- •Введение
- •Основные свойства неопределенного интеграла
- •Замена переменной ( метод подстановки )
- •3.3. Интегралы вида
- •Интегрирование по частям
- •Основные классы интегрируемых функций
- •1.Дробно-рациональные функции
- •Утверждение 1.4
- •Способ частных значений. Умножаем тождество (*) на и приходим к равенству. Придаваяподходящие конкретные значения, получаем систему уравнений для нахождения коэффициентов разложения.
- •2. Тригонометрические функции
- •3. Некоторые иррациональные функции
- •3.1. Интегрирование рациональной функции вида
- •3.2.1. Подстановки Эйлера.
- •Оглавление введение 3 основные свойства неопределенного интеграла 3
- •3.2.1. Подстановки Эйлера 24
3.3. Интегралы вида
Пример 14.
3.4. Интегралы видагдеи-целые числа, заменойилиприводится к интегралу от рациональной функции относительно переменной
Пример 15.
Рассмотрим еще несколько примеров.
Пример 16.
Пример17.
Пример 18.
=
Пример 19.
Пример 20.
Более сложные замены будут рассмотрены далее.
Интегрирование по частям
Если и непрерывно дифференцируемые функции, то справедлива формула
Суть применения этого метода состоит в том, что при удачном выборе ивычисление интегралаоказывается проще, чемМетод применяется, если под знаком интеграла стоит произведение“ разнородных “ функций, например, и,и,и, а также, если подинтегральное выражение содержит логарифмическую или обратные тригонометрические функции и некоторые другие функции.
Пример 21.
Пример 22.
Пример 23.
(см. пример 19).
Пример 24.
Пример 25. ( Возвратный интеграл ).
откуда
Примечание. Интегралы типа иудобно вычислять с помощью неопределенных коэффициентов. Пример 26.
Дифференцируем это равенство и приравниваем коэффициенты при функциях и.
Следовательно,
Пример 27.
Примечание. При решении примеров такого типа можно также применить метод неопределенных коэффициентов.
Пример 28.
.
Основные классы интегрируемых функций
1.Дробно-рациональные функции
Дробь гдеи- многочлены, называетсядробно-рациональной функцией (рациональной дробью).
Дробь правильная, если и неправильная при
В случае интегрирования неправильной дроби необходимо выделить целую часть этой дроби .При этом вычисление интеграла сводится к интегрированию многочлена и правильной дроби.
Рациональные дроби вида
,
называются простейшими рациональными дробями.
Интегрирование правильной рациональной дроби сводится к интегрированию суммы простейших рациональных дробей.
Имеют место следующие утверждения.
Утверждение 1.1.
Если правильная дробно-рациональная функция, гдето указанная функция может быть представлена в следующем виде:
где последнее слагаемое вновь правильная дробно- рацио-нальная функция.
Утверждение 1.2.
Если правильная дробно-рациональная функция, то она может быть представлена в виде суммы:
где последнее слагаемое снова пра-вильная дробно-рациональная функция.
Утверждение 1.3.
Любая дробно-рациональная функция может быть представлена в виде суммы многочлена и простейших рациональных дробей.
Утверждение 1.4
Если
то правильную дробно-рациональную функцию можно представить в виде суммы простейших рациональных дробей:
причем сумма содержит столько слагаемых,сколько множителей, с учетом их кратности, в разложении многочлена
Для нахождения коэффициентов разложения
могут быть использованы следующие способы.
Способ соответствующих коэффициентов. Умножаем тождество (*) на и получаем равенство многочленов.После этого , приравнивая коэффициенты при соответствующих степенях, получаем систему алгебраических уравнений для определения коэффициентов разложения.