Алгоритм формирования бинарного дерева «в ширину»
1. Инициализировать очередь.
2. Прочитать очередной символ последовательности.
3. Если прочитанный символ точка, то БД пустое, иначе создать корень, записать в него символ, корень поместить в очередь.
4. Пока очередь не пуста, выполнять п.5.
5. Взять вершину из очереди. Прочитать символ. Если символ точка, то левое поддерево пустое, иначе создать корень левого поддерева, записать в него символ и включить в очередь. Прочитать следующий символ. Если символ точка, то правое поддерево пустое, иначе создать корень правого поддерева, записать в него символ и включить в очередь.
При обходе БД (см. рис.25) в обратном порядке получим последовательность: ..D..EC..FB...I..JHGA
Если ограничить эту последовательность концевым маркером, то ее можно будет использовать в качестве исходных данных для формирования БД «снизу вверх».
Алгоритм формирования бинарного дерева «снизу вверх»
1. Инициализировать очередь.
2. Последовательно обрабатывать символы последовательности, пока не достигнут концевой маркер.
3. Если прочитанный символ точка, то поместить в очередь пустое БД, иначе создать корень, записать в него символ, взять из очереди его левое, затем правое поддерево, полученное БД поместить в очередь.
4. Если по окончании работы алгоритма очередь окажется пустой, то сформировано пустое БД, иначе очередь будет содержать единственный элемент — корень сформированного дерева.
При обходе БД (см. рис.25) в симметричном порядке получим последовательность: .D.C.E.B.F.A.G.I.H.J.
Такую же последовательность получим при обходе в симметричном порядке БД на рис.26, поэтому она неоднозначно определяет БД и не может быть использована в качестве исходных данных для формирования БД.
. . . . .
. . . . . .
Рис.26. Бинарное дерево
Рассмотрим алгоритм формирования БД, в котором для любой вершины Ti значения всех вершин в левом поддереве должны быть меньше значения в вершине Ti, а в правом — больше. Такое дерево можно построить, обработав последовательность неповторяющихся значений.
Рекурсивный алгоритм формирования бинарного дерева
1. Прочитать элемент последовательности.
2. Если БД пустое, то создать корень и записать в него значение элемента, иначе включить элемент в левое поддерево, если его значение меньше значения корня, или включить в правое поддерево, если значение элемента больше значения корня.
Итеративный алгоритм формирования бинарного дерева
1. Пока в последовательности неповторяющихся значений есть элементы, читать и включать их в дерево в соответствии с п.2 или п.3.
2. Если БД пустое, то создать корень, записать в него значение.
3. Если значение элемента меньше значения корня и у корня есть левый сын, то перейти к левому сыну, считать его корнем и выполнять п.3, если же левого сына нет, то создать и записать в него значение элемента. Если значение элемента больше значения корня и у корня есть правый сын, то перейти к правому сыну, считать его корнем и выполнять п.3, если же правого сына нет, то создать и записать в него значение элемента.
Применив рассмотренные алгоритмы к последовательности целых чисел 20, 15, 23, 10, 5, 12, 30, 18, 44, 25 получим БД на рис.27.
Рис.27. БД, построенное по итеративному алгоритму
Если последовательность будет упорядоченной, то БД вырождается в последовательность.
Пусть необходимо построить БД для последовательности из n элементов, имеющее минимальную высоту. Тогда все уровни дерева, кроме, может быть, последнего, будут заполнены. Для того чтобы построить такое БД, нужно элементы последовательности распределять поровну между левым и правым поддеревом. Такое распределение достаточно просто можно выполнить для упорядоченной по возрастанию последовательности.