книги / Механика композитных материалов. 1980, т. 16, 3
.pdfМЕХАНИКА КОМПОЗИТНЫХ МАТЕРИАЛОВ, 1980, Л"° 3, с. 463—467
УЦК 624.073:678.06
Б. Л. Пелех, Р. Н. Махницкий
ПРИБЛИЖЕННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ КОНЦЕНТРАЦИИ НАПРЯЖЕНИЙ ВОЗЛЕ ОТВЕРСТИЙ В ОРТОТРОПНЫХ ПЛАСТИНКАХ ИЗ КОМПОЗИТНЫХ МАТЕРИАЛОВ
1. ОБОБЩЕННЫЕ УРАВНЕНИЯ РАСТЯЖЕНИЯ И ИЗГИБА ПЛАСТИНОК ИЗ КОМПОЗИТНЫХ МАТЕРИАЛОВ
В настоящее время в механическом поведении элементов конструк ций из композитных материалов установлен ряд специфических особен ностей (анизотропия в сочетании с низкой сдвиговой жесткостью и сла бым сопротивлением нормальным поперечным деформациям) [1], неучет которых может привести к недопустимым погрешностям при расчете таких конструкций. При этом особое место принадлежит классу задач о распределении напряжений возле отверстий в пластинках, что связано со значительными градиентами напряжений, возникающими в окрест ности концентраторов. В частности, в работе [2] обнаружен факт несоот ветствия порядка касательных срезывающих напряжений по элементар ной и уточненной теориям.
Ниже предлагается вариант уточненной теории ортотропных плас тинок, позволяющий учесть указанный выше комплекс механического поведения композитных материалов. На этой основе развиты прибли женные методы решения задач о концентрации напряжений возле от верстий в анизотропных пластинках из композитных материалов.
1. Исходные уравнения. Рассмотрим ортотропный плоский слой тол щиной 2 /i, отнесенный к декартовым координатам Xi (i= 1,2,3), нагру женный поверхностными нагрузками P±(xi,х2) =Xi±t i, при х3 =±/г, где е; — орты в главных направлениях х;.
Исходим из наиболее общего вариационного принципа линейной тео рии упругости анизотропного тела Ху—Ватицу. Введем функционал
- J Jpi(M i-«i°)dS - I J Xi+Ui+dS + J jX r u r d S . |
(1-1) |
s -
Здесь и в дальнейшем повторяющиеся индексы i и / обозначают сумми рование и принимают значения 1 , 2 , 3; хц — компоненты тензора напря жений; ец — компоненты тензора деформаций; «; — компоненты век тора упругого перемещения; Pi — напряжения на произвольной пло щадке с нормалью n; ST, S u — части поверхности тела, где заданы напряжения pi0 и перемещения щ° соответственно; St* — граничные по верхности, соответствующие Хз= ± /i; и;* — перемещения на поверхнос тях S^; Э — механическая работа деформации.
В общем случае для ортотропного материала компоненты тензора на пряжений Tij связаны с компонентами тензора деформаций соотноше ниями
тц = |
------Е — |
(e,i + v)2e22) +/чтзз; т22= |
-------£ |
2— (e22 + v2ien) + ^ т 33; |
|
|
1 — V 12V2 I |
|
А V 1 2 V21 |
2 J |
|
Ti2 = G 12e 12; |
t i 3 = G ,3e i3; T23 = G23C23; |
T33 = |
E *o(633 + ^ 1^11 + ^ |
22), |
где h = V21V3 2 -I-V31 |
^ |
У|2'Уз1 + V32 . |
_____________^ з(1 ~Vl2V2l)_____________ |
1 —V12V21 |
’ |
1 — V12V21 ’ |
1 — V12V21 —2 V12V23V31 —V13V31 — V23V32 |
Ei — модули Юнга в направлениях хй Vij — коэффициенты Пуассона, характеризующие сокращение в направлении Xj при растяжении в на правлении хй Gц — модули сдвига, характеризующие изменение углов между главными направлениями Хг и Xj (i, /= 1,2,3). Используя соотно шения (1 .2 ), получим механическую работу деформации:
