книги / Пьезокомпозиты и датчики в 3 ч. Ч. 1 Статистическая механика пьезокомпозитов

В формулах (2.121) – (2.125) индексы в круглых скобках (ij)

обозначают выделение симметричной составляющей по этой паре индексов.

Сингулярные составляющие вторых производных функ-

ций Грина для пьезоэлектромагнитной среды с эллипсоидальным зерном неоднородности. В формулах (2.121) – (2.125) компо-

ненты матрицы Gs (2.115) тензоров сингулярных составляющих

121

вторых производных для функций Грина G (2.106), (2.114) вычисляются по формулам

действует на компоненты тензоров

в которых использованы обозначения

122

где и – полярные углы в сферической системе координат, по-

верхность эллипсоидального «зерна неоднородности» [104] задана равенством

сучетом симметрии ij = ji тензора Λ . Действительно, в (2.128) компоненты

ji = C•jmin m n = C•jnim m n = Cimjn• m n ij

сучетом выражения (2.130) для компонент тензора Λ и известного

свойства симметрии C•jnim = Cimjn• к перестановке первой и второй

пар индексов тензора упругих свойств C• среды сравнения. Таким образом, благодаря свойству симметрии (2.133) для U

по индексам (ij) и симметрии оператора[...]mn (2.127) по индексам

Отметим симметрию по индексам (mn) всех компонент мат-

рицы Gs (2.115) благодаря симметрии по этой паре индексов опе-

ратора (2.127).

Эффективные свойства композита. Тензоры эффективных упругих свойств C* , диэлектрической λ* и магнитной μ* прони-

123

цаемостей, пьезомеханических свойств e* и h* , коэффициентов электромагнитной связанности χ* , κ* и температурных напряжений β* , вектора эффективных пироэлектрических π* и пиромагнитных * постоянных композита, входящие в определяющие соотношения на макроуровне (2.17), могут быть вычислены по формулам

i = v1(1− v1)( ipTp(1)s + eipqTpqs ) , i = v1(1− v1)( ipTp(2)s + hipqTpqs )

к соответствующим осредненным по объему значениям C , …,

(2.134).

Композит PVDF/феррит с эллипсоидальными включени-

ями (сингулярное приближение). Проведем расчет эффективных

124

коэффициентов электромагнитной связанности трансверсальноизотропного пьезоэлектромагнитного композита: пьезоэлектрическая матрица PVDF с ориентированными эллипсоидальными ферритовыми (2.11) – (2.13) включениями (2.132) в сингулярном при-

точным аналитическим решением для слоистого композита.

На рис. 2.4 приведены эффективные, отличные от нуля коэффициенты электромагнитной связанности 11* , *33 и 12* пьезо-

электромагнитного композита с ориентированными пьезомагнитными эллипсоидальными включениями в пьезоэлектрической матрице в зависимости от относительного объемного содержания включений v1 . Использованы следующие обозначения: □ – слои

(2.132). На рис.2.4 приведены результаты точного аналитического решения для слоистых структур (□), совпадающего с решением рассматриваемого сингулярного приближения при переходе к пределу a1(2) → , a3 =1 ( q → 0 ). Решения для слоистого композита и

композитов с однонаправленными волокнами и шаровыми включениями выделены полужирными кривыми. Отметим выполнение

равенств 11* = 11* , 12* = −*21 = −12* = *21 , *33 = *33 и дополнительно

*22 = 11* , *22 = 11* для ненулевых компонент тензоров χ* , κ* эффективной электромагнитной связанности (см. (2.8)).

Подтверждено, что все полученные в разделе 2.4 решения

(2.71), (2.81), (2.83), (2.85) для эффективных констант: k12* , C3333* ,

C1133* , e333* , e311* , h311* , h333* , 11* , *33 , 11* , *33 , 11* , *33 , 11* , *33 одно-

направленного волокнистого композита с полидисперсной структурой (см. рис. 1.1, б, в) в точности совпали с соответствующими

125

решениями (2.134) обобщенного сингулярного приближения, в котором свойства среды сравнения приравнены к свойствам одной из фаз (матрицы) композита.

v1

12* ,нс/м

в

Рис. 2.4. Эффективные коэффициенты электромагнитной связанности 11* (а), *33 (б) и 12* (в) пьезоэлектромагнетика

Обобщенное сингулярное приближение. Волокнистый композит PVDF/феррит. На рис. 2.5 представлены результаты расчета [45] эффективных коэффициентов электромагнитной свя-

занности 11* , *33 и 12* (2.134) трансверсально-изотропного волок-

нистого пьезоэлектромагнетика: пьезоэлектрическая матрица PVDF с однонаправленными вдоль оси r3 ферритовыми волокнами ( a1 = a2 , a3 → (2.132)) с объемной долей v1 . Расчет (см. рис. 2.5)

проведен в обобщенном сингулярном приближении (2.114), (2.134) для четырех различных случаев выбора свойств среды сравнения

126

(2.107)–(2.109): в первом случае (Δ), ее свойства приравнены свойствам 1-й фазы (волокнам)

во втором случае (□) – свойствам 2-й фазы (матрице)

в третьем случае (○) – осредненным по области V композита значениям

C• = C , e• = e , h• = h , λ• = λ , μ• = μ , (2.138)

и в четвертом случае (◊) – искомым эффективным свойствам композита (схема самосогласования)

решения (○), (◊) инвариантны к инверсии свойств фаз.

Результаты расчета (□) и (Δ) для эффективных констант 11* ,*33 (см. рис. 2.5, а, б) в обобщенном сингулярном приближении в

точности совпали с аналитическими решениями (2.66), (2.71) для полидисперсных структур на рис. 1.1, б (см. рис. 2.5, а') и рис. 1.1, в (см. рис. 2.5, б'); решение (◊) по схеме самосогласования

(см. рис. 2.2, б, для случая v0 →1 ) для *33 в точности совпало с

аналитическим решением (2.71), (2.104) для полидисперсной структуры на рис. 1.1, г (см. рис. 2.5, в'). Решения (○), (◊) при «малых» степенях наполнения v1 близки к решению (□) для матричной

по 2-й фазе структуре (см. рис. 2.5, а') и при «больших» v1 – к решению (Δ) для матричной по 1-й фазе структуре (см. рис. 2.5, б'). Отметим, что решение *33 (Δ) также в точности совпало с реше-

нием (2.85) асимптотического метода осреднения [11] для идеальной периодической волокнистой структуры.

127

e311* / e(2)311

e333* / e(2)333

v1

в

Рис. 2.7. Эффективные электромеханические константы e311* (а), e333* (б), e113* (в) пьезоэлектромагнетика с объемной долей феррита v1

130