книги / Применение частотных преобразований в теории цепей

где сопротивления и частоты новой (искомой) схемы помечены штрихами.

2. Находят преобразующие множители элементов схемы: для сопротивления

Эти формулы легко получить, объединив правила обоих преобразований.

3. Осуществляют пересчет элементов схемы, для чего' значения сопротивлений, индуктивностей и емкостей умножают на соответ­ ствующие множители:

Пример 1.3. Известна схема (рис. 1.4) и параметры элементов ФНЧ, имеющего единичное нагрузочное сопротивление (# „ = 1 Ом), единичную ширину полосы пропускания (ш2 = 1 рад/с). и такую характеристику, как на рис. 1.3. Пересчитать параметры схемы для получения нагрузочного

2 . ‘По формулам (1.3) — (1.5) определяем преобразующие множители сопротивления, индуктивности и емкости:

С' = ксС = 50-10-к.0,707 = 35,4 мкФ.

Замечания о терминологии. Наряду с терминами «изменение масштаба частоты» и «изменение уровня сопротивления» в лите­ ратуре по теории цепей получили распространение термины «нор­ мирование частоты» и «нормирование сопротивления».

Нормированием частоты принято называть такое преобразова­ ние, в результате которого какая-^шбо характерная частота схемной

зочному сопротивлению или о схеме с нормированным сопротивле­ нием нагрузки *(или генератора).

Переход от нормированных значений параметров элементов

.схемы и ее характерных частот к любым требуемым называют

денормированием.

Легко заметить, что термины «изменение масштаба частоты» и «изменение уровня сопротивления» являются более общими, поскольку охватывают такие случаи, когда ни одйо из пересчитан­ ных значений элементов или характерных частот не обращается в единицу: например, пересчет схемы с нагрузочным сопротивле­ нием 7?,,= 150 Ом в схему с /?,',= 75 Ом или случай произвольного выбора значения преобразующего множителя частоты в виде целой степени десяти (с целью удобства выполнения расчетов с помощью калькулятора).

Взаключение остановимся на вопросе о размерности параметров элементов нормированных схем.

Всоответствии с (1.1) — (1.5) преобразующие множители со­ противления, частоты и параметров элементов являются безразмер­ ными. Соответственно, размерности параметров элементов.. пере­ считанной схемы остаются такими же, какими были у исходной, а угловые частоты пересчитанной по-прежнему выражаются в радианах

всекунду.

Однако многие авторы записывают денормирующие множители элементов /?,./. и С соответственно как #о; /?о/соо и 1 //?оы0, где #о и (1>о — требуемые значения того сопротивления и угловой частоты, относительно которых была нормирована схема. При таком подходе для получения «правильной» размерности параметров элементов и частоты денорМированной схемы необходимо предположить, что значения 1 и С нормированной схемы являются безразмерными, а угловые частоты* нормированной схемы имеют такую непривычную единицу, как рад/с2.

1.2. МЕТОДЫ СХЕМНОЙ РЕАЛИЗАЦИИ ПЕРЕДАТОЧНОЙ ФУНКЦИИ

Предварительное замечание. Основным и наиболее распростра­ ненным видом преобразований, является частотное преобразование комплексного переменного р в выражениях схемных функций

или Золотарева) решение задачи аппроксимации приводит к характеристической функции ф'2 (со), которая может являться:

линома переменной со независимо от свойств полинома числителя. Анализ показывает, что в случае характеристической функции, удовлетворяющей условиям «а» или «в», схемная реализация

передаточной функции обладает электрической симметрией.

Если же характеристическая функция удовлетворяет условиям «б» или «г», то схемная реализация *передаточной функции будет обладать электрической антиметрией.

Под электрической симметрией здесь и в дальнейшем подразумевается равенство характеристических сопротивлений четырехполюсника со стороны входной и выходной пар выводов

А,(*)= 2с2(*)

или, через элементы А-матрицы в операторной форме,

А(з) = 0(5).

Рис. 1.6. К понятию электрической, топологической и параметрической сим­ метрии и антиметрии (единицы: Ь — Гн; С — Ф; /? — Ом)

Каждое из приведенных соотношений равносильно следующему утверждению: электрически симметричный четырехполюсник — такой, у которого нельзя обнаружить различия во входных и передаточных

характеристиках при взаимной перестановке пары входных и пары

сопротивлений; эта схема, являясь электрически симметричной, топологи­ ческой симметрией не обладает, т. е. не обладает симметричной конфи­ гурацией относительно, вертикальной оси О — О ').

В свою очередь, если электрически симметричная схема одновременно обладает также топологической симметрией, то она не обязана при этом быть симметричной параметрически (т. е. значения' ее элементов, при­ надлежащих симметричным относительно оси 0 0 ' ветвям, могут быть неодинаковыми)*. Примером служит каскадное соединение по принципу согласованности характеристических сопротивлений двух звеньев ФНЧ типа т с неодинаковыми значениями параметра т на рис. 1.6, б, где у пер­ вого звена т —0,6, а у второго т = 0,8.

Электрически антиметричным здесь й в дальнейшем называется четырехполюсник, характеристические сопротивления которого удовлетво­ ряют условию

г с,[$\2„(5)=кг,

где к — положительная вещественная величина.

Через элементы Л-матрицы в операторной форме условие антиметрии выражается следующим образом:

В{з)=С{5)к2.

