книги / Механика композитных материалов. 1980, т. 16, 3
.pdfэтих направлениях обозначим через 0 ь 0 2, 0з (2 0 ;= 1 ). Кольцевые ребра оболочки однослойные, со следующими жесткостнымн характеристи ками: ETV = E\\ £,фр = £'з; vr(pP = vi3; v^rp=v3i. В качестве параметров опти мизации выбираем следующие величины: интенсивности армирования обшивки 01 и 0 2, толщину обшивки h0, высоту кольцевых ребер /гр, коли чество кольцевых ребер пр. Ширину ребра принимаем равной bp= l/5X/ip. Таким образом, имеем вектор параметров оптимизации, или вектор про екта:
х= {0 1, 0 2, h0, hp, Мр}.
Для первой серии испытаний выделяем следующую область поиска:
0 ,1 ^ 0 1^ 0 ,3 ; 0 ,3 5 ^ 0 2^ 0 ,5 5 ; 0 , 2 см^Л о^ 0 , 8 см;
3 CM^ / Ip^ 5 см; пр= {6 , 8 , 1 0}.
В таблице приведены результаты расчета плана первой серии. За показатели качества проекта были выбраны следующие величины: масса конструкции G= G/nyk (ук — плотность материала оболочки), критиче ская нагрузка, соответствующая общей потере устойчивости qx, критиче ские нагрузки, соответствующие местной потере устойчивости обшивки <7г, местной потере устойчивости ребер <73, местной потере устойчивости ребер и обшивки совместно <74. Из анализа показателей качества плана первой серии видно, что минимальные критические нагрузки оболочки достигаются как при общей потере устойчивости, так и при двух формах местной потери устойчивости.
Характерные формы потери устойчивости оболочки изображены на рис. 2. Номера у кривых на рис. 2 соответствует номерам уровней в
№ уровня |
Параметры |
оптимизации |
X |
|
Показатели |
качества |
|
||||
проекта |
е, |
е2 |
Ло |
|
|
"р |
G |
Я\> |
Яъ |
<7з, |
Я4. |
|
|
лр |
|||||||||
|
|
|
кгс/смР |
кгс/см2 |
кгс/см2 |
кгс/см* |
|||||
1 |
0,126 |
0,536 |
0,360 |
1 |
Ж |
8 |
6 303 |
|
25,00 |
__ |
_ |
4,200 |
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(18) |
_ |
|
2 |
0,220 |
0,496 |
0,204 |
3,404 |
8 |
3 826 |
|
5,17 |
|
||
|
|
|
|||||||||
3 |
0,166 |
0,456 |
0,560 |
3,133 |
6 |
6 740 |
43,50 |
(21) |
_ |
42,20 |
|
|
|||||||||||
4 |
0,140 |
0,443 |
0,800 |
3,800 |
10 |
10 778 |
(4) |
_ |
|
(12) |
|
76,03 |
___ |
80,48 |
|||||||||
5 |
0,300 |
0,510 |
0,520 |
4,733 |
8 |
8 614 |
(3) |
63,55 |
___ |
(И ) |
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(17) |
_ |
|
6 |
0,246 |
0,430 |
0,320 |
4,066 |
6 |
5 103 |
|
14,60 |
|
||
|
|
|
|||||||||
7 |
0,180 |
0,523 |
0,720 |
4,600 |
6 |
9 622 |
|
(17) |
___ |
86,53 |
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|||||||||
8 |
0,260 |
0,430 |
0,760 |
3,666 |
6 |
9 153 |
70,70 |
_ |
|
(9) |
|
___ |
67,07 |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
9 |
0,153 |
0,483 |
0,480 |
4,866 |
10 |
9 305 |
(4) |
53,93 |
|
(П ) |
|
79,39 |
____ |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
10* |
0,233 |
0,550 |
0,600 |
3,266 |
6 |
7 238 |
(3) |
(16) |
|
49,06 |
|
49,89 |
|
___ |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
11 |
0,113 |
0,390 |
0,400 |
4,333 |
6 |
6 155 |
(4) |
25,47 |
— |
(12) |
|
|
|
||||||||||
12 |
0,193 |
0,363 |
0,440 |
3,533 |
10 |
6 808 |
42,72 |
(14) |
|
|
|
35,18 |
— |
— |
|||||||||
13 |
0,273 |
0,470 |
0,680 |
3,933 |
10 |
9 772 |