Э = |
(— ----- + h 2E*о |
|
) - f + |
\ |
( |
£ l V l 2 |
-+Я.|Ха£ * 0) ^11^22 + |
|||||
|
' 1 |
—V12V21 |
|
|
|
' 2 |
|
|
1 —V12V21 |
* |
||
/ |
F „ |
л 9 Z7 |
* |
\ р — 2 |
2 |
, Г |
р , п |
|
|
р* |
Р о п |
,2 |
|
|
\ е22 |
ем2 |
|
е332 |
ei32 „ е2з2 |
||||||
\ Т |
|
-Х22Е |
|
0 J — —\-Gl2— - + Е |
о—— \-G1 3——1-023-2“ + |
|||||||
-V12V21 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ ^1 Е*0е11 взз+ Х2Е*ое22езз-
Относительно функционала (1.1) справедлива теорема: вариацион
ное уравнение |
(1.3) |
61= 0. |
содержит в качестве уравнений Эйлера соотношения упругости, соотно шения Коши и уравнения равновесия, а в качестве эйлеровых граничных условий — граничные условия на поверхностях S-t*, статические и гео метрические граничные условия на Sx и Su соответственно. При варьи ровании функционала (1 .1 ) использовалась формула интегрирования по частям:
J I\ ^ r ^ 3 dV= j I(Ui+Xi3+ - u r x i3- ) d S - j |
Jj u i ^ ~ d V , (1.4) |
||
v ° Х з |
s |
v |
a x 3 |
где |
тг-3±= Тгз(±/г); ui±= ui (±h). |
|
|
|
|
|
|
2. Сведение к двухмерному континууму. Применим |
вариационный |
принцип (1.3) для вывода обобщенных уравнений ортотропных пласти нок. Перемещения и напряжения будем аппроксимировать полиномами Лежандра. Метод представления перемещений и напряжений в виде ря дов по полиномам Лежандра был предложен в [3] для построения уточ ненных уравнений теории оболочек и пластин. В работах [4, 5] получены соотношения, учитывающие граничные условия на внешних поверхнос тях. Для трансверсально-изотропных пластин в работе [6 ] получены раз решающие уравнения, позволяющие учесть поперечные составляющие тензоров напряжений и деформаций.
Представим компоненты перемещений и напряжений в виде бесконеч ных рядов по полиномам Лежандра P h { x 2/ h ) :
U i = U i h P k { x 3/ h ) \ X i j = — ^ Y |
^ N i j h P k ( x 2/ h ) ( 6 = 0, 1,2,. ). |
(2.1) |
Компоненты тензора деформаций представим в виде: |
|
|
j = |
S i j h P к {Хз1 6 ) . |
( 2.2) |
На основании (1.4) с учетом представлений перемещений и напряжений
(2 .1 ) получим: |
|
|
|
|
J J j - ^ i Ti3dx1dx2c(x3 = j j (26+1)( |
■( |
-Ц------j ] , ии ) X |
||
|
|
X N m dxydx2, |
|
(2.3) |
где t = |
О,2 , ... , если 6 нечетное; |
|
|
|
1 ,3 ,..., если 6 |
четное. |
|
|
|
|
|
|
Учитывая |
(2.1) —(2.3), |
проинтегрируем |
функционал (1 .1 ) |
по тол- |
||||
щине пластинки: |
|
|
|
|
|
|
|
|
/O= A J J { Эо~ N m [ |
|
|
( ^ - + ~ ^ |
) ] } |
d S - |
J J Xi+Ui+dS + |
||
+ J" JXf~uf~dS —h J |
|
|
|
|
|
T |
|
|
(Nnhaunh-\-NShQusii-\-NnstPu^dg — h J [Nnk(unk~ |
||||||||
si |
sx |
|
|
|
|
|
su |
|
Здесь |
Unh°) + Nsh(usk |
uSh°) +Nn3il(u3h—Мзл0) ]dg. |
(2.4) |
|||||
|
|
|
|
ft-i |
|
|
||
|
ди} |
|
|
|
\ |
|
||
|
2k+l l U j + - ( - \ ) x Uf- V* |
(2.5) |
||||||
|
dx3 ~ |
h |
\ |
2 |
^ |
“j‘ |
/ |
|
|
|
(/ принимает те же значения, что и в формуле (2 .3 ); Nnh°, Nsh°, Nn3h° — краевые усилия, которые представляются следующим образом:
Nnл0= Nnfc0 cos2 X + Nl2h°sin 2X+ N22h°cos2 X;
^sft0=_2'( ^ 22ft0—A/nh0)sin 2K + Ni2h°cos 2X; 1Уязь0=^ i 3k° cos Х+Л^зл0 sinX.
