3 Вопрос. Различные формы записи комплексных чисел. Умножение и деление комплексных чисел, записанных в тригонометрической форме. Алгебраическая форма комплексного числа

Запись вида называется алгебраической или координатной формой комплексного числа .

При этом действительное число называется действительной частью числа : , а действительное число - его мнимой частью: .

Величина называется мнимой единицей и удовлетворяет равенству .

Тригонометрическая форма комплексного числа

Пусть задано комплексное число . Как известно, его можно изобразить на комплексной плоскости точкой, абсцисса которой равна действительной части этого числа, то есть , а ордината - мнимой части .

Абсциссу и ординату комплексного числа можно выразить через модуль и аргумент следующим образом:

В данном случае и удовлетворяют соотношениям:

Тогда

Таким образом, для всякого комплексного числа справедливо равенство

которое называется тригонометрической формой комплексного числа .

То есть, если - модуль комплексного числа , а   его аргумент, то тригонометрической формой комплексного числа называется выражение

Умножение комплексных чисел в тригонометрической форме

Зададим два комплексных числа в тригонометрической форме и и перемножим их по правилу умножения двучленов:

или

Получили новое число , записанное в тригонометрической форме: , для которого .

Правило умножения. При умножении комплексных чисел, заданных в тригонометрической форме, их модули перемножаются, а аргументы складываются:

(1.10)

В результате умножения чисел может получиться аргумент произведения, не являющийся главным значением.

Деление комплексных чисел в тригонометрической форме

Рассмотрим частное комплексных чисел , заданных в тригонометрической форме. Из определения частного имеем и, применяя к произведению правило умножения, получаем .

Правило деления. Модуль частного, полученного в результате деления чисел, заданных в тригонометрической форме, равен частному от деления модуля числителя на модуль знаменателя, а аргумент частного равен разности аргументов делимого и делителя:

В результате деления чисел по формуле может получиться аргумент частного, не являющийся главным значением.

Показательная форма комплексного числа Формула Эйлера

Пусть - некоторое комплексное число. По определению полагают, что

Если число - действительное, то есть , то

Если число - чисто мнимое, то есть , то

Таким образом, имеем равенство

которое называется формулой Эйлера.

Рассмотрим произвольное комплексное число, записанное в тригонометрической форме: . По формуле Эйлера

а тогда

Следовательно, любое комплексное число можно представить в так называемой показательной форме:

Операции с комплексными числами в показательной форме

Такая форма представления позволяет дать наглядную интерпретацию операциям умножения комплексных чисел, их деления и возведения комплексного числа в степень. Например, умножение комплексного числа на комплексное число выглядит следующим образом:

То есть, чтобы найти произведение комплексных чисел, нужно перемножить их модули и сложить аргументы.

Аналогично можно довольно легко найти частное от деления комплексного числа на комплексное число :

Отсюда получаем правило, что для того чтобы найти частное двух комплексных чисел, надо поделить их модули и отнять аргументы.

Для возведения комплексного числа в целую степень нужно представить это число в показательной форме, модуль возвести в степень, а аргумент увеличить в раз: