книги / Теория упругости. Ч. 1 Основные уравнения механики сплошных сред. Вариационные методы
.pdf- 81
Сг С ^ * ^ з ) ,
(4.40)
Если потребовать сохранения свойотв (кднстант) кубически симме тричного тела при повороте системы Х6- , отличном от рассматри ваемых выше, то получится еце одно соотношение между С/гСг , ^ :
С, -С2 -2Cj ^
т.е. тензор упругих постоянных в любых ортогональных координа тах будет иметь вид (4.40), причем
J i = C2 G = C3 .
Отметин, что число упругих констант сокращается лишь тог да, когда плоскости симметрии приняты эа координатные плоскости.
ГЛАВА 5. МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ
§ 5.1. Задачи теории упругости" |
|
Искомыми в теории упругости являются S - ,€ f и г |
, т.е. нас |
могут интересовать в каждой точке 15 компонентов. Очевидно, что для ранении такой задачи мы должны иметь 15 уравнений
< V y V ' ? V ^ '
(5.1)
и особые уравнения - граничные условия для любой точки, располо женной у поверхности тела. Именно этим комплексом уравнений и располагает теория упругости. Правда,в некоторых динамических задачах теории упругоотж и особенно в теории пластичности, под8jчести нас могут интересовать составляете скоростей 6*^ й . . В таких случаях количество исходных уравнений должно быть боль но 15.
Обычно предполагается, что на поверхности упругого тела аадаш нагрузки и даны объемные оиды - статические граничные уоловия, требуется найти .'Сформулированная та ким образом задача называется первой основной Задачей теории упру гости.
В отдельных случаях исходными данными^, задаче могут быть не статические, а кинематические граничнМе условия,, т.е. на по верхности тела задаются компоненты смещения, и} ..Требуется найти GQ -, Ц я, моКот быть, . Сформулированная задача назы вается второй основной задачей теории упругости.
- 83 - Могут быть случаи, когда задаются смешанные граничные усло
вия, т.е. на одной части поверхности задаются ь: , на другой -
Piv • Эта задача называется смешанной задачей теории упругости.
Во всех указанных случаях имеем дело с прямой задачей теории упругости в разных вариантах. Обратной' задачей теории упругости называют такую, когда по некоторым известным функциям напряжений или деформаций, справедливым во всей области тела, ищут или нагруз ку на поверхности тела, или перемещения (деформации), которым со
ответствуют |
заданные или известные функции.. Обратная задача тоже |
||
может |
иметь |
несколько вариантов. |
|
|
Таким |
образом, прямая задача означает, что по заданным/>сУ |
|
и ut- |
на |
s |
нужно определить <si ,-,£ L,,и с ; обратная - по заданным |
полям |
|
установить условия на поверхности Pti/ и ие- на^. |
|
|
Три |
группы уравнений (5.1) можно решать разными путями, в |
|
зависимости от того, что |
нас интересует в первую-очередь. Решать |
их ыоано в перемещениях, |
в этой случае вся система уравнений |
(5.1) сводитЪя к трен уравнениям относительно ис (метод пере |
|
мещений) . Можно решать их в напряжениях, в этом случае система (5.1) будет, очевидно, сведена к тести уравнениям (метод сил). И, наконец, решение можно вести смешанным методом, когда за ос
новные неизвестные приняты некоторые из перемещений.и напряжений. По-видимому, решение задачи в перемещениях проще, так как в
этом случав меньше число неизвестных и приходится иметь дело с меньшим числом уравнений. Разыскав ц£ус помощью геометрических
уравнений определяем £ cj |
и далее |
из физических уравнений |
устанавливаем |
|
|
Отметим, что система |
(5.1) и условия сплошности получены |
|
в предположении весьма малых деформаций. Уравнения равновесия,, выведенные для недефорыированного состояния тела, могут считать ся справедливыми также лишь в случае весьма малых деформаций.
Кожно рассмотреть несколько способов решения подученной системы уравнений (5.1):
I. Точное решение прямой задачи, т.е. непосредственное ин тегрирование конечных уравнений метода перемещений или метода см. однако в этом случае трудно удовлетворить граничным усло виям. -
'2. Решение пряной задачи на основании нескольких решений
- 84 -
обратных задач, кахдан из которых соответствует своим граничным условиям. Поскольку решение обратной задачи является более прос-"
тым, то |
находя такие решения и комбинируя их, можно получить |
решение |
для некоторых прямых задач. |
3. |
Решение прямой задачи полуобратным методом Сен-Венана. |
Согласно этому методу частично задаются одновременно и <зг£у , затем при помощи уравнений теории упругости находятся оставшиеся u i и б~у ..Этим методом можно получить полное и точное реше
ние большого числа задач.
4..Кетод последовательных приближений, который применяет ся для облегчения техники решения некоторых уравнений теории упругости. Одна из эффективных разновидностей этого способа - использование в качестве нулевого приближения результатов, поду ченных, например, методами сопромата. Эти решения подставляются
вуравнения теории упругости, а затем корректируются, что при водит к удовлетворительному для практики решению.