(13) |
(14) |
|
74,09 |
|
72,15 |
|
___ . |
|||||||||
14 |
0,286 |
0,416 |
0,208 |
4,466 |
10 |
5 890 |
(3) |
5,51 |
— |
(Ю) |
|
|
|
||||||||||
15 |
0,206 |
0,376 |
0,640 |
5,000 |
8 |
10 200 |
|
(22) |
|
98,19 |
|
— |
|
— |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(8) |
Рис. 2. Формы выпучивания ребристой обо |
Рис. 3. |
Зависимость |
крити |
лочки. |
ческой |
нагрузки от |
числа |
|
волн |
по окружности. |
плане первой серии (см. табл.). В скобках указано число волн по окруж ности. На рис. 3 изображены кривые зависимости критического давле ния от числа волн по окружности, номера у кривых на рис. 3 соответ ствуют номеру уровня в плане первой серии (см. табл.). Из анализа кри вых на рис. 3 видим, что минимум критических нагрузок достигается при п = 3-=-4 для общей формы потери устойчивости, при /г= 8-^12 для мест ной формы потери устойчивости ребер и обшивки и при п= 14-^22 для местной формы потери устойчивости обшивки. Как видим из анализа результатов таблицы, лучшие показатели качества — у проекта с номе ром уровня 10. У этого проекта активными являются общая форма по тери устойчивости и местная — обшивки и ребер.
Следующую серию испытаний проводим, таким образом, в суженной области, которая выделена около проекта с номером уровня 1 0 :
0 ,1 ^ 0 1^ 0 ,3 ; 0 ,3 5 ^ 0 2^ |
0 ,5 5 ; 0,5 см ^/го^ 0 ,6 см; |
3 с м ^ й р^ 4 |
см; пр={4, 6 , 8 }. |
После анализа показателей качества испытаний второй серии уста новлено, что лучший проект имеет шесть кольцевых ребер, поэтому в третьей серии переходим на план с четырьмя параметрами оптимизации; при этом число кольцевых ребер пр = 6 зафиксировано. Выделенная об ласть для испытаний третьей серии следующая:
0,25^01^0,35; 0 ,4 5 ^ 0 2^ 0 ,5 5 ; |
0,54 см ^/го^0,58 см; |
3,8 см ^/гр^ 4 |
см. |
Из анализа результатов испытаний третьей серии установлен оптималь ный проект: х*={0,27, 0,50, 0,545, 3,873, 6 }, (7, = 7180; q*i = 66,97 кгс/см2 {п = 4); <7*4 = 50,13 кгс/см2 (/г= 12).
Представляет интерес сравнить массы ребристой оболочки и гладкой оболочки из углепластика. Аналогичная гладкая оболочка имеет вектор проекта х = {0ь 02, li). Решение задачи оптимизации получено методами математического программирования, причем согласно работе [3] эта за дача принадлежит к классу выпуклых задач. В точке оптимума вектор проекта х*={0, 0,28, 1,235} и масса оболочки 12 350. Видим, что в этом случае структура армирования оболочки значительно отличается от структуры армирования обшивки для ребристой оболочки. Для обшивки ребристой оболочки 50% слоев расположены под углом ±45° Эти слои в основном принимают деформации сдвига и кручения, возникающие
при местной потере устойчивости. Структура армирования обшивки в оптимальном проекте такова, что по упругим характеристикам в пло скости обшивки материал изотропен. Для гладкой оптимальной обо лочки 72%' слоев расположены в окружном направлении (для ребрис той — только 23%)- Эти слои в основном являются подкрепляющими элементами в окружном направлении. Для ребристой оболочки эти функции выполняют кольцевые ребра. Выигрыш в массе ребристой обо лочки по сравнению с оптимальной гладкой оболочкой составляет при мерно 40%.