Электрическая антиметрия может (но не обязательно!) дополняться топологической и параметрической. В последнем случае правая и левая половины схемы нагруженного четырехполюсника, если рассматривать их со стороны выводов, принадлежащих оси антиметрии, представляют собой пару схем, взаимно обратных [11] относительно 'параметра к2. Сказанное поясняется на примере схемы ФНЧ с характеристикой Баттерворта четвертого порядка (рис. 1.6, в), для которой ^ = 1, а ось антиметрии обозначена 0 0 '.

Синтез симметричных и антиметричных схем. Это направление теории реализации основано на использовании специфической формы характеристической, функции таких четырехполюсников, которая позволяет вместо синтеза полной схемы фильтра огра­ ничиться синтезом одной ее половины.

Оно объединяет три метода: понижения степени вспомога­ тельного уравнения [5, 7], ускоренного синтеза [15, 16, 17] и так называемый третий метод синтеза [13, 14].

Сущность ускоренного синтеза заключается в выражении функции входного сопротивления одной половин|>1 нагруженной схемы четырехполюсника непосредственно через значения корней многочлена знаменателя (т. е. через полюсы) операторной пере­ даточной функции и поясняется следующим примером.

Пример 1.4. Методом ускоренного синтеза найдем схему ФНЧ с харак­

гр(5,=7 + 5 5 + 2 5 + 7 '

Она имеет нуль тройной кратности в бесконечности и три полюса с координатами

5 |.з= —0,5±/0,866;‘ 52= —1,0.

С помощью теоремы Виета представим знаменатель передаточной функции в виде произведения элементарных сомножителей. (Так называют линейные двучлены, соответствующие вещественным псуиосам передаточной функции, а также квадратичные трехчлены с вещественными коэффициента­ ми, соответствующие парам комплексно-сопряженных полюсов.) Получаем

^ ^ [(5 5<)(5 5з)](Я $2) [$2+5-М ](5-|- 1)

В соответствии с [15] запись знаменателя передаточной функции нечетного порядка в виде произведения элементарных сомножителей позволяет без каких бы то ни было дополнительных вычислений составить выражение входного сопротивления одной половины нагруженной схемы фильтра:

2»х2(*) = <*’ + * + Ю/(*+1).

Рис. 1.7. Схемы к примеру 1.4 (единицы: 1 — Гн; С — Ф; /? — Ом)

Частотное преобразование <комплексного переменного р. В аппаратуре связи наряду с ФНЧ находят широкое применение фильтры верхних частот (ФВЧ), полосовые (ПФ) и заграждающие или, иначе, режекторные фильтры (ЗФ).

Синтез фильтра каждого из названных типов можно было бы выполнить в той же последовательности, что и синтез ФНЧ, т. е. начиная с решения задачи аппроксимации. Однако такой, казалось

ка получает от генератора максимально возможную мощность. При со—>- оо индуктивность ведет себя подобно обрыву той ветви,

в которую она включена, а емкость — подобно закорачивающей пе­ ремычке, как показано на эквивалентной схеме рис. 1.8,в. Тракт передачи сигнала от генератора к нагрузке оказывается 1 раз

нагрузочном сопротивлении и мощность, получаемая этим сопро­ тивлением, стремятся к нулю.

Рис. 1.8. Переход от схемы ФНЧ к схеме ФВЧ

Следовательно, рассматриваемая схема обладает способностью хорошо передавать мощность (и напряжение) от входа к выходу при достаточно низких частотах и плохо при достаточно высоких,

Рассматривая случаи <о-»-0 и (о->-оо, убеждаемся, что полученная схема при со-»-0 (рис. 1.8,3) ведет себя так же, как и схема на рис. 1.8,а при со-»-со (рис. 1.8,в), т. е. осуществляет подавление вход­ ного напряжения при его передаче к нагрузке.

При ш— оо ,полученная схема ведет себя так же, как первона­ чальная при и)-»-0; т. е. обеспечивает наилучшую передачу мощности от генератора к нагрузке (рис. 1.8,6 и е). Таким образом, рас­ смотренная замена реактивных элементов привела к преобразова­ нию схемы ФНЧ в схему ФВЧ.

Переход к передаточной функции ФВЧ. Обозначим переда­ точную функцию первоначальной (подвергаемой преобразованию)

схемы ФНЧ Т^(з). Очевидно, замена элементов первоначальной схемы приведет к тому, что ее передаточная функция также

нагрузочном сопротивлении 2„ ($) или относительно напряжения на этом сопротивлении, можно перейти к аналитическому выра­ жению рабочей передаточной функции

передаточная функция (з) первоначальной ■схемы. Для обосно­ вания этого способа рассмотрим изображенную на. рис. 1.9\а схему двухполюсника из элементов А|, Я|, С\.. Формула опера­ торного сопротивления этого двухполюсника имеет вид

где единицу в числителе правой части следует рассматривать как коэффициент, имеющий размерность (рад/с)-2 .

Схема преобразованного таким образом двухполюсника пока­ зана на рис. 1.9,6. Формула его операторного сопротивления имеет вид

Сравнивая правую часть этого равенства с (1.6), замечаем, что операторное сопротивление второго двухполюсника можно было получить непосредственно из фор­ мулы сопротивления первого, заменив переменное 5 выражением