Здесь X — угол между направлением *i и нормалью п к кривой g=gx\/gu; s — касательная к кривой g.
Обобщенные граничные компоненты вектора перемещений представ ляются так: u„h0 = Uift°cosX-l-«2ft0 sinX; usi°= —Mift0 sinX-t-w2ft°cosX. Удель ная энергия деформации имеет следующий вид:
Э0=- |
Г / |
|
|
, h2, |
,,с,/ |
\ец£ivi2 |
, |
- |
, |
с* \ |
||
I I —;---------- \~h\2E о |
)— |
2 |
1" \ ------------ОI ВПЛ622А+ |
|
||||||||
|
2k + 1 L ' |
1—V12V21 |
|
7 |
|
' 1—V12V21 |
|
|
7 |
|
||
|
|
Х22£*о)- |
-+Е* |
|
|
|
^ |
е13Л2 |
, |
|||
|
|
|
-+ G12 - -+G и —----h |
|||||||||
|
+ (“Г:V12V21 |
|
|
|
|
|
|
] |
|
|
|
|
|
+ G23 ‘623ft + |
Х| £ * о 6 | lft633ft + |
X2£'*o622ftE33h |
|
|
|
||||||
Проварьируем функционал (2.4) |
по всем независимым функциональ |
|||||||||||
ным аргументам |
Мцн, e,ijh, |
uut, |
щ+, |
и г |
Из |
вариационного |
уравнения |
|||||
б/0= 0 |
получим: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
а) |
уравнения равновесия |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
— |
--4* Уj= 0 , |
|
|
|
|
(2 .6 ) |
|||
где |
|
|
дха |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
21+ 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(а= 1, 2; |
/ = Л+1,Л + 3, |
|
|
|
|
|||||
|
Y j = |
- = ±п— N }з, |
.); |
|
|
|
||||||
б) |
соотношения упругости |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
,, |
|
дЭо . |
|
|
|
|
(2.7) |
||
|
|
|
|
|
06ij/t |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
в) |
соотношения Коши |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
( duih i d«jft |
^ |
|
|
|
(2 .8 ) |
|||
|
|
|
2 |
\ dxj |
"* дх,- |
' |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
где имеет место формула (2.5);
г) |
граничные условия на плоских гранях |
|
|
^ ± L Ni3h = Xi+-, ( - 1 ) к ™ ± 1 н т = ХГ] |
(2.9) |
д) |
геометрические граничные условия |
|
|
U n k = U n h ° \ U s h = U s k ° \ U 3h = U 3 h ° \ |
(2 . 10) |
ж) |
статические граничные условия |
|
|
М П к = М п к °; N s h = N Sk 0 ', N n 3 h = N n з к ° . |
(2 .11) |
Таким образом, доказана теорема: вариационное уравнение б/о=0 содержит в качестве уравнений Эйлера уравнения равновесия (2.6), со отношения упругости (2.7) и соотношения Коши (2.8), а в качестве эйлеровых граничных условий — граничные условия на плоских гранях (2.9), геометрические (2.10) и статические (2.11) граничные условия.
На базе полученных соотношений будем строить различные конечные приближения и, следуя работе [4], различать их по количеству удержи ваемых членов в рядах перемещений щ. Приближение (т,п) отвечает удержанию в разложениях (2 .1 ) для w, и и2 по т (k = 0 , 1 , ... , т ), а для и3 — п (k = 0 , 1 ,..., п) членов. Так как граничные условия на плоских гранях (2.9) представляют собой линейные зависимости компонентов ка сательных и нормального напряжений, в рядах касательных напряже ний Ti3 и Т2з удерживаем по п + 2 члена, а в нормальном напряжении тзз — п + 1 член. В разложениях напряжений тп, Т12 и Т22 удерживаем, как и в и\, «2. по т членов. Приближение (т = 1, л = 0) соответствует уравне ниям теории типа С. П. Тимошенко.
3. Уравнения приближения порядка т = 1 , п = 2. Уравнения состоя ния пластинки распадаются на две независимые группы соотношений, характеризующих обобщенное плоское напряженное состояние и изгиб.
