7. Обусловленность линейных алгебраических систем

Рассмотрим СЛАУ в векторно-матричной форме:

, (9)

где А – невырожденная - матрица коэффициентов данной системы;

b – ненулевой n-мерный вектор свободных членов;

–n-мерный вектор неизвестных.

Пусть правая часть (9) получила приращение Реакцией решениях на возмущение будет вектор поправок, т.е. еслих – решение (9), то - решение уравнения

. (10)

Понимая под абсолютной погрешностью приближенного вектора норму разности между точным и приближенным векторами, а под относительной погрешностью – отношение абсолютной погрешности к норме вектора (точного или приближенного), найдем связь между относительными погрешностями вектора свободных членов и вектора – решения. Т.е. получим оценку вида: ,

где - какая-либо векторная норма,

К – неизвестный коэффициент связи.

Подставляя (9) в (10), получаем, что поправка связана с возмущениеманалогичным (9) равенством:, из которого находим ее явное выражение:

(11)

Нормируя равенства (9) и (11), получим

где матричная норма должна быть согласованной с выбранной векторной нормой. Подробно о нормах рассказывается в методических указаниях по выполнению лабораторной работы «Итерационные методы решения СЛАУ».

Перемножим полученные неравенства (9), (11)

Разделив полученное неравенство на получим искомый коэффициент связиК:

(12)

Положительный коэффициент называют числом обусловленности матрицыА и обозначают .

Аналогично, можно показать, что то же самое число служит коэффициентом роста относительных погрешностей при неточном задании элементов матрицыА в (9).

Итак, неравенство (12) показывает, что чем больше число обусловленности, тем сильнее сказывается на решении СЛАУ ошибка в исходных данных. Если число велико, то система считается плохо обусловленной. На величинувлияет размерность задачи, точность, с которой должно быть найдено ее решение, точность предоставления чисел в ЭВМ и т.д. Для современных ЭВМ диапазонхорошо обусловленных СЛАУ находится в диапазоне:.

Поясним понятие обусловленности на примере двумерной задачи.

Решением этой задачи будет вектор , компоненты которого определяются координатами точки пересечения двух прямых.

Если прямые пересекаются под очень острым углом, то даже небольшое искажение в данных, интерпретируемое как параллельный перенос (при возмущении свободного члена) или поворот прямых (при возмущении матрицы коэффициентов), приводит к значительному перемещению их точки пересечения.

Пример 3.

Исследовать обусловленность СЛАУ:

Для исследования чувствительности СЛАУ к погрешностям входных данных нужно найти .

.

Найдем обратную матрицу А^-1. Одновременно найдем решение СЛАУ в рамках алгоритма метода Гаусса.

ai1	ai2	bi	e1	e2
2 2	-5 -4,9999	1 1	1 0	0 1
1 0	-2,50 0,0001	0,5 0	0,5 -1	0 1
0 1	1 0	0 0,5	-10000 -24999,5	10000 25000

Найдем норму-максимум матриц и :., следовательно, СЛАУ плохо обусловлена и будет чутко реагировать на небольшие погрешности входных данных. Этот вывод можно подтвердить, придав небольшое возмущение правой части второго уравнения СЛАУ:

Решая полученную систему, получим вектор решения: , который очень далек от вектора решения исходной СЛАУ. Это еще раз подтверждает факт плохой обусловленности системы.

ЗАДАНИЕ НА ЛАБОРАТОРНУЮ РАБОТУ

Написать программу, реализующую алгоритм метода Гаусса. В программе требуется:

1. решить систему Ax=b. Решить систему методом Гаусса. Предусмотреть постолбцовый выбор главного элемента;

2. произвести итерационное уточнение решения до достижения точности Е= 10^-12 по евклидовой норме невязки в рамках применяемой схемы реализации метода;

3. найти определитель матрицы А;

4. найти обратную матрицу X= A^-1 , решая подсистемы Ах ^j =е ^j системы АХ=Е;

5. вычислить condA в различных простых нормах и охарактеризовать чувствительность данной системы к погрешностям исходных данных.

В отчете по лабораторной работе должны быть представлены следующие разделы:

1. Постановка задачи.

2. Математическая модель.

3. Текст программы.

4. Результаты работы.

5. Выводы.

Лабораторная работа выполняется на любом языке высокого уровня.

Варианты заданий на лабораторную работу

1. ; .

2. ; .

3. ; .

4. ; .

5. ; .

6. ; .

7. ; .

8. ; .

9. ; .

10. ; .

11. ; .

12. ; .

13. ; .

14. ; .

15. ; .

16. ; .

17. ; .

18. ; .

19. ; .

20. ; .

21. ; .

22. ; .

23. ; .

24. ; .

25. ; .

26. ; .

27. ; .

28. ; .

29. ; .

30. ; .

31. ; .

32. ; .

33. ; .

34. ; .

35. ; .

36. ; .

37. ; .

38. ; .

39. ; .

40. ; .