книги / Пьезокомпозиты и датчики в 3 ч. Ч. 1 Статистическая механика пьезокомпозитов

=(1− p)[Cijdb i1/IIadmnII ,b − epij i1/II fmn(1)II, p − hpij i1/II fmn(2)II, p ] =

=(1− p)i1/II ijmnII = (1− p)(СijmnII* −Сijmn ),

получим

на основе свойства (2.202) корреляционных функций квазипериодической структуры, вида коэффициента корреляции (периодичности) квазипериодической структуры p (см. табл. 1.1) и с учетом

(2.214), (2.215).

В результате из формулы (2.216) с учетом вспомогательного равенства (2.200)

i1/ Λ = С* −С + p(Сp* −С)

следует искомое решение для тензора эффективных упругих свойств

С* = pСp* + (1− p)СII* ,

которое обобщается на другие эффективные константы пьезоактивного композита с квазипериодической структурой

181

для тензоров эффективных упругих свойств C* , диэлектрической

λ* и магнитной μ* проницаемостей, пьезомеханических свойств e*

иh* , коэффициентов электромагнитной связи χ* , κ* и температурных напряжений β* , векторов эффективных пироэлектрических π* и пиромагнитных * постоянных. В (2.217) CII* ,…, II* – реше-

ние обобщенного сингулярного приближения [10] по самосогласованной схеме, т.е. когда тензоры C• , λ• , μ• , e• , h• электромагни-

тоупругих свойств среды сравнения приравнены соответственно к CII* , λII* , μII* , eII* , hII* (2.139). Для периодической структуры тен-

зоры Cp* ,…, p* – решение обобщенного сингулярного приближе-

ния для среды сравнения (2.137).

Проведем расчет по формулам (2.217), используя решение [39], эффективного коэффициента *33 электромагнитной связи

трансверсально-изотропного пьезоэлектромагнитного композита с квазипериодической структурой в сравнении с известным решением [11] асимптотического метода осреднения [81] для идеальной периодической структуры – пьезоэлектрические волокна PVDF (1-я фаза) в пьезомагнитной ферритовой (2.11) – (2.13) матрице (2-я фаза), оси поляризации обеих фаз и ориентация волокон вдоль оси r3 , плоскость изотропии композита r1r2 . Рассматриваем квази-

периодические структуры двух типов, в первой модели (см. рис. 1.2, в, рис. 2.21, а) центры сечений волокон имеют независимые для каждой гексагональной ячейки случайные смещения a [0;k max ] из центров своих ячеек в плоскости r1r2 , где степень

разупорядоченности волокон k [0;1]; сечения не выходят за преде-

лы ячеек. Во второй модели (см. рис. 1.2, г, рис. 2.21, б) имеем статистически независимые для различных гексагональных ячеек случайные размещения центров поперечных сечений волокон в центрах ячеек при заданной минимальной гарантированной прослойке матрицы между волокнами 5 % от радиуса волокон

( g = 0,05 , см. табл. 1.1).

182

На рис. 2.21, в, приведены результаты расчета эффективного коэффициента электромагнитной связи *33 однонаправленного во-

локнистого пьезоэлектромагнетика в зависимости от относительного объемного содержания пьезоэлектрических волокон v1 для раз-

личных квазипериодических структур: k =1 (), k = 0,5 (), k = 0,1

() для структуры на рис. 2.21, а; для структуры на рис. 2.21, б () в сравнении с известным решением ( • ) [11] асимптотического метода осреднения [81] для идеальной периодической структуры ( k = 0 ). Дополнительно на рис. 2.21, в, штриховыми линиями обозначены решения обобщенного сингулярного приближения 33s* [39]

для различных случаев выбора электромагнитоупругих свойств среды сравнения, например, при приравнивании их к свойствам матрицы ( • ) (расчет 33s* совпал с решением [11]), волокнам (),

средним значениям по представительному объему (+), искомым эффективным свойствам () (самосогласованное приближение 33II*

в (2.217)).

Таким образом, на основе анализа корреляционных функций квазипериодических структур (см. рис. 2.18, 2.19), (2.191) и решения связанной краевой задачи электромагнитоупругости (2.27) методом периодических составляющих получены уточненные решения (2.217) для тензоров эффективных электромагнитных и термоупругих свойств композитов с пьезоэлектрическими и пьезомагнитными фазами. Проведен анализ влияния на коэффициент электромагнитной связи *33 однонаправленного волокнистого

композита с пьезоэлектрическими волокнами PVDF в ферритовой пьезомагнитной матрице величины объемного содержания, характера и степени разупорядоченности волокон в трансверсальной плоскости r1r2 в сравнении с известным решением [11] асимптоти-

ческого метода осреднения [81] для идеальной периодической структуры. Подтверждено, что решение, например, для *33 компо-

зита с идеальной периодической структурой [11] совпадает с решением обобщенного сингулярного приближения [39] в случае, когда свойства среды сравнения приравнены к свойствам матрицы.

