
4. Проекция вектора на ось и на плоскость.
Определение.
Проекцией точки
на ось
называется точка
- точка пересечения этой оси с плоскостью,
проходящей через точку
,
перпендикулярно оси
(рис. 2.17).
Определение.
Геометрической проекцией вектора
на ось
называется вектор
,
где
и
соответственно проекции
Рис. 2.17
точек
и
на
ось
.
Пусть
орт
направления оси
,
тогда существует такое число
,
что вектор
.
Число
называюталгебраической
проекцией
вектора
на ось
и обозначают пр
или пр
.
Очевидно, пр=
,
где
- угол между вектором
и положительным направлением оси
.
Имеют место
следующие свойства:
а)
;
б)
.
Рассматривая
отдельно
и
легко установить свойство а). Второе
свойство очевидно.
Определение.
Проекцией точки
на плоскость
называется точка
- точка пересечения этой плоскости и
перпендикуляра, опущенного из точки
на
плоскость (рис. 2.18).
Определение.
Проекцией
вектора
на плоскость
называют вектор
,
где
и
проекции точек
и
на
эту плоскость и обозначают её
Рис. 2.18
.
Свойства проекции вектора на плоскость:
а)
(постоянный множитель можно выносить
за знак проекции);
б)
(проекция суммы равна сумме проекций).
Справедливость свойства усматривается из рисунка 2.18.
5. Различные виды произведений векторов.
5.1. Скалярное произведение двух векторов.
Определение скалярного произведения векторов
и его свойства.
Определение. Скалярным произведением двух векторов называется число, равное произведению модулей этих векторов и косинуса угла между ними.
Скалярное
произведение векторов
и
обозначается
(или
,
или
).
Если
- угол между векторами
и
,
то по определению
.
Так как
,
то справедлива формула
.
Справедлива и формула
.
Итак,
Скалярное произведение двух векторов равно произведению длины одного из этих векторов и проекции другого на направление первого.
Скалярное произведение векторов обладает следующими свойствами.
1).
(коммутативный
закон). Это
свойство непосредственно следует из
определения скалярного произведения.
2).
(ассоциативный
закон).
►Действительно,
.◄
3).
(дистрибутивный
закон.)
►
◄
4).
.
Скалярное
произведение векторов
и
равно нулю тогда и только тогда, когда
векторы
и
перпендикулярны.
►Необходимость.
Пусть
,
тогда
,
откуда либо один из векторов нулевой,
либо
.
Если один из векторов нулевой, то ему
можно приписать любое направление, и
векторы
и
перпендикулярны. Если же
,
то угол
прямой и векторы
и
перпендикулярны.
Доказано, что из
следует
.
Достаточность.
Пусть,
тогда
,
а, следовательно,
.
Следовательно, из
следует
.◄
5).
.
Скалярный квадрат
вектора равен квадрату длины этого
вектора.
►Действительно,
◄
Скалярное произведение в координатной форме.
Пусть
и
.
Так как
взаимно перпендикулярные орты, то
,
и, учитывая свойства скалярного
произведения, имеем
.
Скалярное
произведение векторов
и
в координатной форме равно сумме
произведений одноименных координат
этих векторов, т.е.
.
Применение скалярного произведения.
Скалярное произведение векторов применяется для нахождения длины вектора, косинуса угла между векторами, проекции одного вектора на направление другого и установления перпендикулярности векторов.
1)
или
.
2)
.
3)
.
4)
.
● Пример 9.
Дано:
,
,
,
,
.
Найти: а) длину
вектора
;
б) значение параметра
,
при котором векторы
и
перпендикулярны.
Решение.
а)
;
б)
.
=
,
откуда
.
При
векторы
и
перпендикулярны.
● Пример 10.
Даны два вектора
,
,
приложенные к одной точке. Найти вектор
,
перпендикулярный вектору
,
равный ему по длине, компланарный с
векторами
,
и образующий с вектором
острый угол.
Решение.
Так как векторы
,
,
компланарны, а векторы
и
неколлинеарны, то вектор
может быть разложен по векторам
и
.
Найдутся такие числа
и
,
что
.
Тогда
.
Вектор
,
поэтому скалярное произведение
.
и
.
Вектор
образует с вектором
острый угол, поэтому косинус угла между
этими векторами положителен и
.
,
откуда
.
Так как
,
то
и
,
откуда
.
Учитывая, что
,
имеем
и
.●