книги / Применение частотных преобразований в теории цепей

задерживания для ФНЧ-прототипа"остаются такими же, как и для синтезируемого ФВЧ. Эскиз требований к частотной зависимости рабочего ослабления ФНЧ-прототипа показан на рис. 2.7.

Принятая в этом пункте расчета формула пересчета частот

5 в отрицательные значения частоты шр плоскости р. Однако чет- ный-характер частотной зависимости рабочего ослабления позволя­ ет опустить знак минус и перейти от задания характеристики ослабления ФНЧ-прототипа на отрицательной полуоси частот ыр

кее заданию на положительной полуоси шр.

4.Переходим к синтезу ФНЧ-прототипа. С этой целью по (2.8) определяем

Принимаем ггч= 3.

Казалось бы, следует синтезировать схему ФВЧ с характеристи­ кой Чебышева как более экономичную (три реактивных элемента вместо четырех). Однако по заданию требуется ФВЧ с наименьшим выбросом переходной характеристики.

Для суждения о выбросе переходной характеристики необходи­ мо сравнить для обоих фильтров значения параметра о^/юр,-, где сгр\ и (ЬР[ — модули вещественной и мнимой частей соответственно пары комплексно-сопряженных полюсов передаточной функции с наименьшим по модулю значением ар.

Фильтр Баттерворта четвертого порядка имеет две пары комп­ лексно-сопряженных- полюсов. Из [2] находим р|,4= —0,383±

± /0,924; Р‘2.з = —0,924 + /0,383.

Для пары с наименьшим' по модулю значением веществен части полюсов Ор|/а>р| =0,383/0,924 = 0,415.

(п. 5 примера синтеза ФНЧ).

7. Расчет характеристик полученного ФВЧ можно выполнить двумя способами.

При первом задаются рядом значений частоты ыр нормирован­ ной характеристики ФНЧ-прототипа, вычисляют для этих частот рабочее ослабление прототипа и пересчитывают частоты норми­ рованной характеристики в «реальные» частоты синтезированно­ го ФВЧ.

При втором способе, наоборот, задаются рядом частот характе­ ристики синтезированного ФВЧ, пересчитывают их в угловые час­ тоты ш нормированной характеристики ФВЧ, затем переходят к нормированным частотам йр характеристики ФНЧ-прототипа и уже для них находят рабочее ослабление. <

В качестве примера найдем по второму способу рабочее ослаб­ ление синтезированного фильтра при ‘[5= 30 кГц.

а) Находим нормированную частоту характеристики ФВЧ:

в) По (2.4) вычисляем рабочее ослабление фильтра:

Ар= Ю1е(1 + 1*22'4) — 24,1 дБ.

2.3.СИНТЕЗ ПОЛОСОВОГО ФИЛЬТРА С СИММЕТРИЧНЫМИ ХАРАКТЕРИСТИКАМИ

Эвристические предпосылки. Сопротивление индуктивности схе­ мы-прототипа выражается формулой

где Х\ — реактивное сопротивление двухполюсника.

В соответствии с последней формулой изменение знака шр с по­ ложительного на отрицательный приводит к такому же изменению знака реактивного сопротивления х. В результате при изменении частоты от — сю д о '+ о о реактивное сопротивление изменяется в таких же пределах, проходя через нуль при соя= 0 , как показано сплошной линией' на рис. 2.9,а, где масштаб шкалы частот выбран

Сопротивление параллельного контура, представленное в канони­ ческой форме Фостера,

емкости Со индуктивность Г2д = 1 /С 2а)б, как показано на рис. 2.10,б (подчеркнем, что резонансная частота каждого из трех полученны» контуров равна о>о).

о

о-

Рис. 2.10. Преобразование схемы ФНЧ в схему ПФ

График частотной зависимости ослабления ФНЧ для положи­ тельных и отрицательных значений частоты ш,, показан на рис 2.11,а (фильтр с характеристикой Чебышева). В схеме на рис. 2.10,1 реактивные двухполюсники схемы ФНЧ заменены другими, более сложными, реактивное сопротивление которых на положительно* полуоси частот ш повторяет частотную зависимость сопротивлени* двухполюсников первоначальной схемы, имевшую место йа все* частотной оси шр (от — оо до + сю). По этой причине графи! частотной зависимости ослабления полученной схемы на положи тельной' полуоси <о должен воспроизвести (повторить) частотнук зависимость ослабления схемы-прототипа, имевшую место на все* частотной оси шр схемы-прототипа (включая отрицательную полу ось). Результат отображения характеристики прототипа показан н< рис. 2.11,6. Из рассмотрения этого графйка видно, что он соответст вует частотной зависимости ослабления ПФ.

