книги / Пьезокомпозиты и датчики в 3 ч. Ч. 1 Статистическая механика пьезокомпозитов

ячейками: коррелированными полидисперсными (см. рис. 1.18, б) (случайное взаимное расположение центров сечений волокон которых совпадает с расположением центров сечений волокон в начальной полидисперсной структуре III, (см. рис. 1.18, а) или монодисперсными (с квазипериодическим расположением в узлах гексагональной решетки, см. рис. 1.18, г) составными ячейками заполнено некоррелированными по размерам и взаимному расположению такими же, но, например, бесконечно малыми составными ячейками. Величины, относящиеся к коррелированным полидисперсным структурам (см. рис. 1.18, б, г), обозначим верхним индексом « I' ».

Радиусы «привязанных» составных ячеек в коррелированных полидисперсных структурах (см. рис. 1.18, б, г) попарно совпада-

в г

Рис. 1.18. Фрагменты реализаций коррелированных полидисперсных структур III (а) и I’ (б), квазипериодических монодисперсной (в)

и коррелированной полидисперсной I’ (г) структур

61

Квазипериодическая полидисперсная структура (рис. 1.18, г) образована внесением корреляций или «привязок» к заданной монодисперсной квазипериодической структуре. Считаем, что в поперечной плоскости изотропии над каждым круговым сечением волокна радиуса r монодисперсной квазипериодической структу-

ры мысленно расположено концентрическое круговое сечение волокна радиуса r I' некоторой составной ячейки с внешним радиу-

сом RI' полидисперсной структуры; центр каждой гексагональной

ячейки с волокном квазипериодической монодисперсной структуры совпадает с центром соответствующей составной ячейки полидисперсной структуры. Так как в заданной квазипериодической монодисперсной структуре радиусы всех волокон одинаковые и равны r , поэтому в «привязанных» к ним волокнах полидисперс-

ной структуры радиусы тоже считаем одинаковыми и равными r I' и в общем – r rI' . В полидисперсной структуре пространство

между привязанными квазипериодическими монодисперсными составными ячейками заполнено такими же по строению, но полидисперсными, например, бесконечно малыми однотипными ячейками с волокном.

Коэффициенты корреляции периодической, квазипериодической и полидисперсных структур. Определим коэффициен-

ты корреляции различных пар: квазипериодических монодисперсной (см. рис. 1.18, а) и полидисперсной (см. рис. 1.18, б), монодисперсных квазипериодической и периодической, периодических монодисперсной и полидисперсной случайных структур.

Рассмотрим расчет коэффициента корреляции p1 квазипери-

одических монодисперсной и полидисперсной структур. Коэффициент корреляции

iI'/i/

p1 = 1I' 1 (1.106)

1 1

62

случайных статистически однородных индикаторных функций 1-й фазы (волокон) двухфазных квазипериодических монодисперсной

через одноточечный начальный смешанный момент v11 , где пуль-

ного случая, когда полидисперсная некоррелированная структура произвольным образом «накладывается» на монодисперсную ква-

зипериодическую структуру имеем v11 = v12 , p1 = 0 .

Из формулы для объемной доли волокон в монодисперсной квазипериодической структуре

следует, что радиус вписанной в гексагональную ячейку окружности

Объемная доля волокон в монодисперсной квазипериодической структуре (1.109) равна объемной доле волокон в полидис-

персной структуре и в каждой ее составной ячейке v1 = (rI' / RI' )2 , где внутренний r I' и внешний RI' радиусы однотипной составной ячейки полидисперсной структуры. Минимальная гарантированная

63

прослойка между волокнами в монодисперсной квазипериодической структуре

Из условия статистической независимости реализаций структуры в различных, в частности, соседних гексагональных ячейках квазипериодической структуры следует требование невыхода точек составной ячейки за границу своей привязанной гексагональной ячейки, т.е. внешний радиус соответствующей привязанной ячейки

RI' rmax :

симально возможная объемная доля волокон при гексагональной

Из формулы (1.112) следует, что всегда rI' r при требовании

RI' rmax .

В частных случаях (1.112):

ние фиксированной относительной толщины ' = / r минималь-

ной гарантированной прослойки между волокнами в монодисперсной квазипериодической структуре; в частном случае, когда = 0,

имеем p1 = 0 (1.114). При постоянстве прослойки при варьировании объемной доли волокон v1 (0;v1max ) вероятность наличия монодисперсных волокон квазипериодической структуры в узлах

Из формулы (1.113) видно, что максимальное значение коэффициент корреляции p1 принимает при наибольшем допусти-

мом значении параметра

(1.116) следует, что относительный радиус привязанного волокна полидисперсной структуры x 0,906 и коэффициент корреляции

квазипериодических монодисперсной и полидисперсной связанных структур

p1 0,49. (1.117)

Отметим, что минимальная гарантированная прослойка между волокнами для квазипериодической монодисперсной структуры (1.111) в рассматриваемом случае 0,248r .

