Ограниченные последовательности

Последовательность называется ограниченной сверху, если существует такое число , что для любого номера , 

Последовательность называется ограниченной снизу, если существует такое число , что для любого номера , 

Последовательность называется ограниченной, если она ограниченная сверху и ограниченная снизу, то есть существует такое число , что для любого номера , 

Последовательность называется неограниченной, если существует такое число , что существует такой номер , что 

Примеры исследования последовательности на ограниченность

Пример

Задание. Исследовать последовательность на ограниченность.

Решение. Заданная последовательность является ограниченной, так как для любого натурального номера выполняются неравенства:

То есть последовательность является ограниченной снизу нулем, и вместе с тем является ограниченной сверху единицей, а значит, является и ограниченной.

Ответ. Последовательность ограничена - снизу нулем, а сверху единицей.

Пример

Задание. Исследовать последовательность на ограниченность.

Решение. Рассмотрим и попробуем его оценить сверху:

Так как модуль суммы меньше либо равен сумме модулей: , то получаем, что

Выражение принимает свое максимальное значение, когда знаменатель является наименьшим. Знаменатель будет минимальным при наименьшем значении , то есть для . А тогда

А таким образом, существует такое число , что для любого номера , . Значит, по определению последовательность ограничена.

Ответ. Последовательность ограничена

Монотонные последовательности Основные понятия и определения

Определение

Последовательность называется монотонно возрастающей, если для любого , 

Можно дать еще одно альтернативное определение возрастающей последовательности.

Определение

Последовательность называется монотонно возрастающей, если для любого , 

Определение

Последовательность называется монотонно убывающей, если для любого , 

Или,

Последовательность называется монотонно убывающей, если для любого , 

Примеры исследования последовательностей на монотонность

Пример

Задание. Исследовать последовательность на монотонность.

Решение. Рассмотрим разность -го члена последовательности и ее -го члена :

а тогда делаем вывод, что - возрастающая последовательность.

Ответ. - возрастающая последовательность.

Пример

Задание. Исследовать последовательность на монотонность.

Решение. Найдем отношение -го члена последовательности к ее -му члену :

Для выражение , то есть заданная последовательность является монотонно убывающей.

Ответ. - монотонно убывающая последовательность.

Нестрогая монотонность

Последовательность является неубывающей или нестрого возрастающей (невозрастающей или нестрого убывающей), если для , 

Последовательность называется монотонной, если она убывающая или возрастающая.

Если все элементы последовательности равны одному и тому же числу, то последовательность называетсяпостоянной.

Пример

Последовательность является постоянной, так для любого натурального :

7 Вопрос. Предел числовой последовательности. Сходящиеся и расходящиеся числовые последовательности. Геометрический смысл сходимости последовательности. Предел числовой последовательности

Определение

Последовательность называется сходящейся, если существует такое число такое, что последовательность является бесконечно малой последовательностью.

Определение

Число называется пределом последовательности и обозначается ,

Число называется пределом последовательности , если для любого существует номер такой, что для любого выполняется неравенство :

Определение

Целой частью некоторого числа называется наибольшее целое число, не превосходящее