А. Обобщенное плоское напряженное состояние: |
|
|
||||||||||||||
а) |
уравнения равновесия |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
d N |
n |
d N |
12 |
|
|
d N |
12 |
|
d N 22 |
o v |
_ |
d N |
131 |
d N 2 31 |
|
- г — |
H— |
-r-----I-4A2—(J; |
—г----- 1— -------r^J2 = U; — ------- 1— ;------- |
|||||||||||||
|
OX, |
|
|
O X 2 |
|
|
o x |
i |
|
0 x 2 |
|
|
o x 1 |
o x 2 |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
—77' /?o+ 2 Zi = 0 ; |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
h |
|
|
|
|
|
|
|
|
б) |
соотношения упругости |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
N |
|
|
1dulQ , |
du20 \ |
, |
, |
D |
|
D |
l du20 , |
du10 |
j +Я2Л0; |
||||
11 — ^1 |
\ |
|
----- l"V|2 - ^ --- |
) |
+ |
|
17?0; N22 = 82 |
l -^•a------b. V21 - 5 — |
||||||||
|
|
|
x |
ox1 |
axodx2/ |
|
|
|
|
|
|
\ doxo2 |
ox 1 |
|
||
|
|
|
|
|
|
Nia=- В 12 |
^ |
ди\о , ди20 |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
<?x. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Л 1 3 |
du3 |
|
h |
|
|
N231 = |
Л ? я |
du31 |
h |
|
|
|
|
|
|
N ,3i = — - |
~+ r- |
^ |
2 » |
4 |
dx2 |
1 5 Г: |
|
|||||
|
|
|
|
|
4 |
dx, |
|
0 |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
l |
|
“ 31 |
|
, |
duw |
„ |
duon |
\ |
h |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
—r - |
+ A, |
dx\ |
+ ^ . 2 |
O X 2 |
' |
3 |
|
||
|
|
|
|
|
|
X h |
|
|
|
|
||||||
Б. Состояние изгиба: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
а) |
уравнения равновесия |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
дМп |
|
дМп |
|
|
|
|
|
|
|
-----N230 + 2 /i Y\ —0 ; |
|||||
|
- д----1 |
Д--------Л/ ,30 + 2/126, = 0 ; |
|
|||||||||||||
|
dxi |
|
|
дх2 |
|
|
|
|
|
ох, |
дх2 |
|
|
|||
|
|
dN|зо |
dN230 |
, о 7 |
|
п |
|
dN ,32 |
dN232 |
R I + 2Z2 = 0; |
||||||
|
|
|
дх\ |
дх2 |
|
|
|
|
|
ах, |
дх2 |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
б) соотношения упругости
Здесь |
введены |
обозначения: |
Nu = |
WiiO |
|
лг |
|
^ 120 |
. |
дт |
Will |
||||||||
|
h |
|
" 1 2 |
< |
|
I |
"4t |
h„2 |
|||||||||||
N |
. |
n _ |
N |
|
|
D |
_ |
Л/ |
ДГ _ |
N i |
. |
|
_ |
илMil |
|
д |
|
2Eih |
|
*' 121 |
"азу. . |
" 331aai |
*'Ч}3; |
7i |
, |
|
|||||||||||||
~ Ь2 |
’ |
КО |
|
• |
. |
А1 |
|
, |
^ ,3j |
|
, |
, |
|
|
Оi — |
|
|||
h2 |
’ |
дчи |
|
h |
’ |
' 4‘ |
|
/i |
" ,JJ |
|
/г |
’ |
Г1~ Л ’ |
" ' “ l-v.oVsT |
Wfj2 —
В12 =
= 2AG12; £>г = |
D12= |
Ai3 = 2hk'Gi3, k'= j i |
((=1,2; / = 0, 1,2); |
X, =]-(*,++ * ,-); |
W2 =^-(X,+ -W r); y,=^(W 2++ X2-); |
y2 =^-(W2+-W2-); |
7, = 1 (Хз++ Хз-); Z2 = i - ( J 3+-W 3-).
В дальнейшем полученные уравнения и соотношения теории будут ис пользованы для решения задач об определении концентрации напряже ний возле отверстий в ортотропных пластинках из композиционных мате риалов.
СП И С О К Л И Т Е Р А Т У Р Ы
1.Жигун И. Г., Поляков В. А. Свойства простраиственпо-армпрованных* пласти ков. Рига, 1978. 215 с.
2.Пелех Б. Л. Теория оболочек с конечной сдвиговой жесткостью. Киев,
1973.248 с.
3. Векуа И. Н. Теория пологих оболочек переменной толщины. — Тр. Тбнлнсск.
мат. ин-та, 1965, т. 30, с. 3— 102.
