книги / Теоретические основы теплотехники. Теория теплообмена

где С0 = 5,67 Вт/(м2 К) – коэффициент излучения абсолютно чёрного тела. Сопоставляя плотности потоков излучения произвольного и абсолютно чёрного тела при той же температуре, получим ещё одну (уже безразмерную) характеристику, которая называется

степенью черноты тела:

где E0 – плотностьпотокаизлученияабсолютно чёрного тела, Вт/м3. Из формулы (4.7) следует, что степень черноты тел изменяется в диапазоне от 0 до 1. Кроме того, в данной формуле приве-

дена интегральная характеристика излучения, охватывающая весь тепловой диапазон длин волн. Более детальной характеристикойявляется спектральнаястепеньчерноты(котораятакжеможет изменяться в диапазоне от 0 до 1):

где E0 – спектральная плотность потока излучения абсолютно чёрного тела, Вт/м3.

На практике все реальные тела не являются абсолютно чёрными и, соответственно, при одинаковой температуре излучают меньше энергии. Для применимости законов излучения (полученных для абсолютно чёрного тела) к описанию реальных тел вводится понятие серого тела. Под этим термином понимается такое тело, которое излучает подобно чёрному, но плотность его излучения для каждой длины волны и любой температуры составляет фиксированную долю от плотности излучения абсолютно чёрного тела:

εconst. (4.9)

Величину С = С0 называют коэффициентом излучения серого тела (это постоянная величина для каждого тела при фиксированной температуре).

130

Интегральная степень черноты является табличной величиной, её значение (в зависимости от температуры) есть в соответствующих теплотехнических справочниках. Приведём лишь некоторые примеры. Степень черноты диэлектриковпри обычной температуре равна 0,8 и сростом температуры падает. У чистых металлов, наоборот, с ростом температуры степень черноты значительно возрастает. Плёнка окислов на полированной поверхности алюминия увеличивает её степень черноты от 0,05 до 0,8. Шлифовка и полирование поверхности существенно снижает : например, у полированной и неполированной бронзы степень черноты изменяется соответственно от 0,04 до 0,6. Существенное влияние на степень черноты оказывает также вид термомеханической обработки (так как она оказывает непосредственное влияние на состояние поверхности тела).

4.3. Основные законы теплового излучения

Основными законами теплового излучения являются законы Планка, Вина, Стефана–Больцмана, Кирхгофа и Ламберта. Следует ещё раз отметить, что эти законы строго справедливы только для собственного излучения абсолютно чёрного тела.

4.3.1. Закон Планка

Интенсивность излучения зависит от температуры тела и длины волны. М. Планк, исходя из электромагнитной природы излучения и используя гипотезу о квантовании энергии, установил следующий законизмененияплотностиизлученияабсолютночёрноготела:

где с1 – первая константа Планка, Вт м2; – длина волны, м; с2 – вторая константа Планка, м К; Т – абсолютная температура, К.

131

На рис.4.3 закон Планка представлен графически. Из рисунка видно, что для любой температуры плотность излучения E0 возрастает от 0 при , стремящемся к 0, до своего максимума при определённойдлине волны max; и далееопятьубываетдо 0 при ∞.

Рис. 4.3. Зависимость спектральной плотности излучения от температуры и длины волны

4.3.2. Закон Вина

Из рис. 4.3 видно, что с повышением температуры максимум спектральной плотности потока излучения смещается в сторону более коротких волн. Связь между абсолютной температурой и длиной волны max, соответствующей максимуму потока излучения, устанавливается законом Вина:

132

Из формулы (4.11) следует, например, что при тех температурах, с которыми обычно имеют дело на практике, энергия видимого излучения ( 0,4 0,8 мкм) по сравнению с энергией инфракрасного излучения ( 1 800 мкм) пренебрежимо мала.

Площадь под каждой кривой на рис. 4.3 представляет собой интегральную плотность излучения абсолютно чёрного тела при соответствующей температуре во всём диапазоне длин волн:

4.3.3. Закон Стефана–Больцмана

Данный закон устанавливает зависимость между плотностью потока интегрального излучения и температурой.

Для абсолютно чёрного тела из формул (4.10) и (4.12) имеем

Проинтегрировав (4.13), получим

где 0 = 5,67 10-8, Вт/(м2 К4) – постоянная Больцмана.

В технических расчётах закон Стефана – Больцмана применяется в более удобной форме:

где С0 – коэффициент излучения абсолютно чёрного тела. Многочисленными экспериментами было показано, что этот

закон справедлив и для любых серых тел, поэтому в общем случае уравнение (4.15) записывается как

133

Таким образом, закон Стефана – Больцмана для серых тел можно сформулировать следующим образом: плотность интегрального потока излучения пропорциональна температуре в четвёртой степени.

4.3.4. Закон Кирхгофа

Данный закон устанавливает связь между собственным излучением тела и его поглощательной способностью. Эту связь можно установить, рассмотрев теплообмен излучением между двумя параллельными пластинами, расположенными на малом расстоянии друг от друга (рис. 4.4).

