книги / Теория упругости. Ч. 1 Основные уравнения механики сплошных сред. Вариационные методы
.pdf- 51 -
нового всестороннего очень высокого давления. И наоборот, эти тела разрушаются прк сравнительно невысоких напряжениях, изменяю щих форму тела (сдвиговые напряжения или разные по знаку нормаль ные яапрнкэнзя, действующие на пары граней параллелепипеда). .
2 связи с этим, чтобы судить о прочности, необходимо йз об щей деформации тела выделить особо компоненты, связанные с изменеииеа обьеыа и формы (скалывающая, девиаторная деформация). Та ксе выделение удобно для ревения вопросов прочности и необходимо для наглядного описания законов деформирования сложно-напряжен ного тела."
Введен понятие среднего |
Напряжения |
|
|
= |
= |
• |
(2.27) |
Девиатор - это такой тензор, у которого.линейный инвариант равен нулю, т.е. J r =0 . Любой тензор можно разложить на девиатор и шаровой тензор, у которого корни <з, =•<s2 = <з^- s co :
G. . |
Л |
' З |
|
=<9 • |
Л |
(2.28) |
||
V |
|
|
||||||
|
|
|
||||||
Тензор. -2, “ Дебитор, |
поскольку |
|
|
|
||||
|
А < ’ А ' А ; - А , |
|
- о . : - 3- 0. |
|||||
lupaxeaae (2.26) |
ыохао |
запасать так: |
|
|
||||
|
|
|
^ |
o . |
0 |
|
G?r' Gcp |
&,2 |
& t |
e 3z <s23 ■ |
- |
0 |
% |
0 |
+ |
|
S£S |
|
|
|||||||
QSi |
&J2 ^33 . |
|
0 |
GcP |
|
|
|
|
Ила |
|
|
|
|
|
|
|
(2.29) |
гДв |
- шаровой тензор' напряжений, |
характеризующий напря |
||||||
|
женное |
состояние |
элементарного обьема_(воесторон- |
|||||
нее давление или гидростатическое давление и растя жение);
-52 -
-тензор-девиатор, характеризующий напряженное состояние элементарного объема (изменение формы).
Представление тензора напряжений в форме (2с?-8), (2.29) имеет большое значение при исследовании под нагрузкой поведения не только упругих, но и пластннескнх тел. Из (2,29) следует, что корни характеристического уравнения <s/rGj,Sj представляю? диаго нальные компоненты (единственные, отличные от нуля) тензора з системе главных осей; они и дают главные (собственные) зиач-з^щ тензора.
Любому вектору а можно однозначно сопоставить плоскость
вида (d-r)=at..tfi= / в том смысле, что трм компоненты вектора
полностью определяют положение этой плоскости в любой системе ко ординат. По аналогии любому симметричному тензору <5^- ы о ш ю однозначно оопоставить поверхность второго порядка веда
|
ба, |
‘лгу = f. - |
Компоненты тензора |
однозначно определяются этой поверхностью |
|
в любой системе координат. Эта поверхность носит названые тэпзорной (см. рис. 2.4.). Если ег,е3,<% положительны (случай, наЕбодее важный в приложениях), то тензорная поверхность представляет со
бой эллипсоид, а - р ,-р- |
, -р - |
- отрезки, |
отсекаемые на |
л & |
J€ |
|
, тензорный |
главных осях тензорной поверхностью. Если |
|||
эллипсоид является эллипсоидом вращения. ‘При <s-, |
тензор |
||
ный эллипсоид - это иар.
При решении задачи Ляме для упругой прямоугольной призмы. Фйлоненко-Бородич предложил тензор . представить в виде суммы
основного и корректирующего. Первый из них удовлетворяет урав нении равновесия и заданным граничным условиям, второй - только уравнениям равновесия.