СП И С О К Л И Т Е Р А Т У Р Ы
1.Амбарцумян С. А. Общая теория анизотропных оболочек. М., 1974. 446 с.
2 Sanders J. L. Non-linear theories for thin shells. — Quart. Appl. Math., 1963,
vol. 21, N 1, p. 21—36.
3. Рикарде P. Б. Исследование выпуклости некоторых классов задач оптимизации многослойных оболочек, работающих на устойчивость и колебания. — Изв. АН СССР.
Механика твердого тела, 1980, № 1, с. 145— 154.
4.Адамович И. С., Рикарде Р. Б. Дискретные модели непрерывных задач оптими зации конструкций..— Механика полимеров, 1976, № 5, с. 852—859.
5.Адамович И. С., Рикарде Р. Б. Оптимизация по массе оболочек вращения с пере
менной геометрией и структурой армирования. 1. Оптимизация оболочек вращения, ра ботающих на устойчивость при внешнем давлении. — Механика полимеров, 1977, № 3,
с.494—502.
6.Аудзе П. П., Эглайс В. О. Новый подход к планированию многофакторных экс
периментов. — В кн.: Вопр. динамики и прочности, 1977, вып. 35, с. 104— 107 (Рига).
Институт механики полимеров |
Поступило в редакцию 19.12.79 |
АН Латвийской ССР, Рига |
|
Й |Л < |
^ |
> |
+ 2(Ра + 2Ря ) ±1:[“ Г у ) |
+ д |
ду4 |
|
||||
|
С>Х4 |
|
|
|
|
|
дх2ду2 |
|
|
|
1 |
а2Ф |
-+ |
|
(32Ф |
-+ |
d2w |
д2Ф |
д2w |
с?2Ф |
|
tf" |
дх2 |
2 |
/2 |
ду2 |
дх2 |
дхду |
дхду |
|
||
|
|
|
<?х |
<3г |
|
|
||||
|
|
- P (t) |
<52ш |
|
q(t) |
d2w |
d2w |
|
|
|
|
|
дх2 |
|
~ T ~ W |
dt2 |
|
|
|||
где ®о(х,у) |
заданный начальный прогиб; х, у — продольная и окруж |
|||||||||
ная координаты; |
р, |
— масса^ единицы поверхности |
оболочки; |
— |
компоненты матрицы изгибной жесткости; Ajj — компоненты матрицы податливости ортотропного материала.
Уравнениям (1) и (2) без членов, обусловленных учетом геометриче ской нелинейности, а также условиям шарнирного опирания на торцах
оболочки (которые и будут предполагаться в дальнейшем) |
почленно |
|
удовлетворяют ряды |
м |
|
w (х, у, о - |
£ £ Wmn (t) sin атх cos (5пу\ |
(3) |
|
7П=1 71=О |
|
Ф(х, у, t) = |
Ртп (<)sin атх cos рпу, |
(4) |
|
£771= 1£71=0 |
|
где ат =< ят рп=^-. Вследствие этого при решении линейной задачи ди
намической устойчивости при каждой фиксированной паре форм волно образования (т,п) получаем обыкновенное дифференциальное уравне ние для нахождения функции Wmn{t). Естественно попытаться восполь зоваться разложениями (3), (4) и для решения геометрически нели нейной задачи. Однако при этом возникает принципиальная и в общем случае, видимо, непреодолимая вычислительная трудность — все гармо ники в (3) и (4) оказываются взаимно связанными, в результате чего получить в обозримом виде уравнения для определения Wmn{t) и Fmn(t) не удается.