4. Пелех Б. Л., Сухорольский М. А. О приближенных представлениях разрешаю щих уравнений теории оболочек применительно к решению контактных задач. — Докл.
АН УССР. Сер. А, № 4, 1975, с. 351—354.
5. Векуа И. Н. О двух путях построения непротиворечивой теории оболочек. — Материалы I Всесоюзн. школы по теории и численным методам расчета оболочек н
пластин. Тбилиси, 1975, с. 5—50.
6. Пелех Б. Л., Лазько В. А. Напряженно-деформированное состояние трансвер сально-изотропных пластин, слабо сопротивляющихся поперечным деформациям. —
Докл. АН УССР. Сер. А, № 7, 1976, с. 639—642. |
|
Институт прикладных проблем механики |
Поступило о редакцию 06.11.79 |
и математики АН Украинской ССР, Львов |
|
зо-
УДК 624.074.4:678.067
Р. Б. Рикарде, М. В. Голдманис
ОПТИМИЗАЦИЯ РЕБРИСТЫХ ЦИЛИНДРИЧЕСКИХ ОБОЛОЧЕК ИЗ КОМПОЗИТОВ, РАБОТАЮЩИХ НА УСТОЙЧИВОСТЬ
ПРИ ВНЕШНЕМ ДАВЛЕНИИ
Улучшения весовых характеристик композитных оболочек, работаю щих на устойчивость, можно добиться как управлением структурой ар мирования, так и управлением формой оболочки. Отыскание оптималь ной формы оболочки может быть осуществлено либо в классе гладких оболочек, т. е. когда мы имеем одну генерирующую поверхность, либо в классе оболочек с несколькими генерирующими поверхностями. Наибо лее простое решение последней задачи — создание ребристых оболочек. Ограничимся рассмотрением ребер в виде тонкостенных элементов, гене рирующая поверхность которых является нормальной к поверхности оболочки (обшивки). Следует отметить, что при поиске оптимальной конструкции эти подкрепляющие оболочку элементы следует рассматри вать как тонкостенные, а не как стержневые, так как стержневые эле менты не могут описать таких явлений, как формы потери устойчи вости — местная и изгибно-крутильная совместно с обшивкой. Эти формы могут быть определяющими для критической нагрузки при опре деленных соотношениях параметров, которые могут быть получены в ходе оптимизации.
Оболочка изготовлена из композитного материала. Материал обо лочки и ребер — слоистый композит. Сформулируем следующую задачу оптимизации:
|
G(x) ->-min |
(0.1) |
при ограничениях |
|
|
М х)-^ 3 г0 ; |
ф,-(х)5 г0 ; £ = 1 , 2 ,. ,/; хНх)5г0; |
/'= 1 , 2 , . . . , / . |
|
|
( 0.2) |
Здесь G(x) — |
критерий качества проекта — масса |
оболочки; х = |
= {х\, Х2 ,...,х„] |
— вектор оптимизируемых параметров, в который вхо |
дят как структурные параметры материала ребер и обшивки, так и гео метрические параметры оболочки; Х*(х) — критический параметр на грузки; X — заданный параметр нагрузки; фч(х) — совокупность геомет рических ограничений; хДх) — совокупность структурных ограничений. Решение поставленной оптимизационной задачи распадается на две части. Первая — определение устойчивости ребристой оболочки с тонко стенными ребрами. Эту часть задачи решаем методом конечного эле мента, позволяющим единообразно рассчитать конструкции с различной конфигурацией ребер и обшивки. Вторая часть задачи — отыскание кон струкции минимальной массы, удовлетворяющей ограничениям задачи. В этом случае для решения используем теорию планирования многофак торных экспериментов.
1. Конечные элементы ребристой оболочки. Получим матрицы жест кости и инкрементальной жесткости для обшивки и ребер многослойной оболочки, рассматривая их как тонкостенные оболочечные элементы.
