книги / Пьезокомпозиты и датчики в 3 ч. Ч. 1 Статистическая механика пьезокомпозитов

б) композита с однонаправленными волокнами круглого сечения в плоскости изотропии

x / (2r ) , радиус сферического включения или круглого поперечного сечения волокон r соответственно. Отметим, что геомет-

рическая интерпретация решения (1.69) – это отношение величины объема (1.32) области пересечения двух шаров одинакового радиу-

са r с расстоянием между центрами к объему шара 4 r3 / 3, решение (1.70) – отношение величины площади (1.40) области пересечения двух кругов одинакового радиуса r с расстоянием меж-

ду центрами к площади круга r2 .

k11

/r

Рис. 1.9. Нормированные корреляционные функции композитов с предельно малым содержанием сферических включений (○), волокон в трансверсальной плоскости (Δ)

41

1.3.3. Корреляционные функции полидисперсных структур

Величины, относящиеся к полидисперсным структурам на рис. 1.1, б, рис. 1.1, г, рис. 1.1, д, обозначим верхними индексами

«I», «II», «III» соответственно.

Для полидисперсной структуры, представленной на рис. 1.1, б, считаем, что в формуле (1.67)

точки: r V , r1 V , где V – область рассматриваемой составной цилиндрической ячейки, содержащей волокно ( V 1 V ) с радиусом кругового поперечного сечения r , V – представительная об-

ласть полидисперсной структуры. Вероятность попадания точки r в 1-ю фазу V 1 составной ячейки V равна объемной доле v1 1-й

фазы в этой ячейке, поэтому двухточечный момент в формуле (1.71) принимает вид

точке r1 V 1-й фазы полидисперсной структуры при условии r V 1 , т.е. принадлежности точки r области 1-й фазы V 1 (волокна) рассматриваемой составной цилиндрической ячейки V .

Для полидисперсной структуры, представленной на рис. 1.1, г, нормированная двухточечная r,r1 V корреляционная функция

42

вии принадлежности точки r V 1 волокну из 1-й фазы с радиусом

После подстановки формулы (1.77) в (1.71) получим решение для нормированной корреляционной функции

где три нижних индекса у вероятностей обозначают соответствующее событие – попадание 1-й, 2-й и 3-й точками в одиночное включение V (нижний индекс «1») и в «статистическую смесь»

(нижний индекс « s ») вокруг этого включения, величина p1*ss – ве-

роятность того, что любые две точки попадут в статистическую смесь при условии, что оставшаяся точка лежит в области 1-й фазы в V или в 1-й фазе статистической смеси. В формулах (1.83),

(1.84) использованы обозначения

ответственно. После подстановки формул (1.82), (1.83) в (1.80) получим решение

Таким образом, решение, полученное ранее (1.78) для нормированной двухточечной корреляционной функции k11II (ρ), может

быть обобщено на нормированную трехточечную корреляционную функцию

для полидисперсной структуры, представленной на рис. 1.1, г, где центральный момент третьего порядка (1.28)

(см. рис. 1.1, г) при любых значениях объемной доли v1 (0;1) совпадает с видом нормированной трехточечной корреляционной

45

функции k111(ρ1,ρ2 ) для одиночного включения в матрице при v1 → 0 .

k11 11

Рис. 1.10. Нормированные корреляционные функции полидисперсных структур

На рис. 1.10 представлены результаты расчета нормированных корреляционных функций: k11(ρ) для структур, приведенных

на рис. 1.1, б (□), рис. 1.1, г (◊), при объемной доле волокон v1 = 0,7.

1.3.4. Корреляционные функции квазипериодических структур

Аналогично формулам (1.51) – (1.66) могут быть рассчитаны многоточечные смешанные моменты, отражающие корреляцию, например периодической и квазипериодической сред, в частности смешанные двухточечные корреляционные функции:

через величины vijsp относительного объемного содержания областей пересечения i-й фазы квазипериодической и j-й фазы перио-

46

дической при мысленном наложении друг на друга двух смещенных на вектор ρ квазипериодической и периодической структур,

ластей пересечения i-й фазы (1-й структуры) и j-й фазы (2-й структуры) при мысленном наложении друг на друга двух смещенных на вектор ρ структур: квазипериодической и ее копии, квазипериоди-

ческой и периодической, периодической и квазипериодической, периодической и периодической соответственно; выполняется ра-

индикаторных функций i-й и j-й фаз верхний индекс p указывает на принадлежность к периодической структуре, периодическая струк-

тура такова, что выполняются равенства ii (r) = iip (r) = vi .

Отметим, что при ρ = 0 из формулы (1.87) следует решение для смешанных корреляционных моментов

47

Kij(2) (0) ii/ (r)i/j p (r) = vijsp (0) − vi vj

или для случая двухфазного композита с однородными включениями (1-я фаза)

K11(2) (0) i1/ (r)i1/ p (r) = pD11 ,

где p – коэффициент периодичности квазипериодической структуры (1.18), (1.19), дисперсия D11 (1.15), v1 – относительное объ-

емное содержание включений в композите.

Для квазипериодической структуры (рис. 1.11, а), образованной статистически однородным случайным размещением в плоскости r1r2 центров поперечных сечений однонаправленных однород-

ных волокон в узлах идеальной гексагональной решетки, например с минимальной гарантированной прослойкой матрицы между

волокнами в 2 % от радиуса волокна r , на рис. 1.12 построены нормированные корреляционные функции k11( ) для двух различных ориентационных углов вектора ρ : 0 и 30 от оси r1 . Для по-

строения нормированных корреляционных функций в нашем случае достаточно было рассмотреть фрагменты из семи кругов (рис. 1.13) с радиусом r , в каждом из которых вероятность появ-

площади пересечения смещенного на ρ (из положения 1-го) круга с i-м кругом (1.40), s – осредненное значение площади пересечения поперечных сечений волокон

48

7

s = p pi 1si , (1.91)

i=1

r2

б

Рис. 1.11. Фрагменты представительных реализаций случайных структур со статистически независимым (а) и с коррелированным

по оси r1 (б) расположением включений

Рис. 1.12. Нормированные корреляционные функции k11 ( ) волокнистого композита для v1 = 0,2 (○); 0,4 (Δ); 0,6 (□), угол между ρ и r1 0 (а) и 30 (б)

49

а б

Рис. 1.13. Расчетные схемы при значениях ориентационного угла 0 (а) и 30 (б) вектора ρ

приходящейся на одну гексагональную ячейку рассматриваемой квазипериодической структуры, где pi 1 – вероятность появления

волокна в i-м круге при условии, что в 1-м круге – волокно, p11 =1; в выражении (1.91) учитывается, что в смещенном на ρ круге вероятность наличия волокна равна p , и реализация, т.е. наличие или от-

сутствие в нем волокна, совпадает с реализацией в 1-м круге. Графики на рис. 1.12 построены для структуры, представленной на рис. 1.11, а, со значением условной вероятности pi 1 = p для всех i 1.

В результате искомое значение нормированной корреляционной функции:

b = (2 + g)r / 3 . Аналогично формулам (1.91), (1.92) могут быть

построены нормированные корреляционные функции для других произвольных ориентаций вектора ρ .

Отметим наличие анизотропии и периодичности у нормированных корреляционных функций квазипериодических структур

50