где подкоренное выражение в общем случае является комплексной величиной.

Известно [12], что корень п-й степени из комплексного числа

(Если к принимает другие целые значения, положительные или отрицательные, то будут повторяться значения корня, полученные при указанных выше п значениях к.)

В случае чисто мнимых значений р (отрицательных или положи­

где значение о)р берется с.его знаком (минус или плюс).

Вернемся .к поставленной задаче о пересчете длины интервала. Отображение частоты шР| = —соа на ось ш плоскости ПФ определя­

что составляет половину длины отрезка оси частот (ор плоскости прототипа, ограниченного точками о)Р| и шР2.

между любыми двумя симметричными точками характеристики ФНЧ при переходе к характеристике ПФ уменьшается в 2 раза.

Назовем отображения частот шр = —соа и шр = ш0 на частотную ось 6) одноименными точками полосовой характеристики. Тогда предыдущая теорема утверждает, что длина частотного интервала между любыми двумя одноименными точками полосовой характе­ ристик,и, соответствующими некоторому значению ослабления А =

48

= А |, всегда совпадает с длиной частотного интервала характерис­ тики ФНЧ-прототипа от начала координат (ц*р = О) до точки 0)р — (ов с та'ким же значением ослабления А\.

Например, ширина полосы пропускания полосовой характерис­ тики

А | (со) = (02в — 0)2н

Рис. 2.12. К принципу сохранения длины частотного интервала при .частот­ ном преобразовании ФНЧ — ПФ

(рис. 2 .12) равна «реальной» (т, е. отсчитанной при положительных значениях частоты о)л) ширине полосы пропускания характеристи­ ки-прототипа:

Д|(ы) = Д|(Мр) = 0),,!> — 0>Я1= <1>р2,

так как соР| = 0 .

Аналогиино интервал полосовой характеристики д 2((о) = 0)3в — й)3п,

включающий полосу пропускания и обе переходные полосы (верх­ нюю и нижнюю), будет равен соответствующему интервалу (полоса пропускания плюс переходная полоса) характеристики ФНЧ-про­ тотипа:

Д2(о)) = Д2(С|>Я) = 0),,3 — Ш;;| = СОрЗ.

Рассмотренное утверждение называют принципом сохранения нижнечастотного интервала при частотном преобразовании типа ФНЧ—ПФ. Здесь определение «нижнечастотный» напоминает, что •сохраняется длина не любого частотного интервала положительной

полуоси сор, а только длина интервала, имеющего нижнюю гранич­ ную ТОЧКУ <|)Р| = 0.

Геометрическая симметрия характеристик ПФ. Снова обратим­

Поскольку значения четной схемной функции ПФ (например, постоянной рабочего ослабления) при одноименных частотах >нижней и верхней ветвей характеристики всегда одинаковы, то формула (2.28) свидетельствует о. геометрической симметрии характеристик. ПФ.

Например, рабочее ослабление ПФ при (ов = /г а )0 (здесь к — 'произвольный вещественный множитель) имеет такое же значение,

ФНЧ путем рассматриваемого преобразования, то при задании требований к ПФ необходимо обеспечить выполнение геометриче­ ской симметрии граничных частот по отношению к шо.

Например, при заданных граничных частотах полосы пропуска­ ния ПФ 12н = 6 кГц; /2в = 9 кГц и граничной частоте полосы задерживания /з „ = 5 кГц (рис. 2.12) вторую одноименную гранич­ ную частоту полосы задерживания /Зв произвольно задавать уже нельзя (при равенстве нормы рабочего ослабления в верхней к нижней полосах задерживания). Действительно, задание первой

зависимости этих 'функций схемы-прототипа обладают осевой симметрией (симметричны относительно оси ординат).

Постоянная фазы В(а>р), аргумент комплексного сопротивле­

ния Ф2 (о)р) и мнимая часть этого сопротивления х(шр) — это не­ четные *функции частоты шр. Их графики для схемы-прототипа обладают центральной симметрией (симметричны относительно начала координат частотной оси шр). Это обстоятельство необходи­