ дет 0,05?

е) Сколько нужно отобрать путевок, чтобы с вероятностью 0,99 гарантировать отклонение выборочной доли от генераль­ ной, нс превышающее 0,06?

II* Средняя масса пакетов, расфасованных на автомате, рав­ на 1 кг при среднем квадратическом отклонении 3 г. Сколько нужно отобрать пакетов, чтобы с вероятностью 0,95 гарантиро­ вать отклонение средней массы отобранных пакетов от 1 кг, не превышающее 0,1%?

153

12. Для определения среднего количества деловой древе­ сины в одном дереве подвергли выборочному обследованию 1000 деревьев, растущих в большом лесу. Были получены сле­ дующие данные:

Определить вероятность того, что генеральная средняя отли­ чается от выборочного среднего не более чем на 0,03 м \

13.Произведено пять независимых равноточных измерений для определения заряда электрона. Получены следуеошдс ре­ зультаты (кулоны): 1,594 л10'19; 1,597-ЮЛ 1,598-Ю'*; 1,593 -10” ; 1,590 -10,9. Найти доверительные границы для величины заряда электрона, если р = 0,99.

14.Средний возраст глав семей для едучайнон выборки из

3704 семейств равен 51,07 года, а выборочное среднее квадра­ тическое отклонение — 19,98 года. Построить доверительные интервалы для среднего возраст всех глав семейств при $ = 0,9

110 = 0,9.

15. Построить доверительные интервалы для математичес­ кого ожидания а с доверительными вероятностями /3 = 0,99 к {$ = 0,99 в каждом из следующих случаев:

В задачах \ 6-19 найти доверительные интервалы для матема­ тического ожидания с доверительными вероятностями р= 0,9;

0,9;/?,= 0,9;

16.Содержание углерода в килограмме чугуна, если х =28 г,

и= 1<5,8 = 4 г.

154

17.Диаметры шести шаров в шарикоподшипнике: 2,01; 1,99; 2,00; 2,00; 2,01; 1,98 мм.

18.Увеличение частоты пульса солдат после проверки физи­

ческих данных: 10, 13, 6, 8, 12, 8, 7, 10, 12,14 ударов.

19. Процентное содержание витамина С в выборке витамин­ ных драже: 14,3; 15,2; 16,3; 14,8; 12,9.

Для каждой ситуации, описанной в задачах 16-19, были про* асдсны повторные выборки. Используя объединенные выбо­ рочные оценки, снова построить доверительные интервалы для математического ожидания с теми же доверительными вероят­ ностями.

20.Содержание углерода в килограмме чугуна, если п - 9, ,т -28,8 г, $2= 20 г2.

21.Диаметр шаров в шарикоподшипнике: х = 2 см; 5*= 6>4* х/0'5см2; л = 8.

22. Увеличение частоты пульса: х = 9 ударов; 5,=в 4; и = / / .

23.Процентноесодержание витамина С: х = 14; 5?= 0,25; п = 7.

24.С производственной линии, производящей сигареты, было отобрано 900 сигарет, 45 нз них оказались бракованны­ ми. Оценить долю дефектных сигарет во всей совокупности и найти для нее доверительные границы, если Р= €,9. Какой объ­ ем выборки с производственной линии нужно взять, чтобы со степенью доверия 99,7% утверяедать, нто ошибка оценивания нс превосходит 0,01?

25.В 10000 сеансах игры с автоматом выигрыш появился 4000 раз. Найти доверительный интервал для вероятности вы­ игрыша, если р = 0,9. Сколько сеансов игры следует провести, чтобы с вероятностью 0,99 вероятность выигрыша отличалась от частоты не более чем на 0,01?

26.4709 семей в случайной выборке, включающей 7148 семей, зарегистрировали расходы на алкогольные налитки, Каковы грани­ цы доверительного интервала для доли всех семей, имевших расхо­ ды на алкогольные кашта* в период опроса, если Р = 0,999.

27. Случайная величина 2 равна разности двух независимых нормальных случайных величин А' и У. Выборочные оценки для Х м У определяли по результатам п = 16 и / = 36 наблюдений

155

соответственно. С доверительной вероятностью 0,95 найти до

верительный интервал для математического ожидания 2, соли

х=!0,у = 4,о(Х) = 2.

28были произведены выборки из трех генеральных сово­ купностей. Каждый раз вычислялись выборочные средние х к исправленные выборочные средние квадратические отклонения >$. После изменеЕшй условий экспериментов выборки были пов­ торены и снова были найдены тс же числовые характеристики. Результаты представлены в таблице. По се данным построить доверительные интервалы для средних совокупностей р = 0,9, р = 0,9* с довсритсльными вероятностями Р= 0,9 и р = 0,9 пос­ троить доверительные интервалы для разности средних. Мож­ но ли считать, что расхождения между средними объясняются только случайностью выборок?

29. Выборка лампочек сорта А исследовалась на продолжи­ тельность горения. Время непрерывного свечения выбранных лампочек (условные единицы); 21, 32, 28, 14, 30, 27, 30. Про­ верка лампочек сорта В дала такие результаты: 28,29, 34,18,30. С доверительной вероятностью 0,99 построить доверительный интервал для разности средних продолжительностей работ лам­ почек двух сортов.