183

После подстановки разложения (2.192) в (2.220)

A* = Φ1A[ pk11p + (1− p)k11II ] =

= pΦ1A[k11p ] + (1− p)Φ1A[k11II ]

получим искомое решение для эффективных свойств квазипериодической структуры (см. рис. 1.11, а, рис. 2.21, б)

правленных волокон A p* и полидисперсной (см. рис. 1.1, г) AII* структурами. Решение A p* для периодической структуры может быть получено на ячейке периодичности [12], AII* для полидис-

персной структуры – по схеме самосогласования «одиночное волокно в эффективной среде» [25, 47] или как частные случаи обобщенного сингулярного приближения со средой сравнения «эффек-

185

тивная среда» (2.139) [51, 104]. В частности, тензор эффективной электромагнитной связи композита

компоненты

оператора Φ1 [...] с учетом вида корреляционного приближения для компонент искомого тензора

Влияние разупорядоченности и инверсии фаз на электромаг-

нитную связанность квазипериодического пьезокомпозита [51].

Проведем расчет формулы (2.225) и анализ влияния разупорядоченности и инверсии свойств фаз на значения продольного коэффициента электромагнитной связи κ*33 ((), рис. 2.22) волокнистого

композита с квазипериодической структурой (см. рис. 1.11, а, рис. 2.21, б) из пьезоэлектрической (PVDF) и пьезомагнитной (феррит) фаз. Необходимые для этого значения коэффициентов для периодической κ33p* () (рис. 2.22) и полидисперсной (см. рис. 1.1, г)

κ33II* () (см. рис. 2.22) структур рассчитываем по формулам [51]

186

обобщенного сингулярного приближения, приравнивая свойства «среды сравнения» [104] соответственно к свойствам матричной фазы (2.136), или для случая инверсии свойств фаз (2.137), или

(2.139) к искомым эффективным свойствам AII* (2.223) («схема

самосогласования») композита.

Справедливость такого подхода для периодической структуры подтверждена сравнением результатов расчета с известным

аналитическим решением [11]: решение () на рис. 2.22, а, для 33p* композита феррит/PVDF обобщенного сингулярного приближения

вточности совпало с решением [11] асимптотического метода осреднения для идеальной периодической волокнистой структуры. Решение по схеме самосогласования () (см. рис. 2.22) в точности совпало с известным решением [47] по модели «одиночное волокно

вэффективной среде» [25]; отметим, что решение () по схеме самосогласования инвариантно к инверсии свойств фаз. Стрелки на рис. 2.22 показывают направления изменений значений коэффици-

ента *33 композита при разупорядочивании периодической струк-

туры (). Отметим, что полученные результаты расчетов соответствуют высокочастотному случаю нагружения композита, при котором влияние максвелл-вагнеровских релаксационных процессов [51, 93] пренебрежимо мало.

Таким образом, представлен численный анализ (см. рис. 2.22) (2.225) влияния разупорядоченности и инверсии свойств фаз на

значения продольного коэффициента *33 электромагнитной связи

композита с квазипериодической однонаправленной волокнистой структурой из пьезоэлектрической (PVDF) и пьезомагнитной (феррит) фаз и проведено сравнение результатов расчета с известными решениями других авторов [11]. Выявлены новые эффекты – привнесение разупорядоченности в идеальную периодическую однонаправленную волокнистую структуру по-разному влияет на характер и величину изменения абсолютного значения продольного

коэффициента *33 электромагнитной связи композита и значительно, до 50 %, увеличивает *33 для композита феррит/PVDF (см. рис. 2.22, а) и менее существенно, до 25 %, уменьшает *33 для композита PVDF/феррит (см. рис. 2.22, б) при средних и высоких

187

степенях наполнения композита пьезоэлектрическими или ферритовыми волокнами соответственно.

Рис. 2.22. Коэффициент электромагнитной связи *33 композита феррит/PVDF (а) и PVDF/феррит (б) в зависимости от доли v1 пьезоэлектрика PVDF в виде волокон (а), матрицы (б)

При малых (менее 30 %) объемных долях как пьезоэлектрических, так и ферритовых волокон влияние их разупорядоченности на значения *33 композита практически незаметно, так как отсут-

ствует взаимодействие между далеко расположенными соседними волокнами и справедлива известная [25] гипотеза о невзаимодействии включений. Результаты расчета на рис. 2.22 показывают, что для увеличения абсолютных значений коэффициента *33 электро-

магнитной связи композита лучше использовать пьезоэлектрик PVDF в качестве матрицы, а феррит в виде волокон с периодической укладкой и с высокой около 80 % объемной долей

(см. рис. 2.21, б).

188