книги / Прикладная статистика

специального индекса-дефлятора, доходы: населения (при помо­ щи индекса потребительских цен), доходы крупных фирм и кор­ пораций (при помощи индекса оптовых цен).

Валовой национальный продукт — это стоимость товаров и услуг, произведенных экономикой за некоторый промежуток времени (квартал, год). В табл. 5.4. показано дефлятирование ВПП США. В результате получается значение ВНП в долла­ рах 1958 г. (этот год принят за базовый). Значения ВНП, выра­ женные в постоянных долларах, можно, в отличие от значений ВНП, выраженных в текущих долларах, сравнить между собой. Из табл. 5.3. видно, что из-за падения цен в 1929-1933 гг. ВНП реально уменьшился п 1,44 раза, а не в 1,85 раза, если прово­ дить сравнение в текущих долларах. Вследствие роста цен в 1941-1971 гг. ВПП реально вырос только в 2,8 раза. Если срав­ нивать п текущих долларах, получится ложный вывод о роете ВПП н 1971 г. в сравнении с 1941 г. в 8,41 раза.

С помощью индекса потребительских цен дефлятируют за­ работную плату и пенсии, чтобы определить реальные доходы населения. Такие оценки всегда приближенные, ведь люди тра­ тят свои деньги по-разному, структура их расходов нс может в точности совпадать с той, которая принята при расчете индекса потребительских цен.

101

В качестве примера дефлятирования рассчитаем, насколько уменьшатся реальные доходы, если за год натребитсльскис цены выросли в среднем на 50%, а средний рост доходов составил 20%. Рост цен на 50% означает их увеличение в 1.5 роза. Доходы же выросли только в 1,2 раза. Поэтому реальные средние дохо­ ды, выраженные в дсессжных единицах начала года, составляют (1,2/1,5) к 100% = 80% от прежних доходов, т.с. уменьшились на 20%. Неправильно было бы сказать, что доходы уменьшились на 50% - 20% = 30%. Если бы цены выросли на 20 процентов, а доходы на 50 процентов (в жизни так может случиться только с отдельными семьями, а нс со веси совокупностью населения!), то роет средЕсих доходов составил бы [(1,5/1,2) -1]х 100% = 25% (скова нс 30%).

5 .3 . З А Д А Ч И

1. Один и тот же временной ряд индексировался но разным базовым периодам. Заполнить пробелы в представленных ин­ дексных рядах:

2. Ниже приводятся оптовые цены (обозначены буквой р, центы за фунт) и объемы производства (обозначены буквой ц, миллиарды фунтов) яблок и персиков в США в 1960-1969 гг. Вычислить индивидуальные н агрегатные индексы цен и объ­ емов производства:

102

Глава VI

ПРОВЕРКАГИПОТЕЗЫ ОЗАКОНЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ГЕНЕРАЛЬНОЙ СОВОКУПНОСТИПОКРИТЕРИЮ ПИРСОНА(КРИТЕРИЮх3)

Те, чтоверуют слепо, —пути не найдут. Тея, кжолшмит, — сомнения вечно гнетут. Опасаюсь, что голос раздастся однажды: «О, невежды!Дорога не шолг и не щт?»

О, Ханям (перевод Плисецкого)

6.1. ПРИМЕР

Рассмозрим такую ситуацию. 200 электронных ламп, вы­ бранных наудачу из большой партии, испытывались на продол­ жительность работы. Результаты (в часах) таковы (табл. 6.1):

Хотелось бы дать разумный ответ на такие вопросы: какую продолжительность работы следует ожидать, если взять наудачу

104

лампу на этой же партии? Какова вероятность, что лампа прора­ ботает не менее 1000 часов? Какова вероятность того, что лампа проработает менее 200 часов? Ответить на эти вопросы легко, если известен закон распределения случайной величины К — времени работы лампы. Но его-то мы нс зешсм. Мы располагаем только выборкой (правда, достаточно большой, п - 200) из гене­ ральной совокупности X. Попробуем, пользуясь этой выборкой, подобрать подходящий закон распределения.

Построим прежде всего гистограмму (рис. 6.1)-

А, = 0,00037; к3 = 0,00027; к = 0,0002; А7 = 0,00015; А, = 0,00012; А = 0,00008; =

= 0,00005; Аи = 0,00003.

Гистограммв— аналог графика функции плотности вероятнос­ ти. В нашем случае гистограмма очень похожа на трафик функ­ ции плотности показательного закона. Мы вправе предположить,

105

что большая выборка хорошо представляет генеральную совокуп­ ность и что если гистограмма похожа на график экспоненты, то эго означает, что выборка извлечена из генеральной совокупности, распределенной ло доказательному закону с функцией гаюгностн вероятности:

/(х) = Хек\

Однако показательный закон зависит от одного параметра — числа X. Чтобы полностью описать закон, нужно значь, чему рав­ но X. Подберем значение X по выборке, причем поступим самым бесхитростным способом. Как известно, математическое ожида­ ние случайной величины, имеющей покпзатсльнос распределение, ЩХ) = 1/к. Если наша выборка хорошо представляет генераль­ ную совокупность, мы вправе полагать, что значение выборочного среднего х нс слишком отличается от М(Х). Поэтому найдем т н положим \=11х.