Исходный функционал потенциальной энергии деформации элемента оболочки в случае гипотезы Кирхгофа—Лява имеет вид:
= |
Qa^ a M |
S + J B*»*(Qaf a 6+ k a M |
dS + |
|
z |
S |
S |
|
|
|
+i "^1 ^ apv4^apky6dS\ |
a, p, y, 6=1,2. |
(1.1) |
|
|
s |
|
|
|
Здесь dS = i/adxldx2 (a = det(aap); aap |
— компоненты метрического тен |
зора срединной поверхности; ха — криволинейные координаты на сре динной поверхности; хг — координата по внешней нормали к поверх ности); QoPve> 5 ортв) £)apve _ компоненты тензоров мембранной, мемб-
ранно-изгибной и изгибной жесткости, которые известным образом [1] выражаются через жесткостные характеристики слоев и направлений армирования слоев; Qap, ka$ — компоненты тензоров деформаций сре динной поверхности и искривлений, которые выражаются через компо
ненты |
вектора |
перемещений |
срединной |
поверхности |
v = vaaa+ wa3 |
|||
({fla. <*з} — координатный базис) следующим образом [2 ]: |
|
|||||||
|
|
£ 2 a 0 = _ ^ " ( E a 0 + |
E 0 a ) ', |
|
Е а 0 = |
Ц<х||0— b a fiW ; |
|
|
|
|
& а 0 — - Г [ у а ||0 + |
У 0||а ~ |
Ф |
{ Ь ^ Е а \ + Ь а > Е0Л.) ] ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( 1.2) |
У а = |
- ' К а ! |
Ф = у Е ° Р © а 0 ; |
ОЗа 0 = |
у |
(U 0||a |
- ^ c x lip ) J |
= |
W , a + b a x V K ; |
а, р, Х = 1, 2.
Здесь знак параллельности означает ковариантное дифференцирование в метрике оболочки aap; ea 0 — дискриминантный тензор.
Инкрементальная часть потенциальной энергии деформации в на- чально-послекритическом состоянии получена в работе [3]. В случае безмоментного докритического состояния и однородного по толщине пакета слоев (B<*Pve = o) исходный функционал для получения матриц инкре ментальной жесткости имеет вид:
f/(2)°= л,J /1бхтарсГ(о)*т£2а0(2)^5; ос, р, X, т= 1 , 2 . |
(1.3) |
S |
|
Здесь 6 хтар — обобщенный символ Кронекера; £2а0(2) — квадратичные члены тензора деформаций срединной поверхности [2]:
2Qap(2>= а<хрФ2+Чгаг1г0. |
(1.4) |
При выводе функционала (1.3) принято, что внешние нагрузки меняются пропорционально одному параметру X, и, таким образом, докритическое напряженное состояние оболочки можно выразить в виде: oap= A.(j(o)ap.
Рассмотрим далее вывод необходимых матриц жесткости и инкремен тальной жесткости для цилиндрической оболочки с кольцевыми ребрами под действием внешнего давления. Соответствующие матрицы жесткости и инкрементальной жесткости для обшивки согласно функционалам (1-1) и (1.3) с кинематическими соотношениями (1.2) п (1.4) были выве
|
|
дены D работе [4]. Матрица жесткости для |
||||
|
|
кольцевых ребер (элемент кольцевой плас |
||||
|
|
тинки) может быть получена как частный |
||||
|
|
случай матрицы жесткости элемента в виде |
||||
|
|
усеченного |
конуса, |
которая для функционала |
||
|
|
(1 .1 ) с кинематическими соотношениями |
(1 .2 ) |
|||
|
|
была выведена в работе [5]. |
|
|
||
|
|
Далее рассмотрим вывод матрицы инкре |
||||
|
|
ментальной жесткости для ребра. Элемент |
||||
|
|
ребра, координатная система и основные обо |
||||
|
|
значения представлены на рис. 1 . Используя |
||||
|
|
(1.2) , (1.3), (1.4), получаем инкрементальную |
||||
Рис. 1. Конечный |
элемент |
часть потенциальной энергии |
деформации в |
|||
кольцевого ребра. |
начальном |
послекритическом |
состоянии |
для |
||
|
|
кольцевого элемента: |
|
|
||
2Л Г1+> |
|
|
|
|
|
|
£/(2)с = - ^ и | |
J [аг<°>+ а,<°>]Ф2 + стг'°> ( |
+<*р,0) |
|
|
||
О |
г< |
|
|
|
|
(1.5) |
Здесь |
|
dv„. |
dvr |
и,рI2 |
|
|
ф2 |
|
|
||||
|
|
( 1.6) |
||||
|
(дг |
7 ^ + - |
J |
|
||
|
4 |
|
|
сгг(0), а ф(0) — докритические радиальные и окружные напряжения, дейст вующие в элементе; vr, уф, до — радиальные, окружные и нормальные перемещения.