С целью исследования возможности применения вариационных мето дов к рассматриваемым задачам был проведен специальный анализ эф фекта связанности окружных и осевых форм потери устойчивости. Не останавливаясь на подробностях, сформулируем окончательный резуль тат: этот эффект приводит к уменьшению величины | Wmn{t) | для любых т и п вплоть до момента достижения этой функцией первого максимума. При этом учет связанности осевых форм сказывается на результатах значительно слабее, чем учет связанности окружных. Это позволяет по лучить достаточно точные результаты при учете связанности лишь ко нечного числа окружных форм*
В соответствии с этим для решения геометрически нелинейных задач динамического выпучивания предлагается использовать аппроксимации полного и начального прогиба вида:
|
N |
wm(х, у, t) - |
sin атх £Wmn(t) cos р„г/; |
|
(51. |
W, Л х. и) =sin <ХтХ 7 I U^mn0 COS Р„1/. |
|
_________ |
71= По |
Следует отметить, что в случае внешнего давления связанность различных осевых форм вообще не проявляется, так как доминирующие формы выпучивания соответст вуют т = 1 (в случае продольного сжатия доминирует не одна осевая форма, а целая их группа).
где (Omiit P*mk, Ц mh чартота собственных пзгибных колебаний, крити ческие статические осевое усилие и внешнее давление для совокупности форм (m,k)\
X (6 i+ j+ n - ft + 6 i+ j- n + h + 6 i+ j—n —ft) + P n [ C mjj(6) (P i — P j) ( 6 i- j- n + f t +
4 " 6 i—j—n—A ^i—j+n—h) + C m i j (P i “I- Pj ) (бг-fj —n+ft "E 6 i+ j—n —ft 6 i+ j+ n —ft) ] ,
/ 1 |
при |
/ = 0; |
где |
при |
1--7^=0 . |
10 |
Если нам необходимо знать функции Wmu{t) для осевых форм с но мерами т = т0....... М, надо М —т 0+1 раз проинтегрировать систему (7). Полный прогиб после этого может быть записан в виде:
Выражение в виде двойного тригонометрического ряда можно записать
идля полной функции напряжений.
Вслучае пренебрежения связанностью не только осевых, но и окруж ных форм решение задачи сильно упрощается. Выбирая в качестве аппроксимации прогиба один член ряда (3) с фиксированными т и п
wmn (X , у, t) = Wmn (t) sin a m X cos p»y |
(9) |
п подставляя его в уравнение неразрывности деформаций (1), находим:
Ф т п ( X , yt t) = С т п ^ ( fflmn Ч^т/) Sin C tm X COS (ЗпУ~\~
Уравнение для определения №тп (0 получается применением процедуры Бубнова—Галеркнна к (2) с аппроксимациями (9), (10):
|
|
( И ) |
1ДС dnin—T c I |
. )П' n _ |
фПКС11р0ваНные целые числа. |
16цИп |
A22 |
(11) найдены функции Wmn (t), полный |
После того, как из уравнений |
прогиб может быть записан в виде:
( 12)
7? i = ?7i o |
71 = 710 |
Согласно принятым исходным гипотезам Кирхгофа—Лява напряже ния в произвольной точке оболочки связаны с прогибом и функцией на пряжений соотношениями
„ 1 |
д2Ф |
_( |
п |
d2( w - w 0) |
_ D |
d2( w - w 0) |
\ |
Охх(Х, у, t) — и |
Att2 |
|
|
дх2 |
+ ^ 1 2 |
ду^ |
/ |
h |
ду2 |
|
|
|
|
|
|
1 |
д2Ф |
|
|
d2(w — w0) |
|
d2(w — w0) |
\ |
Оуу(х, у, z,t) = h |
дх2 |
- z i |
В 12" |
дх2 |
+ В 2 2 |
1 ду2 |
- ) ; (13) |
|
|
1 |
д2ф |
|
d2(w — w0) |
|
|
|
|
|
|
|
дхду |
|
|
где В\,, В 12, В22, В66 — компоненты матрицы жесткости ортотропного материала.
Формулы (13) совместно с (5), (6), (8) либо (9), (10), (12) пол ностью определяют напряженное состояние в произвольной точке обо лочки.
