книги / Теоретические основы теплотехники. Теория теплообмена

в виде критериальных уравнений (2.34) позволяет довольно просто получить необходимую информацию при анализе процессов, подобных данному.

В теории подобия доказываются три теоремы. Две первых теоремы формулируют свойства явлений, для которых выполняются условия подобия.

Первая теорема утверждает, что подобные между собой явления характеризуются одинаковыми числами подобия. Это поз-

воляет, в частности, измерять в экспериментах только те величины, которыесодержат числаподобиябезразмернойматематическоймоделипроцессадляданнойгруппыявлений. Доказательство первой теоремы было получено французским математиком Ж. Бертраном в 1848 г.

Из второй теоремы следует, что интеграл (решение) системы дифференциальных уравнений может быть представлен в виде функциональной зависимости между числами подобия. Эта теорема была доказана в 1911 г. русским ученым А. Федерманом и в 1914 г. американским ученым Дж. Букингемом.

Третья теорема – обратная. Она была доказана в 1933 г. русскими учеными М.В. Кирпичевым и А.А. Гухманом и устанавливает условия, при которых явления будут подобны. Смысл тео-

ремы заключается в том, что рассматриваемые явления будут подобны, если постановка задачи исследованиясодержитподобные условия однозначности, а числа подобия, составленные из величин, входящих в условия однозначности, будут численно равны.

Как уже было отмечено, эти числа называются определяющими числами или критериями подобия. В соответствии с теоремой выполнение равенства критериев подобия достаточно для утверждения о подобии явлений.

80

2.5.1. Числа подобия конвективного теплообмена

Основные числа подобия, характеризующие изучаемый процесс, получают из дифференциальных уравнений конвективного теплообмена. В большинстве случаев их называют именами ученых, внесших большой вклад в науку, и обозначают начальными латинскими буквами их фамилий.

Число Нуссельта

В теории конвективного теплообмена важным числом являетсячислоНуссельта, таккаксодержитнеизвестныйкоэффициент теплоотдачи α. Число Нуссельта получают из дифференциального уравнения теплоотдачи

Запишем уравнение (2.35) для сходственных точек двух систем, предполагая, что условия подобия для них выполняются:

Поскольку условия подобия выполняются, константы подобия для величин и их приращений будут иметь вид

Здесь l – характерный размер системы. Это такой линейный размер, изменение которого в наибольшей степени влияет на протекание процесса.

81

Из сравнения полученного выражения (2.40) с уравнением (2.36) следует, что комплекс в уравнении (2.40), составленный из констант подобия, должен быть равен 1:

Такиесоотношения, составленныеизконстантподобия, называются индикаторами подобия и всегда равны единице. Подставляя в (2.41) соотношения (2.38) и группируя переменные, относящиеся к разным системам, получим

Соотношения параметровв (2.42) представляют собой безразмерные комплексы, численно равные в сходственных точках по-

добныхсистемиявляющиесячисламиподобия. Безразмерныйкомплекс величин в данном уравнении называется числом Нуссельта

(Nu). Следовательно, для подобных систем число Нуссельта будет иметь одно и то же численное значение:

Число Нуссельта для задач теплообмена является определяемым числом, так как содержит искомый коэффициент теплоотдачи α, а уравнения подобия должны разрешаться относительно

82

этогочисла. ЧислоНуссельтахарактеризуетинтенсивностьтеплообмена на границе твердое тело – жидкость, поэтому его ещё называют безразмерным коэффициентом теплоотдачи.

Числа подобия уравнения переноса энергии

При выводе числа Нуссельта использовался метод констант подобия. Числа подобия можно получить и другим способом – приведением дифференциальных уравнений к безразмерному виду. Дляэтогодостаточнорассматриватьодномерныеуравнения. Так, одномерное уравнение переноса энергии, опуская индексы у скорости и записывая уравнение в размерности [К/с], приводим к виду

Приведение уравнения к безразмерному виду предполагает задание характерных или определяющих величин – характерного размера области l, характерной скорости w0, характерной температуры (или разности температур) θ. Тогда соответствующие размерные величины можно выразить через безразмерные:

Здесь безразмерные величины обозначены чертой сверху. Подставляя полученные выражения в уравнение (2.44), получаем

После деления полученного уравнения на отношение al2f и

сокращения на величину θ, уравнение становится безразмерным:

83

Уравнение (2.47) в левой части содержит два безразмерных комплекса, представляющих собой числа подобия. Первое слагаемое содержит комплекс, называемый числом Фурье:

Число Фурье называют безразмерным временем. Одинаковые численные значения этого числа в подобных системах при реше-

нии нестационарных задач соответствуют сходственным моментам времени.

Безразмерный комплекс при втором слагаемом называется

числом Пекле:

Число Пекле характеризует отношение интенсивностей переноса теплоты конвекцией и теплопроводностью – числитель характеризует перенос количества теплоты конвекцией, а знаменатель – теплопроводностью. Чем больше численное значение Pe, тем больше влияние конвективного переноса теплоты по сравнению с теплопроводностью.