§2.7. Главные касательные напряжения. Интенсивности напряжений
Для заданной точки примем за направления главных напряжений направления координатных осой Около точки вы
режем алеыентарный тетраэдр; на наклонную площадку его пусть
- 53 -
действус.о напряжение Д у в Разложим его ва компоненты p iv в спроек тируем на нормаль ^ : получал значение нормального напряжения ва наклонной площадке:
Ь |
(2.30). |
Тогда касательное напряжение по той же площадке |
|
Т * - f l , * -.<3$. |
(2.31) |
Исследование касательных напряжений показало, что по пло щадкам параллелепипедаi совпадающим с плоскостями координат (главные Площадки), касательные напряжения обращаются в нуль. До площадкам,, проходящим через одну из трех главных осей н делясш! угод между двумя другим! пополам (всего 3-пары взаимно-пер
пендикулярных площадок), действуют главные касательные напряжения. На Каидой пэ этих пар площадок касательные напряжения одинаковы и представляют собой наибольшее напряжение для определенной груп пыплощадок, получающейся вращением плоскости вокруг одной из главных осей (рис, 2 .5 ). Максимальное напряжение равно полуразности двух главных напряжений:
Рис. 2.5
- 54 -
Точки, для которых максимальное касательное напряженке язлязтся постоянной величиной, располагаются по изохроматическаи лкнчяы при фотоупругом методе исследования напряжений и, следовао-елько, такие тонки могут быть заданы уравнением ^ const,
Площадки, подверженные действию касательных напряжений, наг ружены также нормальными напряжениями, равными полусуммам соот ветствующих главных напряжений:
?&/'<$)■' J < % -'■$>•?& ' Ъ ) .
Если величины <=п <52 ,<з3 подчинены неравенству <?,'><?, ? наибольшее касательное напряжение
Г |
= г |
= — |
(G. -<?,). |
|
сп->ах |
я |
2 |
1 |
- - |
(2.35)
,то
(2.54)
Рассмотрим площадку элементарного тетраэдра, которая равнонаклонеиа к главным плоскостям, У этой площадки, по-впдшому,
J t " |
е, »е, |
|
|
|
Согласно формулам (2.13) |
имеем |
|
|
|
|
|
'°jt> |
sG> /7- |
(2.3G) |
Тогда полное напряжение на октаэдрической площадке |
|
|||
2 • -г |
f/ / 2 |
2 , |
2 ) |
(2.37) |
|
|
|
|
|
По формулам (2.7) три известных 4 |
найдем |
|
|
|
■ - М |
- |
|
|
(2.38) |
т.е. нормальное напряжение, на октаэдрической площадке равняется среднему нормальному напряжению доя данной точки. Для касатель ного напряжения на октаэдрической площадке имеем согласно (2,31)
2 |
/ |
/ 2 |
2 |
2 ' / / |
\ |
(2.39)- |
|
* J |
( * , |
f |
|
* * , ) |
|
|
|
|
- 55 -
Отсюда i.эсло раскрытия скобок и преобразований найдем
|
|
|
* j |
|
( в 2 |
-< % |
)* + f a |
- е , У • (2.40) |
|
Октаэдрическое касательное напряжение можно записать через ин |
|||||||||
варианты тензора напряжении: |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
ZOKT =JT {[? М Г 1 |
~ j [ j ( e ) ^ ] j . |
(2.41) |
||||
Или с учетом формул (2.24)* (2.25) шеей |
|
|
|||||||
W |
■ |
/ |
/ |
( |
% |
|
- |
г£)\ (2.«) |
|
Иногда вводят понятие |
интенсивности напряжений и интенсивности |
||||||||
сдвиговые напряжений: |
|
|
|
|
|
|
|||
б-.=-/.3J2 (£6); Л |
|
|
|
|
|
-в,)*; (2ЛЗ) |
|||
Г - A |
W |
; |
|
^ е , - ъ ) * + ( * л - е л)*+ С е /- < * ,У . |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(2.44) |
Для частного случая одноосного растяжения |
