Изобретатели релейно-контактных схем

11 / 20

Релейно-контактные схемы в математической логике

Каждой булевой функции можно поставить в соответствие релейно-контактную схему (РКС).

РКС строится в предположении, что переменная X это замыкающий контакт в электрической схеме, который замкнут при подаче управляющего тока X , т. е. X = 1, и разомкнут при его отсутствии X = 0.

Формуле X отвечает размыкающий контакт, который замкнут, т. е. X = 1, пока нет тока (X = 0), и размыкается X = 0, когда ток есть (X = 1).

12 / 20

Схема работы замыкающего и размыкающего контактов

13 / 20

Простейшие РКС

Конъюнкции X & Y соответствует последовательное соединение контактов:

X Y

Дизъюнкции X _ Y параллельное соединение:

X

Y

14 / 20

Пример РКС для сложной функции

Из простейших легко собираются произвольные РКС. Например, РКС для булевой функции

f (U; W ; X ; Y ; Z) = X & W & (Z _ Y ) _ (U & X )

будет выглядеть так:

Z

X W

Y

U X

15 / 20

Отношение порядка

Вбулевой алгебре все доказательства строились на отношении эквивалентности.

Две логические функции считались эквивалентными, если на одинаковых двоичных наборах они выдавали одинаковые значения.

Влогике высказываний все доказательства строятся

на отношении порядка, т. е. на отношении, которое существует между причиной и следствием.

Здесь уже отдельные звенья цепи доказательства связаны с помощью импликации.

16 / 20

Логическое следствие

Пусть даны формулы A1; A2; : : : ; Am; B.

Формула B является логическим следствием формул A1; A2; : : : ; Am, если, придавая значения переменным X1; X2; : : : ; Xn, от которых зависят все рассматриваемые формулы, всякий раз, когда истинны одновременно все формулы A1; A2; : : : ; Am, истинна и формула B.

Для логического следствия используется запись

A1; A2; : : : ; Am ` B:

Слева от знака ¾`¿ располагаются причины (посылки), справа следствия (заключения).

17 / 20

Дедукция. Теорема о дедукции

Форму мышления, при которой новая мысль выводятся по правилам логики из некоторых исходных мыслей-посылок, называют дедукцией.

Теорема о дедукции

A ` B тогда и только тогда, когда ` (A ! B).

Важное следствие теоремы о дедукции, показывающее связь между отношением логического следствия и операцией импликации:

Следствие теоремы о дедукции

A1; A2; : : : ; Am ` B

тогда и только тогда, когда

` (A1 & A2 & : : : & Am) ! B:

18 / 20

Пример решения задачи

Проверить правильность рассуждения: Алексей старше Бориса или Борис старше Виктора. Однако, Борис не старше Виктора. Следовательно, Алексей старше Бориса.

Решение

Введём следующие обозначения:

A ¾Алексей старше Бориса¿;

B ¾Борис старше Виктора¿.

Исходную задачу можем переформулировать следующим образом: верно ли, что формула A является логическим следствием формул A _ B и B?

19 / 20

Пример решения задачи (продолжение)

Построим таблицу истинности для этих формул:

Из выделенной строки таблицы видно, что формула A действительно является логическим следствием формул

A _ B и B

(следствие истинно, когда истинны одновременно все посылки).

Другой способ: доказать с помощью равносильных преобразований, что (A _ B) & B ! A 1.

20 / 20