5.Вариационные методы. (Они будут рассматриваться дальше.)
6.Численные методы решения системы основных уравнений тео рии упругости. Существует большое количество подходов при реше
нии задач этими мётодами. Основная идея многих численных методов решения заключается в тон, что дифференциальные соотношения
можно'приближенно заменить конечно-разностными соотношениями. 7. Метод решения трехмерных задач, теории упругости путем
сведения их к плоским. К плоской задаче теории упругости приме нимы все описанные выше методы решения и можно использовать дру гие, более эффективные. Например, широкое применение получил ме тод конформных отображений и его видоизменения.
В последнее время, в связи с развитием ЭВН очень часто ис пользуются численные методы решения задач теории упругости {их модификации - матричный метод, метод сеток, метод конечного эле мента, метод локальных вариаций, метод наискорейшего спуска и т.д.).
§ 5.2. Уравнения теории упругости
в перемещениях |
|
|
В этом методе за основные принимаются |
перемещения |
. Подставим |
геометрические уравнения в физические, |
получим |
|
- 85 - |
|
* G ( UW +uS ‘ J * A ed bV' |
(5.2) |
где
J fc ), -•*%* a £ u -
Продифференцируем уравнения (5 .Z ):
(5.5)
дх< |
V<3*i ■ #*i(dx/ A ? / |
Теперь подставим выражения этих частных производных в уравнения равновесия:
(^ +G) - ^ +GAUC
или |
|
|
|
(J\ + G )e |
+ З л и - + p £ = •* l |
|
|
В векторной форме это уравнение запишется так: |
|
||
(Л+G) уalivи + GA U +J>(F- W )=0. |
(5.5) |
||
Уравнения (5 А ) и (5.5) называются уравнениями Ляне. |
|
||
В развернутом виде они записываются |
следующим образом: |
||
(Л +Gу). + Gv и +jzX— |
|
|
|
|
d t* |
|
|
|
|
|
(5.6) |
(я , G) i £ |
х |
. |
|
Э м уравнения представляют синтез учений о напряжениях, дефор мациях и зависимости между ними. Следовательно,эти уравнения заключают в себе все те предпосылки механического,, геометричес кого и чисто физического характера, на которых основывается теоркя упругости.
- 86 -
Действительно, она выражают условия равновесия какдого эл ем е нта т е л а (е с л и
правые части их равны нулю) или являются "р авн ен иям и движения
этого |
элемента; |
|
|
|
|
содержат геометрические характеристика деформаций |
и |
||
|
содержат физические факторы Л, G,j>Tхарактеризующие упру |
|||
гие свойства и плотность тела* |
|
|
||
|
Поэтому уравнения Ляме играют огромную роль в |
теор и и |
упру |
|
гости ,так как с их помощьюможно решать ряд ваяны х |
задач. |
|
||
|
В случае упругого равновесия н при равенстве нулю объемных |
|||
сил, |
уравнения (5Л) |
и (5.5) примут вид |
|
|
|
( Л |
+ G ) 0 f . + G V 2U L = 0 ; |
(5.7) |
|
|
+G)ydiviJ + вдй^О. |
(5.8) |
||
Для рёиевия краевой задачи теории упругости граничные условия
Кони тоже записываются через |
компоненты |
смещения U; |
% |
|
|
|
(5.9) |
или в развернутом виде:' |
|
|
|
|
<%/ |
|
|
|
|
д и Г п ) , |
(5.10) |
|
|
г х |
|
Продифференцируен (5.7) по* |
и сложим |
по индексу i |
, получи |
(Л + 2 в )л в = 0 , |
|
( 5.п ) |
|
откуда |
|
|
|
д в = 0 . |
|
(5.12) |
|
Таким образом, в случав отсутствия массовых сил относительная объемная деформация является гармонической функцией. Далее, дей ствуя оператором А на обе части,(5.7), получим
|
- 87 |
|
( * |
/<9*г а в * GA A U £ = 0 - |
(5 .1 3 ) |
Учитывая, что д б - 0 |
, будем иметь |
|
|
д д и 6 = 0 , |
(5.14) |
т.е. компоненты вектора перемещения являются бигармонической функцией.
Из закона Гука для объемного деформирования |
||
9 4 > '( л |
+ у |
(5.15) |
ф . |
||
следует, что бСр = т а к ж е |
является гармонической функцией. |
|
Действуя теперь оператором ДА |
на обе чаотк каждой из формул |
|
обобщенного закона Гука для маотропного и однородного тела и |
||
учитывая (5.12) и (5.14), приходим |
к выводу, что компоненты <3^у |
|
тапке бигармоничёские функции. |
|
|
Однако не следует думать, |
что задача теории упругооти мо |
|
нет быть сведена к интегрированию уравнений (5.12) или (5.14).
Величина |
в никогда не бывает задана на границе. Для определе |
|||
ния' бигармонической функции |
и с на границе нужно задать два |
|||
условия, |
. |
— |
например, иавеотнм |
дц,- |
т.е. должны быть, |
я ^ £ » |
|||
тогда как для ревення системы (5.7) в каждой точке поверхности достаточно знать . Если в качестве взять три любые бигармонические функции, принимающие, заданные значения на гра нице, то они не будут удовлетворять уравнением (5*7).