134

Согласно формуле (4.17), закон Кирхгофа гласит: отношение излучательной к поглощательной способности одинаково для всех серых тел, находящихся при одинаковых температурах, и равно излучательной способности абсолютно чёрного тела при той же температуре.

Возможны иные формулировки данного закона, например: в состоянии термодинамического равновесия поглощательная способность тела равна его степени черноты:

ТаккакдляреальныхтелA всегда< 1, тоиз(4.17) следует, что прилюбойданнойтемпературеизлучениеабсолютночёрноготела является максимальным из всех возможных. Можно записать формулу (4.17) для спектрального излучения:

Отношение собственного излучения определённой длины волныкпоглощательнойспособности притойжедлиневолныдля всех тел одно и то же и является функцией только длины волны и температуры. Соотношение (4.19) позволяет, например, имея спектр излучения какого-либо тела, построить его спектр поглощения при той же температуре.

4.3.5. Закон Ламберта

135

чаемой по нормали к dF1, умноженному на величину пространственного угла φ, составленного направлением излучения с нормалью:

где – тепловой поток в направлении φ, Вт; En – плотность потока

излучениявнаправлениинормали, Вт/м2; Ω – телесныйугол, рад. Следовательно, наибольшее количество энергии излучается

в направлении нормали к поверхности излучения. Для того чтобы из формулы (4.20) выразить En, нужно взять соответствующий интеграл по всей поверхности полусферы:

Из (4.21) следует, что энергия излучения в направлении нормали в π раз меньше плотности интегрального излучения серого тела по закону Стефана – Больцмана.

С учётом (4.21) уравнение (4.20) примет вид

Соотношение (4.23) используется для расчёта теплообмена излучением тел конечных размеров.

Следует отметить, что закон Ламберта для шероховатых тел экспериментально подтверждается для значений угла φ не более 60 градусов. Ещё более резкое отклонение от данного закона наблюдается для поверхностей с высокой отражательной способностью и, соответственно, с малой степенью черноты (например,

для полированных металлов).

136

4.4. Лучистый теплообмен между твёрдыми телами

Закон Стефана – Больцмана позволяет определить плотность собственного излучения Есоб, которое возникает в поверхностном слое источника излучения. Однако, как правило, тело участвует в процессе лучистого теплообмена совместно с другими телами. В этом случае необходимо рассматривать эффективное излучение тел, котороезависитотфизических свойств, температуры, спектра излучения, а такжеформы, размеров иотносительного расположения их в пространстве. Теплообмен излучением между твёрдыми телами представляет собой сложный процесс многократных затухающих поглощений и отражений энергии.

Далее рассмотрим некоторые простейшие случаи теплообмена излучением между двумя твёрдыми непрозрачными телами, спектр излучения которых является «серым», а среда, разделяющаяэтитела, являетсяабсолютнопрозрачнойдлятепловых лучей. Кроме того, известны температуры, коэффициенты поглощения и излучения обоих тел. Поверхности тел соответствуют закону Ламберта. Влияние конвекции не учитывается.

4.4.1. Параллельные пластины

Для исследования лучистого теплообмена используются метод многократных отражений, метод эффективных потоков и др. Метод многократных отражений вскрывает механизм протекания лучистого теплообмена: собственный поток излучения, например первой пластины Е1, попадая на вторую пластину, частично отражается (R2Е1) и частично поглощается (А2Е1). Отраженная часть вновь попадает на первую пластину, где частично отражается (R1R2Е1) и поглощается (А1R2Е1) и т.д. Аналогичным образом передаетсясобственныйпотокЕ2 второйпластины. Методявляетсядостаточно детальным, но связан с громоздкими вычислениями.

137

Для рассматриваемой задачи наиболее подходит метод эффективных потоков. Он хотя и не вскрывает детально физические особенности лучистого теплообмена, но позволяет довольно просто получить результат.

На рис. 4.6 изображены две параллельные пластины, размеры которых значительно больше расстояния между ними. Тела считаются серыми, каждое из которых характеризуется своей температурой (Т1 и Т2) и коэффициентами поглощения (А1 и А2). Лучистый теплообмен стационарный, тела непрозрачные (D1 = D2 = 0), а процессы переноса тепла теплопроводностью и конвекцией отсутствуют. Примем Т1 > Т2 и определим тепловой поток, переданный лучеиспусканием от горячего тела холодному.

эф1

1 2

эф2

Рис. 4.6. Теплообмен излучением между двумя пластинами

Эффективный поток складывается из потока собственного излучения тела и отраженной части падающего излучения:

В нашей системе тел в качестве падающего излучения нужно рассматривать эффективный поток излучения противоположного тела. Тогда в соответствии с (4.24) получаем систему уравнений

138

Окончательное выражение для плотности передаваемого потока излучения будет иметь вид

Учитывая, что уравнения системы (4.25) симметричны, для потока Eэф2 имеем

Eэф2 E1 E2 A2 E1 .

A1 A2 A1 A2

Тогда плотность передаваемого потока излучения (4.26)

Потоки собственного излучения определим по закону Сте- фана–Больцмана через заданные температуры:

Подставляя (4.29) в (4.28) и полагая, что, согласно закону Кирхгофа, ε A , получим

139