Для сравнения рассчитаем коэффициент корреляции p2 связанных монодисперсных квазипериодической ( p (0;1)) и привя-

65

занной периодической ( p =1) структур; центры и границы ячеек

обеих структур совпадают. Радиусы круговых сечений волокон для квазипериодической структуры

и для идеальной периодической структуры

с учетом формул (1.109), (1.110) и равенства объемных долей волокон v1p = v1 в обеих структурах

Аналогично формулам (1.118) – (1.122) рассчитаем коэффициент корреляции p3 связанных периодических монодисперсной и

полидисперсной структур. Радиусы круговых сечений связанных волокон для периодических полидисперсной

структур с учетом выражений (1.109), (1.110) и равенства объемных долей волокон v1p = v1 в обеих структурах

66

структур имеют значения: 0,49 для квазипериодических монодисперсной и полидисперсной (1.117), 0,73 для монодисперсных квазипериодической и периодической (1.122) и также для периодических монодисперсной и полидисперсной (1.127). Отметим, что численное значение коэффициента корреляции p 0,5 (1.102) хо-

рошо согласуется со значением 0,49, найденным из условия наилучшей полидисперсной аппроксимации корреляционной функции реальной структуры (1.117), и со значением для «приведенного коэффициента корреляции» p• = p2 p3 0,53 [55].

Двухточечная корреляционная функция квазипериодической полидисперсной структуры. Рассмотрим вычисление

нормированной двухточечной корреляционной функции k11I' (ρ) (1.67) индикаторной функции 1-й фазы i1I' (r) (1.107) для двухфаз-

ной квазипериодической полидисперсной структуры (рис. 1.18, б) в представительной области V, где вектор ρ (1.52), дисперсия D11

(1.15), начальное значение k11I' (0) =1. Считаем, что в формуле (1.67) точки: r V , r1 V , где V – область рассматриваемой составной цилиндрической ячейки с радиусом кругового поперечного сечения

67

волокна r в представительной области V полидисперсной структуры. Нормированная корреляционная функция k11I' (ρ) (1.67) рас-

считывается (1.73) через условную вероятность PI' (r,r ) – вероят-

11 1

ность появления в точке r1 V 1-й фазы полидисперсной структуры при условии, что точка r V 1 находится 1-й фазе V 1 V рассматриваемой составной цилиндрической ячейки V . Так как вероятность попадания точки r V в 1-ю фазу составной ячейки V равна объемной доле v1 1-й фазы в этой ячейке, поэтому двух-

/Rp

в

Рис. 1.19. Нормированные корреляционные функции традиционных полидисперсных (а), квазипериодических полидисперсных (б), квазипериодических и периодической (в) структур

68

Для монодисперсных периодической и квазипериодических структур точки: r V p , r1 V , где V p – область ячейки перио-

дичности или квазипериодичности этих структур. На рис. 1.19 представлены результаты расчета нормированных корреляционных

функций k11(ρ) различных структур при объемной доле волокон v1 = 0,65, расстояние ρ = ρ (1.52), (1.68) между точками r и r1 . На рис. 1.19, а, изображены графики функций k11(ρ) для традицион-

ных полидисперсных структур: (□) для структуры на рис. 1.18, а,

(Δ) для структуры на рис. 1.18, б, с отсутствием корреляций размеров и типов ячеек в каждой из этих структур; в сравнении с кривыми (□), (Δ) на рис. 1.19, а, приведен график нормированной корреляционной функции (●) для заданной квазипериодической монодисперсной структуры (рис. 1.18, в) при значении величины

минимальной относительной толщины прослойки ' 0,25 между волокнами (1.111), ' Rp . На рис. 1.19, б – графики k11I' (ρ) для

квазипериодических полидисперсных структур при различных значениях вероятности расположения монодисперсных волокон в уз-

лах гексагональной решетки: p0 = 0 (□); 0,2 (◊); 0,4 (Δ); 0,6 (○); 0,8 (); в предельном случае, когда p0 = 0, такая квазипериодическая

структура вырождается в традиционную некоррелированную полидисперсную структуру (см. рис. 1.18, а; (□) рис. 1.19, а). На рис. 1.19,

в – графики k11(ρ) для коррелированных квазипериодических мо-

( k11I' (ρ) ) (рис. 1.18, г) структур и, дополнительно, монодисперсной периодической структуры с гексагональной укладкой волокон (◊). Отметим наличие периодичности у «хвостов» функций k11(ρ) для

квазипериодических (см. рис. 1.18, в, г) и периодической структур, обусловленной периодичностью в расположении узлов гексагональной решетки.

69