30. Покрышки, произведенные на заводе А> исследовались на износ (км пройденного пути). Оказалось, что средний пробег равен 25000 км, а $,=1200 км. В тех же условиях испытывались покрышки» изготовленные на заводе В. Для них средний про­ бег оказался равен 23500 км, $,=1000 км. Найти доверительный

156

интервал для разности средних пробегов, р = 0,9. Каждый раз испытывалось 4 покрышки.

В задачах 31-35 требуется построить доверительные интер­ валы для дисперсии о2 и среднего квадратического отклонения о нормально распределенной генеральной совокупности. Поло­

жи т ь /^ 0,9; р = 0у% р = 0,9.

31.Обратиться к данным задачи 16.

32.Обратиться к данным задачи 17.

33.Обратиться к данным задачи 18.

34.Обратиться к данным задачи 19.

35.Результаты 10 независимых измерений длины стержня

(мкс): 23, 24, 23, 25, 25,26, 26, 25, 24, 25.

36. Требуется оценить средние еженедельные расходы на пи­ тание студентов некоторого университета. Эта оценка исполь­ зуется для определения размера дотаций нуждающимся студен­ там.

а) Выборку какого объема следует взять для получения до­ верительного интервала шириной С,4 долл, при доверительной вероятности р - 0,97 Из опыта известно, что 1? = 5 долларам.

б) Оказалось, что выборочное среднее равно 70 долларам. Указать пределы доверительного интервала для средних расхо­ дов на питание.

в) Сколько примерно расходует студент на питание в тече­ ние учебного года (35 недель)?

37. Известно, что 5* = 4, При каком п левая граница довери­ тельного интервала для о2 отличается от 5* на 1,8? Положить 0 = 0,9;.

38. На некотором предприятии работает 2000 человек. Ди­ рекция хочет оценить долю рабочих, которые в понедельник опоздали на работу более чем на 5 минут.

а) Выборку какого объема нужно взять, чтобы доверитель­ ный интервал имел ширину не более 4%, если Р = 0,95? (Дирек­ ции известно, что количество опоздавших нс больше 30%).

б) Была взята случайная выборка того объема, который был оп­ ределен в предыдущем пункте. Оказалось, что х = 0,18. Оценить общее число рабочих, опоздавших на работу в понедельник.

157

Г л а в а VIII

ПОНЯТИЕ О ПРОВЕРКЕ СТАТИСТИЧЕСКИХ ГИПОТЕЗ

Осколько ггаиоткрытий чудных Готовятпросвещеньядух, Иопыт, сын ошибок трудных,

И гений, парадоксов друг, И случай, бог тобрстателъ.

А. С. Пушкин

8.1. ОСНОВНЫЕ ОПРЕДЕЛЕНИЯ

8.1.1. Что такое статистическая гипотеза?

Под статист ической гипотезой мы будем понимать либо предположение о законе распределения генеральной совокуп­ ности (закон неизвестен), либо предположение о значениях (не­ известных) параметров известного закона распределения.

Всоответствии со сказанным статистические гипотезы де­ лятся на нспараметрические, если в них высказывается предло­ жение о виде закона распределения, и параметрические, если в них говорится о значениях параметров известного закона рас­ пределения.

Вглаве 1 мы уже рассматривали процедуру проверки нспараметрнческих гипотез по критерию Пирсона.

Параметрические гипотезы рассматриваются попарно. Ги­ потезы, образующие пару, взаимно исключают друг друга; на­ зываются они нулевой и альтернативой. Процедура проверки

159

применяется к нулевой гипотезе # в. Если о результате проверки

Нулевая гипотеза — это простая гипотеза, в пси говорится о конкретных значениях параметров. Альтернативная гипотеза сложная, в ней подразумевается бесконечно много возможнос­ тей. Рассмотрим еессколько примеров нулевых к альтернатив­ ных гипотез.

Нулевая гипотеза: математическое ожидание а генеральной совокупности равно числу аа Коротко это записывается так: И^\ а = ос. Возможные для этого случая альтернативные гипотезы:

8.1.2.0 процедуре проверки нулевой гипотезы

Всякую гипотезу (не только статистическую) желательно обосновать. Вряд ли можно дать строгое определение такому понятию, как обоснование. В статистике под обоснованием ги­ потезы понимается следующая процедура.

1. Подбирается случайная величина К (выборочная статис­ тиках закон распределения которой известен в предположении справедливости нулевой гипотезы # 0.

2. Область значении случайной величины К разбивается на два непере^екающихся подмножества. Вероятность того, что случайная величина К примет значение из первого множества (если только справедлива гипотеза Яр), велика. Вероятность того, что случайная величина К примет значение из второго множества, мала. Первое множество значений называется ластью принятия гипотезы //„, второе — областью отвержения гипотезы Я пли критической областью. Вероятность попадания в критическую область называется уровнем значимости и обоз-

160