Конкретные расчеты проводились в следующей последовательности. 1. Начальные условия принимались в виде:
W m n I < = 0 = W m n ° |
dWmn |
(14) |
|
dt |
|||
|
|
Система (7) с начальными условиями (14) численно интегрировалась методом Рунге—Кутта четвертого порядка при фиксированном т (это повторялось несколько раз с тем, чтобы установить значения п 0 и N, дающие достаточную для практических целей точность).
2.Проводилось суммирование ряда (8) для прогиба (пределы сум мирования т 0 и М определяются требуемой точностью и зависят от за данных начальных несовершенств, зависимостей P(t) или q(t), а также от геометрических параметров оболочки). В результате может быть изображена выпученная поверхность оболочки в любой момент времени. Затем определялись наиболее опасные точки этой поверхности (обычно они совпадают с точками, где величина прогиба имеет экстремум).
3.В этих точках строились зависимости напряжений от времени при
двух значениях нормальной |
к |
срединной поверхности |
координаты z. |
В силу линейности выражений |
(13) этого достаточно для нахождения |
||
распределения напряжений |
по |
толщине оболочки при |
фиксированных |
-V, у, t.
4. Определялся момент времени /*, в который хоть в одной точке
(x,y,z) |
оболочки напряжения выходят на предельную поверхность. Зна- |
||
чения |
нагрузки P(t*) либо q(t*), а также импульса IP(t*)= |
<• |
|
J" |
P(t)dt |
||
|
I* |
о |
|
либо Iq(t*) = J' q(t)dt названы критическими. |
|
|
|
|
о |
|
опреде |
Таким образом, критическое значение нагрузки (импульса) |
|||
ляется по моменту появления в теле оболочки первого дефекта |
(наруше |
ния сплошности волокна, матрицы либо образования в связующем ло кальной пластической зоны).
2. Осевое динамическое сжатие. В качестве примера рассмотрим шестислойную углепластиковую оболочку. Деформативные характерис тики материала приведены в [17]. Параметры однонаправленного слоя
(индексы 1, 2 соответствуют направлениям х, |
у): |
Е\ = 11,95• 1010 Н/.ч2; |
£ ' 2 = 0,951010 Н/м2; G|2 = 0,457 • 1010 Н/м2; v i 2 = |
0,3. |
Все слои имеют оди |
наковую толщину /г, = 1,775- 10-4 м. В дальнейшем будут сопоставляться две структуры пакетов, различающиеся ориентацией двух средних слоев: тип А —■слон повернуты относительно образующей на углы +45, —45. 90, 90, —45, +45°; тип В — соответственно +45, —45, 0, 0, —45, +45с
w/h
— |
|
_______ |
|
|
|
||
|
________ Л 1 |
|
|
|
|||
|
|
■J J\J |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
s |
|
|
|
|
|
II |
|
|
|
|
|
|
|
л 11л |
______ -‘' L |
|
|
|
|
|
|
1 f |
|
|
|
|
|
Рис. |
1. Распределение |
прогиба |
Рис. 2. Распределение прогиба по |
||||
по |
осевой |
координате |
(осевое |
окружной |
координате |
(осевое |
|
|
|
сжатие). |
|
|
|
сжатие). |
|
Примем, что L/R = 2, R/h = 939 |
(h — толщина пакета); P(t) = Vt, где |
||||||
скорость нагружения |
V выбрана |
так, чтобы в момент времени / = 2/ = |
|||||
= 4L/c(B), где |
С(в)= уС22(В)/р нагрузка была равна |
эйлеровому |
критиче |
скому статическому значению, так что в фиксированный момент времени нагрузка на обе оболочки одинакова.
Распределение по т и п амплитуд начальных несовершенств |
Wmn° |
примем в виде: |
|
(_П/+п |
(15) |
Wmn° = 0,2/1-^----^— ■е—- 3, |
|
т2 |
|
где 1 = т/2 при т четном и l = ( m + 1)/2 при т нечетном. В дальнейшем будем пользоваться безразмерным временем т = tft.
