![](/user_photo/2706_HbeT2.jpg)
- •Введение
- •Основные свойства неопределенного интеграла
- •Замена переменной ( метод подстановки )
- •3.3. Интегралы вида
- •Интегрирование по частям
- •Основные классы интегрируемых функций
- •1.Дробно-рациональные функции
- •Утверждение 1.4
- •Способ частных значений. Умножаем тождество (*) на и приходим к равенству. Придаваяподходящие конкретные значения, получаем систему уравнений для нахождения коэффициентов разложения.
- •2. Тригонометрические функции
- •3. Некоторые иррациональные функции
- •3.1. Интегрирование рациональной функции вида
- •3.2.1. Подстановки Эйлера.
- •Оглавление введение 3 основные свойства неопределенного интеграла 3
- •3.2.1. Подстановки Эйлера 24
Способ частных значений. Умножаем тождество (*) на и приходим к равенству. Придаваяподходящие конкретные значения, получаем систему уравнений для нахождения коэффициентов разложения.
Замечание. Иногда для определения коэффициентов разложения вышеуказанные способы комбинируют..
После
разложения правильной дробно-рациональной
функции
её интегрирование сводится к
интегрированию простейших рациональных
дробей:
подстановкой
сводится к линейной комбинации интегралов
подстановкой
сводится к линейной комбинации
интегралов
и
.
Первый
из этих интегралов
( см. пример 6).
Второй
интеграл
можно вычислить с помощью следующей
рекуррентной формулы:
.
Пример
29..
Подинтегральная функция является правильной рациональной дробью, поэтому она представима в виде суммы простейших рациональных дробей:
.
Умножим обе части последнего равенства
на
и получим равенство
.
Принимая
и сравнивая коэффициенты при
и свободном члене, имеем:
Пример
30.
.
Подинтегральная функция – правильная рациональная дробь – представима в виде суммы простейших рациональных дробей:
Умножая
обе части на
,
имеем:
=
Пример
31.
Разложение на простейшие дроби часто требует громоздких выкладок, поэтому не следует пренебрегать возможностью упростить вычисления с помощью алгебраических преобразований, замены переменной и других известных методов.
Пример
32.
Пример 33.
2. Тригонометрические функции
2.1.
Интегралы вида
где
и
-целые
числа, вычисляются с помощью искусственных
преобразований или применением формул
понижения степени. Если хотя бы одно
из чисел
или
нечетное, то данный интеграл заменой
или
приводится к интегралу от рациональной
функции (см. 3.4). Если
и
четные числа, то возможно применение
следующих формул:
Пример
34.
Пример
35.
2.2.
Интегралы вида
находятся с помощью следующих формул:
Пример
36.
2.3.
Интегралы вида
где
- рациональная функция, в общем случае
приводятся к интегралам от рациональных
функций с помощьюуниверсальной
подстановки
Замечание.
Если выполнено равенство
или
,
то
целесообразно применить подстановку
или
Замечание. Если выполнено равенство
,то
целесообразно применить подстановку
.
Пример
37.
Пример
38.
Пример
39.
Замечание.Иногда
удобно разделить числитель и знаменатель
на
.
Пример 40 ( см. пример 39 ):
Замечание.
Не
следует догматически применять
приведенные выше правила. Рекомендуемая
замена
приводит интеграл
к довольно сложному интегралу
,
тогда как универсальная подстановка
позволяет вычислить его легко и просто:
Этот же интеграл можно найти и другим способом:
3. Некоторые иррациональные функции
3.1. Интегрирование рациональной функции вида
Замена
приводит
к интегралу от рациональной функции
переменной
Пример 41.
.
.
Замечание.
Интеграл вида
является частным случаем интеграла
Замена
приводит
к
интегралу от рациональной функции
переменной
Пример
42.
3.2.
Интегрирование рациональной функции
вида
.