(<=>-sv <?;*= - <20 из |
||||||||
формулы (2.43) |
имеем |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
6J ®сг. |
|
|
|
(2.45) |
|
Следовательно, коэффициент |
пропорциональности |
в формуле (2.43) |
|||||||
выбран таким образом, |
чтобы в^простейтем случае одноосного растя |
||||||||
жения |
&£- |
совпадала с <зг |
• |
|
|
|
|
||
В случае чистого сдвига (<s>= г; |
~0; <^--г)и8 формулы (2.44) |
||||||||
устанавливаем, |
что интенсивность Г |
совпадает с величиной наиболь- |
|||||||
иего касательного напряжения: |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
т * |
г . |
|
|
(2.46) |
- 56 -
§2.8 , Уравнения движения
иравновесия сплошной среды
Для составления уравнений движения абсолютно твердого тела необходиио и достаточно приравнять к нулю главный вектор и глав ный момент действующих на него внешних сил и сил инерции. Мыс ленно вырежеи внутри тела объем oLV^ ограниченный_поверхностью^^. Главный вектор и главный момент объемных силj > F d V , действую
щих на элемент объема ЫУ ', сил инерцииj> W d V |
f приложенных |
к этому элементу в случае динамической нагрузки, |
и Поверхност |
ных сил /буa fj, расположенных на поверхности d |
j } должны равнять |
||
ся нулю, Т.6. |
|
|
|
J J J j > ( F - W ) d V t J J 'f i llds*O l |
|
(2.47) |
|
V |
S |
|
|
/ J J [ r X j p ( F - w ) ] d V ^ J J (d x p y)d3= O f |
(2,48) |
||
v |
/ |
|
|
здесь J ) F - объемная сила, действующая на единицу объема; |
|
||
W - ускорение центра инерции объема d V |
; |
|
|
п - радиус-вектор |
точки приложения силы относительно |
||
произвольно выбранного начала координат; /5, - поверхностная сила, отнесенная к единице площади
поверхности.
В декартовой системе координат компоненты вектора напряже ний Pi) записываются согласно (2 .1 2 ):
=п к *
Учитывая это и формулу Гаусса-Остроградского
V |
* |
(2.49) |
|
||
поверхностному интегралу в |
(2.47) придадим вид |
|
i 5 A y ° b = S f f % x d l/. |
(2.50) |
|
Здесь учтено, что в декартовой прямоугольной системе координат символы Кристоффеля обращаются в нуль и ковариантные производ ные вектора и тензора напряжений совпадают с физическими компо нентами.
Подставив (2.50) в (2.47), получим
- 57 -
SSSty>(^'w ^ ^ * * } ^ ma (г-51)
у
Отсюда в силу непрерывности подынтегральной функции и произволь ности объема V следует, что подынтегральная функция должна об ращаться в нуль в каждой точке тела
« W V ' F V ’K - - |
t2-52» |
Если тело находится в равновесии, то ускорение элемента |
d V |
будет равно нулю и уравнения приму® вид |
|
<^,л- |
(2*53) |
Эти уравнения, связывающие изменение компонентов тензора напря жений с массовыми силами в любой точке, внутри тела, называются уравнениями движения (уравнения 2.52) или равновесия (уравнения 2.53) деформируемого тела. Б уравнения входят девять компонентов тензора напряжений; они являются неоднородными уравнениями перво го порядка в частных производных. Уравнения движения иногда за писывают так:
|
d X j |
JDF£ =J > w d , |
(2.54) |
|
|
|
|
в расписанной по компонентам |
|
||
OSxx |
Эел |
|
|
~д* |
д у |
|
|
d&j/ic ^ дбУу |
|
(2.55) |
|
|
|
||
Э х |
д у |
дь! |
|
Э х |
|
Э г |
d t 2 |
Уравнения движения можно вывести из условия равновесия элементар ного объема d V ,. нагруженного силами <з>,е л . V - ^ ^ d x , ж т.д.
Смысл этих представлений таков: допускаем функции напряжений раз ложимыми в ряд Тейлора, но отбрасываем члены второго и высшего по рядка малости:
- 58 -
/2 ^
&х ( к * о 1 х ,у Ы у ,г Ы г ) ^ <?x ( x , y , * ) ' Z j r ( ^ d ;'
(2.55')
ds)^ A (*,y,c?) +Ra (остаточный ч//пн).
O U |
- UdS |
/ |
Заметим, чтоусловия на поверхности и уравнения двимения (рав новесия) могут быть получены из вариационного начала Лагранжа.
Уравнения движения могут быть записаны и в следующем виде:
|
+ J * * = J > K > |
(2.56) |
где р к = in G~Kn |
- вектор напряжения на коордиаатной площад |
|
ке хк = const.
Из уравнения (2.48) следует, что тензор напряжений симме тричен *в каждой точке тела.
ГЛАВА 3. ТЕНЗОР ДЕФОРМАЦИЙ
Точка М(х£) в результате деформирования переходит в точку M '(x-)f
где х ’- - координаты точки М по отношении к неподвижной декар
товой системе координат
“i \х! * “!(* * )•
Величины х к остаются в качестве индивидуальной характеристики ыатериальной точки, занимавшей положение М до деформации я меняющей свое положение в пространстве, поэтому их можно рассма
тривать |
как криволинейные координаты в деформированном теле. |
|
Тройная |
ортогональная свода прямых координатных линий связывает |
|
ся с телом и деформируется вместе с ним. |
||
Положим |
' |
|
|
* i - xi |
шЦ ( х к ) . |
Вектор й называется вектором смещения, его компоненты Щ являют
ся непрерывными функциями точки |
• Пусть d s - элемент |
дуги-до деформации, d s ' - длина этого же |
элемента после дефориа- |
ции.. Тогда |
|
d s |
(ЗЛ) |
|
где £ - относительная деформация. Будем считать, что <f«/. Квадрат элемента дуги в декартовых координатах выражается сле дующим образом:
o ls 2 = |
d x t d x j - c lx i d x i . |
(3.2) |
- 6b -
Элемент дуги после деформации |
|
|
|
d s'*= dx[ dx£ = (dx. + du-X^X; |
d i . J = |
|
= d s * + 2 d x ;d u i * dis- d u £ . |
(3»5) |
Ho |
|
|
|
duc - u i{/d x - f |
|
поэтому |
dxi du- = uLjd x i d x j. |
|
Для |
вычисления произведения du^du- залетим, что d u d u L =duKd u K , |
du^=uK .dxi =UKjd xy . Следовательно, |
|
dl/;du> = UKi LfKj d ^ d x j . |
|
Таким образом, |
|
d s ^ - d s ^ l i u y t u ^ u ^ d ^ d x j . |
(3.*) |
Первый член в квадратной скобке представляет собой компоненту несимметричного тензора и£j , второй член - компоненту симнетричного тензора. Квадратичная форма Л; Ху , где А£у - несим метричный тензор, не изменится, еслигензор А£у заменить его симметричной частью:
\ j * i * r i ( Av *A» h * r |
( 3 * 5 ) |
Действительно, член, содержащий множителем xf, ^ |
, например, |
будет фигурировать в выражении квадратичной формы два раза: один
раз, когда |
£ *1, j =2, и другой раз, когда |
£ =2, у =1. Следо |
вательно, в |
состав квадратичной фбрмн войдет выражение (Аг2 +А2Г) * |
|
* х ,х 2 %что и доказывает отмеченное тождество. Позтому мы мо |
||
жем записать |
|
|
|
d s,i - d s 2 -2 £ ij d x l dxy , |
(З.б) |
Симметричный тенвор деформации |
|
|
|
%■ * 1 f"v |
(3.7) |