На рис. 1 представлены распределения прогиба по осевой координате прнт = 4,55, y = nR для композитов А (см. рис. 1—а) и В (см. рис. 1—б). Как видим, в обоих случаях область резкого выпучивания распространя ется на центральную часть оболочки и состоит из восьми поясов вмятин и выпучин (положительным считается прогиб при выпучивании внутрь). Практически совпадает в обоих случаях и местоположение наиболее опасных сечений: я«0,49 L при выпучивании наружу и х«0,52L при вы пучивании внутрь. Однако, как видим, поворот двух средних слоев в па кете на 90° привел к увеличению при той же нагрузке максимального значения прогиба примерно в 10 раз.
На рис. 2 представлены |
распределения прогиба по окружной коорди |
|
нате при т = 4,55, x = 0,49L |
для |
двух рассматриваемых пакетов. Наибо |
лее опасная точка для пакета |
А — y = nR\ для пакета В, помимо нее, |
Рис. 3. |
Зависимость напряжений |
от времени (осевое сжатие). Индексам соответствуют |
точки: |
(1) _ л'=0,49/., z = 0,5/i; |
(2) — х= 0,49L, г= -0 ,5 Л ; (3) — *= 0,52L, z = 0,5/i; |
|
(4) |
— *= 0,52L, z = — 0,5/t. |
имеются еще две опасные, симметричные относительно горизонтального диаметра точки, в которых прогиб несколько меньше, но напряжения могут оказаться большими, чем в y = nR. На рисунке отчетливо видно, что в обоих случаях выпучивание в данном сечении (можно проверить, что также в любом другом сечении х = х0) происходит с образованием шести узловых линий, разграничивающих вмятины и выпучины. Таким образом, доминирующая окружная форма соответствует номеру п мак симальной амплитуды начальных несовершенств в распределении (15).
На рис. 3—а приведены зависимости а.г..х(т) и avv(x) в наиболее опас ных точках {x=0,49L, г/=яЯ}, {x=0,52L,y = nR} на внешней (z = —0,5/t)
и внутренней (z = 0,5h) поверхностях |
оболочки А. |
Напряжение а.г)/=0 |
||
при y = nR. Для |
оболочки В соответствующие зависимости |
в наиболее |
||
опасных точках |
{x= 0,4925L, y = nR}, |
{x=0,517L, |
y=nR}, |
определяв |
шихся при т = 4,15, показаны на рис. 3—б.
Обратимся теперь к определению величины критической динамиче ской нагрузки. В качестве условия достижения предельного состояния будем использовать поверхность прочности, которая приведена для рас сматриваемого шестислойного углепластика со структурой В в работе [17] (рис. 4). Поверхность построена по критерию максимальных дефор маций*.
Из сопоставления напряжений, изображенных на рис. 3—а, с поверх ностью прочности при обозначениях на осях (ахх), (сгУ!/) находим, что первые два дефекта появляются на внутренней поверхности оболочки: в
точке лг=0,52L при т = 4,56 и x=0,49L |
при т = 4,64. Первые два дефекта |
на внешней поверхности возникают |
в точке x=0,49L при т = 4,75 и |
л:= 0,52Д при т = 4,85. На срединной поверхности во всех случаях первый дефект появляется значительно позже. Если определить коэффициент динамичности кд как отношение величины динамической нагрузки, при которой возник первый дефект в теле оболочки, к эйлеровой статической нагрузке, то в рассмотренном случае йд=2,28.
Сопоставление напряжений, приведенных на рис. 3—б для оболочки В, с поверхностью прочности (см. рис. 4) при обозначениях на осях ст.„, ОуУ показывает, что первые два дефекта возникают практически одно временно при т = 4,14 в точках внутренней поверхности, соответствующих вершинам соседних наиболее опасных вмятин и выпучин. Несколько
Рис. 5. |
Рис. 4. Поперхиость прочности для шестмслойного углепластика. |
|
Зависимость прогиба |
от окружной координаты (внешнее давление) с учетом |
|
( |
--------- ) и без учета (----------- |
) взаимовлияния окружных форм выпучивания. |
' Поверхность прочности для пакета со структурой А в силу очевидных условии симметрии получается из приведенной на рис. 4 структуры заменой на осях координат
G.XX на Оу у.