*= — (150x53 + 450x41 + 750х30+1050х 22 + 1350+16 + 1650x12 +

200

+1950 * 9 +2250 х 7 + 2550 х 5 + 2850 х 3 + 3150 х 2) = 871,5 (ч). Тогда \ = № * 0,00115, # х) = 0,00115е г г 0. Вычислим значения/(х) на границах интервалов (табл. 1.2)

и построим график функции плотности вероятности прямо на гистограмме (см. рис. б. 1).

Нс следует увлекаться слишком большим количеством зна­ чащих цифр, ведь вес наши данные достаточно приближенные.

Кривая функции плотности вероятности /(х) очень «ладно» легла на гистограмму. Такое хорошее совпадение гистограммы и графика/(х) прибавляет уверенности в том, что закон распре­ деления генеральной совокупности X выбран достаточно точно.

106

Попробуем теперь оценить числом расхождение между эксЛСрКМСЕ1ТаЛЬЕ[Ы№] данными и тем, что должно быть «по теории».

Мы можем вычислить теоретическую вероятность^ попада­ ния случайной величины Х >распределенной по показательному закону с функцией плотности/(х) - 0,00115с‘°00П5г,д: > 0 в интер­ вал [тм,х>.

ожидание числа попаданий случайной величины X в интервал [хм, л,) в результате н независимых испытаний, оно равно пр%. Теперь можно найти разность п - ггр. между числом вариант вы­ борки, попавших в интервал [хи >х) и ожидаемым числом попа­ даний.

Чтобы оцсшпъ суммарное расхождение между теоретически­ ми и опытными данными, нужно сложить все полученные разно­ сти. Чтобы положительные и отрицательные разности нс унич­ тожили друг друга, возведем их в квадрат. Кроме того, важно нс абсолютное значение п - а относительное (п. - пр§)/(пр). Действительно, если п{ - 0, пр. = 1, это совсем нс одно и то же, что в случае, когда п4= 10, щ =11. Относительное отклонение в первом случае равно 1, а ло втором — только 1/11.

Итак, вычислим прежде всего вероятности р{ =Рф <Х< 300) = <г*"в-«гхял» = е • - с-*и*= 1-0,708 = 0,2918;

107

[0; 3300) охватывает практически всевозможные значения выбран­ ного нами теоретического закона. Сумма чисел последнего столб­ ца традиционно обозначается буквой %2 (читается «хи-каадрат»). В нашем случае

х. = у ( ^ - '1 Л ) г =245

ыЩ>,

Много это нлн мало?

6.2. НЕМНОГО ТЕОРИИ

Только что мы находили число у*

у(«л - ПР*)2 >

ыт

где к — число интервалов; л, — частота /-го интервала; р (— теоретическая вероятность попадания случайной вели­

чины X (генеральной совокупности) в I-и интервал;

п — число независимых испытаний (объем выборки); пр4— математическое ожидание числа попаданий случайной

величины X в /-Й интервал

108

Но на приведенную формулу можно посмотреть и по-друго­ му. Вместо числа л, рассмотрим случайную величину п{(в мате­ матической статистике случайные величины и нх значения часто обозначаются одними и теми же маленькими буквами). Случай­ ная величина и, — это число появлений «успеха» в п независи­ мых испытаниях, где под «успехом» понимается попадание слу­ чайной величины X в <-й интервал. Таким образом, вероятность «успеха» равнар г а случайная величина л, имеет биномиальное распределение с параметрами и и р %.В частности, Ь4(п) = прг Рассмотрим теперь случайную величину функцию от случай­ ных величин и г л,......пк, определяемую формулой:

Йщс раз подчеркнем, что в этой формуле и и р 1— это чис­ ла. а п(— это случайные величины. Имея выборку, мы можем найти значения случайных величин п)Укоторые они приняли в результате п независимых испытаний, и вычислить затем зна­ чение х 1К(Я— экспериментальное значение случайной величины X2. Можно доказать, что если закон распределения генеральной совокупности X подобран правильно, то с ростом и случайную величину у2 можно считать распределенной по так называемо­ му закону распределения х2- Это непрерывное распределение, формулу функции плотности вероятности которого мы не будем здесь приводить. Распределение зависит от одного параметра г, который называется числом степеней свободы. В нашем случае

/* = к - 1 - .у, где к — число интервалов;

5 — число параметров закона распределения, вычисленных по выборке.

Возникает естественный вопрос: каким должно быть число н, чтобы его можно было считать «достаточно большим» и поль­ зоваться распределением Желательно, чтобы и было таким большим, чтобы все произведения п р 1были не меньше 5 (реко­ мендация всех учебников по статистике). На самом деле, как

109

показывает практика! вполне достаточно выполнения нера­

Примерный график функции плотности вероятности случай­ ной величины %1показан на рис. 6.2.

Если закон распределения генеральной совокупности X по­ добран правильно, экспериментальное значение х>ХГ7|. вычислен­ ное на основании выборки, нс может быть слишком большим. Зададимся достаточно большой вероятностью (5 (р = 0,9; 0,95; 0,99), так что события с вероятностью а « ! - р будем считать практически невозможными. Вероятность а называют уровнем значимости.

С точки зрения подтверждения выдвинутой нами гипотезы о законе распределения генеральной совокупности X мы должны считать практически невозможными большие значения случай­ ной величины %*. Мы считаем практически невозможными зна­ чения случайной величины х2 из интервала (х ^ . °о), где число

определяется из условия (см. рис.6.2)

и число степеней свободы г Число х;ф сравнивают с числом Х ^ . Если оказывается, что %гт <Х3Ч>»70 говорят, что с точки

ПО