Числа подобия уравнения движения

Для получения чисел подобия дифференциального уравнения движения воспользуемся тем же способом – приведением уравнения к безразмерному виду. Как и в предыдущем случае, рассмотрим одномерное уравнение движения, записанное в виде

В качестве характерных величин выберем следующие: характерный размер области l, характерная скорость w0, характерный перепад давления p, характерная массовая сила (в нашем случае сила тяжести) в размерности Н/кг – g0. Соответствующие

84

размерныевеличинывыразимчерезбезразмерные, опускаяиндекс х у размерной скорости:

Слагаемые в этом уравнении пронумерованы, имеют размерность см2 и характеризуют влияние различных сил:

1 силы инерции при нестационарном течении;

2силы инерции при стационарном течении;

3массовые силы (силы тяжести);

4силы давления;

5силы вязкого трения.

Врезультате деления слагаемых (2.52) на один из размерных сомножителейуравнениестановитсябезразмерным, чтопозволяет получить еще ряд чисел подобия:

12 Ho wl0 число гомохронности, а обратная величина

рактеризует влияние инерционных сил, зависящих от времени: если число Струхала мало (Sh 1 ), то слагаемым, содержащим

производную по времени, можно пренебречь, приближенно рассматривая течение как стационарное, что в ряде случаев существенно упрощает теоретический анализ процесса;

85

ношение сил инерции и сил трения в потоке, величина которого для различных частных случаев течения определяет гидродинамический режим вынужденного движения среды (ламинарное или турбулентное течение);

шение между перепадом статических давлений в потоке (гидравлического сопротивления) и кинетической энергией потока;

ние между силой инерции и силой тяжести, действующими на элементарный объем подвижной среды (при исследовании явлений теплопередачивкачествечислаФрудачащерассматриваютобрат-

ную величину Fr g02l ). w0

При анализе различных явлений часто используются безразмерные комплексы, представленные в виде комбинаций чисел подобия, содержащихсявматематическоймоделипроцесса. Так, при исследовании теплоотдачи вместо числа Пекле часто используют число Прандтля, равное отношению чисел Пекле и Рейнольдса:

Число Прандтля, содержащее только физические параметры среды, характеризует их влияние на процесс конвективного теплообмена и является количественной мерой подобия полей скоростей и температур в пограничном слое.

Приисследованиитеплоотдачивусловиях свободнойконвекции учитывается число Фруда, но оно содержит величину

86

характерной скорости w0, измерить которую при свободноконвективномтеченииневозможно. ИспользуякомбинациючиселФруда и Рейнольдса, характерную скорость можно исключить:

Полученная комбинация чисел называется числом Галилея, характеризующим соотношение между силами тяжести и молеку-

лярного трения. Умножая его на отношение 0 , в кото-

0 0

ром ρ и ρ0 – плотности в двух разных точках жидкости, получим новое число:

называемое числом Архимеда. Оно характеризует соотношение между подъемной силой, обусловленной разностью плотности жидкости в среде, и силой трения.

В условиях термогравитационной конвекции величина Δρ зависит от разности температур в жидкости t. Предполагая эту за-

висимость линейной 0 1 t , где β – коэффициент объемного расширения среды, можно записать

87

Величина числа Грасгофа характеризует интенсивность свободной термогравитационной конвекции и представляет собой соотношение между подъемной силой, вызванной разностью температур в среде и силой вязкого трения.

2.5.2. Уравнения подобия

Уравнением подобия (критериальным уравнением) называют функциональную зависимость между каким-либо определяемым числом подобия и определяющими числами. При исследовании процессов теплоотдачи определяемым числом является число Нуссельта, содержащееискомуювеличинукоэффициентатеплоотдачи. Уравнения подобия обычно представляют в виде функций

Здеськритерииподобиявправойчастиуравненияучитываютвлияние различных факторов на процесс теплоотдачи: Re отражает влияние вынужденной конвекции; Gr – свободной конвекции; Pr – влияние физических свойств теплоносителя. В общем случае в уравнении могут присутствовать и другие критерии подобия. Например, при исследовании нестационарных процессов используется число Фурье Fo.

Выбор определяющих чисел подобия в уравнении (2.58) зависит от характера течения теплоносителя. Так, при исследовании свободной конвекции уравнение будет иметь вид

Nu f Gr, Pr .

В процессах теплоотдачи свободное движение всегда играет какую-то роль, но, например, при развитом турбулентном течении влиянием свободной конвекции можно пренебречь, и уравнение (2.58) не будет содержать числа Грасгофа:

88

Nu f Re, Pr .

Вид функции f в уравнениях выбирают на основании статистической обработки результатов достаточно большого количества физических или численных экспериментов. Как правило, это алгебраические функции. Наиболее часто уравнения подобия представляют в виде степенной функции

для которой численные значения коэффициентов с, к, m, n получают при обработке опытных данных.

Для каждого уравнения подобия специально оговариваются характерные (определяющие) величины, используемые при получении уравнения – характерный размер, характерные скорость, температура и т.д. Как уже было отмечено, характерный размер – это такой размер, изменение которого в наибольшей степени влияет на протекание процесса. Он выбирается из линейных геометрических размеров исследуемой области. Понятие характерной скорости применимо только при исследовании вынужденной конвекции. Для каждого уравнения подобия должно быть указано условие выбора характерной скорости.

Характерная температура явно не входит в критерии подобия, но от ее величины зависят свойства теплоносителя. Температура в пределах пограничного слоя изменяется от температуры стенки до температуры невозмущенного потока. Поэтому в качестве характерной могут быть выбраны температура стенки, температура невозмущенного потока либо их комбинация, например среднеарифметическая температура по пограничному слою:

где tw и tf – соответственно температуры стенки и потока.

89