Зададим в каждом узле элемента четыре степени свободы (три пере мещения и угол поворота р) и представим поле перемещений в элементе
в виде:
dw
yr = «cosntp; иф= и sin /гср; до = доосоэпср; р= —r ^ = р0cos шр.
(1.7)
Здесь п — число волн в окружном направлении. Вектор узловых пере мещений элемента имеет восемь компонент:
б■={«*, vit ш0\ р0\ Mi+i. «.'+ь аУог+1, Pot+I}- |
(1-8) |
В (1.7) приняты следующие разложения для перемещений по радиаль ной координате:
u = a i + a 2Si\ v = a 2 + a 4s,; ®o = a 5+ a 6S t+ ;a 7Si2+ a 8S;3; |
^ |
Ро = ссб+ 2a7 Si + 3aaSi3.
Здесь сц — коэффициенты, которые выражаются через узловые переме щения; Si = r —г,- — радиальная координата t-ro элемента. Выражая с учетом (1.8) и (1.9) коэффициенты ар через узловые перемещения б,, и подставляя эти соотношения в (1.7), получаем поле перемещений внутри элемента как функцию узловых перемещений:
( 1. 10)
Здесь Li = ri+i —ri — |
ширина t'-го кольцевого элемента. Подставив |
(1 .1 0) в (1.5) и (1 .6 ), |
после интегрирования по окружной координате <р |
получим энергию в виде квадратичной формы от узловых перемеще ний 6 j:
^(2)с =~2 |
I, /'= 1 , 2 , |
, 8 , |
|
где Gn — матрица инкрементальной жесткости — |
|
|
|
Gij= J Oij[<T,-(0) (Si), ff,r.(0)(si)]dsi. |
(1.11) |
||
о |
|
|
|
Здесь элементы матрицы жесткости являются функциями докритических напряжений о>(0), стФ(0).
Для определения докритических напряжений в конечном элементе решим задачу деформирования кольцевой пластинки (см. рис. 1 ) при
следующих граничных условиях: |
|
стг= 0 при r = a\ vr = ii при г= Ь. |
(1 .1 2 ) |
Величину радиального перемещения й в месте стыковки ребра и об шивки получаем из следующих соображений. Допустим, что кольцевые ребра оболочки «размазаны» и докритическая деформация «размазан ной» оболочки мало отличается от «неразмазанной». Тогда окружной
модуль упругости размазанной оболочки будет Е2 = Е2°-рЕчР т—, где £ 2°, ihо
£ч.р — окружные модули упругости обшивки и ребер, F — поперечное сечение ребра, h0 — толщина обшивки, / — расстояние между ребрами. Решая задачу о безмоментном деформировании оболочки при внешнем давлении, получим перемещение в радиальном направлении в месте сты ковки ребра п обшивки:
и = |
qR2 |
( |
) |
ho (E2°+ EtД lh0 |
|
|
|
|
|
|
Здесь V2i° — коэффициент Пуассона обшивки. Решая плоскую задачу теории упругости для кольцевой пластинки с граничными условиями (1 .1 2), получаем следующие выражения для докритических напряжений:
щ<°> = ci(bnk + bi2) [rk~' + a2ltr-h~l]; |
аф(0,= С1 [ rh ' (b\2k + b22) — |
|||||||||
|
—nlh'■ |
Ьц/г + bi2 |
|
|
|
-h- 1 |
- |
|
n |
(1.13) |
|
(— b\2k + b22)r |
|
|
|||||||
|
|
|
I . |
|
Or |
|
||||
|
- b\\k+b |2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Здесь k = }/£фР/£гР; щ = |
|
b\\k-\-b\2 |
bij — компоненты тензора |
|||||||
|
|
b]>— a2hb~h |
|
|
|
|
|
|||
|
|
— b\\k+b 12 |
|
|
|
|
|
|||
жесткости |
|
«22 |
. |
« II |
_ |
|
f l12 . |
. |
|
|
ребра: b11 = -Q-; |
«22- — ’ |
«12- - |
n |
: ETP ; ° |
22 E^P ’ |
|||||
|
|
|
|
a |
|
|
Q |
|
||
V P |
Q = a 11a22 —ai22- Величины |
а и b в формулах (1.13) |
— внут- |
|||||||
a,2= - - ^ - ; |
E гр
ренний и наружный радиус кольцевого ребра (см. рис. 1). Подставляя (1.13) в (1 .1 1 ), путем численного интегрирования методом трапеций с экстраполяцией Ромберга получаем матрицу инкрементальной жест кости ребра.