§ 5.5. Уравнения_теории упругости в напряжениях
Если принять за неизвестные составляющие тензора напряжений^*,
то для их определения трех уравнений равновесия оказывается недостаточно. Выпиием 'эти уравнения, положив объемные силы рав ными нулю:
(5 .1 6 )
- 88 -
Недостатке уравнения можно было бы подучить, выразив деформа ции через <scj и подставив подученные выражения в тождества Сен-Венана. Однако пойдем бодее простым путем. Перепишем урав нения Ляме в виде
|
|
Я +G |
|
(5.17) |
|
|
|
|
|
|
|
Образуем теперь комбинации |
|
|
|
|
|
Л 6, |
|
|
|
|
<5Л8) |
С.другой отороны,жз уравнения |
(4.8) следует |
||||
‘V |
2 6 |
|
* |
2 6 |
(5.19) |
|
|
||||
тогда согласно (5,12) А8 - 0 , |
|
|
|
|
|
ае‘/ |
=Ш |
|
а % |
’ |
(5.20) |
|
|
||||
Внося это в (5.18), подучим |
|
|
|
|
|
А<31;+ 2 (Л |
+ б )в 1с^ 0 . |
(5.21) |
|||
Теперь эамевим 8 через |
&ср |
согласно |
(5~.15). Окончательно |
||
имеем |
|
|
|
|
|
,6(Л *6)
AGV * 2Л +3G |
~ 0 , |
(5.22) |
|
||
|
|
(5.23) |
Распнем эт* уравнения по компонентам:
( V > V < z ^ = л
(5 .2 4 )
- 89 -
где
В такой виде, когдаj p f = 0 ,• уравнения были получены Бельтрами. Они пригодны только в случае упругого равновесия. Митчел вывел уравнения для общего случая, когда объемные силы не постоянны. Поэтому уравнения (5.24) называются тождествами Бельтрами - Митчела.
То обстоятельство, что эти уравнения применимы только при отсутствии объемных, сил, не уменьшает их практического значения, так как в технических приложениях обычно можно рассматривать
только поверхностную нагрузку. Наряду с выполнением тождеств Бельтрами - Митчела должны выполняться уравнения равновесия. Это ясно из следующего цримера. Пуоть напряжения - линейные функции координат. Каковы бы ни были коэффициенты этих линейных функций, уравнения (5.24) всегда будут выполнены, тогда как уравнения рав новесия устанавливают определенную связь между этими коэффициен тами.
§5.4. Единственность решения уравнений теории упругости
Доказательство существования решения указанных задач является трудной проблемой жатаиалиаа. В настоящее время разрешимость всех краевых задач теории упругооти установлена при весьма об щих условиях. Принимая существование решений упомянутых задач,
докажем их |
единственность. |
|
|
|
|
|
Допустим, что |
при дейотвии поверхностных оил. Д, и объем |
|||||
ных р Р |
имеют меото два решения: |
|
|
|
||
|
е |
. ■ и . |
V |
V |
и* ' |
(5.25) |
|
|
|
||||
О ч е в и д н о ,- ч т о р а в н о е » и п р е ш е н а *
- п о
может быть принята в качестве решения некоторой задачи теории упругости и к этому ранению можно применить равенство (4.19), которое представляет собойобобщение формулы Клапейрона..
Теорема Клапейрона подучена из условия, что линейно-упру гое _телопод действием поверхностной силы и объемной силы находится в состоянии покоя. Работа этих сил на перемеще
ниях и ; будет следующей:
|
|
|
|
|
|
<5 -27) |
Внося сюда р 9к =г& |
У/2^ |
и преобразуя поверхностный |
интеграл |
|||
в |
объемный, будем |
иметь |
|
|
|
|
|
" |
# |
[ ( |
& |
|
(5-28) |
В |
сяду уравнений равновеоия и |
6^- = |
%получим |
|
||
|
|
|
А=1 1 К „ Г „ г М |
|
(5-29) |
|
Таким образом, если процесс деформирования идет адиабатически иди изотермически, то
f f f t ld V » - § - - |
(5.30) |
Из равенства (5*50) следует, что работа упругой деформации равна половине работа внеинмх статически приложенных сил на перемещениях u t . Это положение носит название теоремы Клапейрона. В развернутом виде формула Клапейрона имеет вид
f f f adV=^[fff^J>F*“ +J>§vy>$ur)dlV+ff(p„,v+
i |
* , |
(3*3I) |
+ p</v v * P jn u f ) d s j - ц |
* 1 |
A . |
Согласно формуле (5.30) разность ревений (5.26), удовлет-
массовигНс м 1Л т ^ аВНвВИЯМ с т и ш | Упругого тела, при отсутствии массовых сил будет удовлетворять условию
f f p ^ d s ^ / f f a d V |
( 5.32) |
s |
V |