22.N-мерный вектор, векторное пространство

n-вектором называется упорядоченная совокупность n-действительных чисел, записанных в виде х=(х₁,х₂,….хn), x_i-компоненты вектора

х=у, если равны x_i=y_i

1. суммой двух векторов одной размерности n называется вектор z = x + y, z_i=x_i+y_i

2. Произведением вектора на число называется вектор λх=z, z_i=λx_i

Свойства операций над векторами:

1) x+y=y+x – сумма коммутативна

2) x+(y+z)=(x+y)+z – ассоциативна

3) α(β · x) = (α·β)·x – α и β действительные числа

4) α(х + y)= αx + αy – дистрибутивность

5) (α + β) х = αх + βх

6) О = (0,0,…0), х+О=х

7) (-х) – противоположный х

х+(-х) = 0

8) 1·х=х

Множество n-мерных векторов с действительными компонентами, удовлетворяющих свойствам называется векторным пространством R. Если под элементом множества понимать любые другие элементы, то такое пространство называется линейным.

23. Линейная зависимость и независимость векторов

а_n называется линейной комбинацией векторов а₁,а₂,…а_n-1, принадлежит R, если а_n = λ₁a₁+λ₂a₂+…+λ_n-1a_n-1.

Если для векторов а₁,а₂,…а_n из R выполняется а_n = λ₁a₁+λ₂a₂+…+λ_na_n=0, при любых λ_i одновременно не равных 0, векторы называются линейно-зависимыми. Если условие выполняется для λ_i не равных 0, векторы линейно-независимы.

Векторы называются коллинеарными, если они параллельны одной прямой, и компланарными, если они параллельны одной плоскости.

Теорема: Если векторы из пространства R линейно-зависимы, то хотя бы один из них является линейной комбинацией других векторов

24.Размерность и базис

Размерность и базис векторного пространства.

Векторное пространство R называется n-мерным, если в нем существует n линейно-независимых векторов, а любой n+1 – линейно-зависимый.

Множество n-независимых векторов R_n пространства называется базисом. Пусть векторы е₁,е₂,…е_n – базис R_n, тогда для всех х принадлежащих R x = λ₁e₁+λ₂e₂+ …λ_ne_n (1). λ_i – координаты в базисе е₁,е₂,…е_n. Выражение (1) – разложение вектора х по базису векторов е_i. Такое разложение – единственное.

Теорема: если векторы е₁,е₂,…е_n – линейно независимы в пространстве R_n и любой х из этого пространства выражается из них, то пространство называется R-n-мерным, а система векторов его базисом.

25.Переход к новому базису

26.Скалярное произведение n-мерных векторов. Евклидово пространство

Пусть заданы векторы Rn-пространства.

Скалярным произведением x и y называется число, равное сумме произведений соответствующих координат векторов.

xy= ∑ x_iy_i = x₁y₁ + x₂y₂ + … + x_ny_n

Свойства:

1) коммутативно xy=yx

2) Ассоциативно x(y+z)=xy+xz

3) λ(x·y) =λxy, где λ – действительное число.

4) x·x>0, x не равно 0 ,

x² = хх,

хх=0, х=0

Rn-пространство в котором определено скалярное произведение векторов удовлетворяющее свойствам 1-4 называется эвклидовым пространством.

27.Норма вектора. Ортогональность векторов. Ортонормированный базис.

Норма вектора или длина вектора называется корень квадратный из скалярного произведения вектора на себя: |x| = √xx = √x₁²+x₂²…x_n²

Свойства:

1. |xy| ≤ |x| |y|

2. |x+y| ≤ |x| + |y|

3. |λx| = |x| |λ|

4. |x|=0, если x=0

Если х не равен 0, то |x|>0

Единичным вектором En называется вектор длина которого равна 1.

Угол между векторами:

cos α = |x·y|

|x|·|y|

a·b=|a||b|·cos(a^b)

Если скалярное произведение равно 0, то векторы ортогональны: a·b=0.

Если единичные векторы е₁,е₂,…е_n попарно ортогональны, то они образуют ортонормированный базис.

Три упорядоченных линейно независимых вектора е₁, е₂, е₃ в пространстве называют базисом. Упорядоченная тройка некомпланарных векторов всегда образует базис. Любой вектор а в пространстве можно разложить по базису е₁, е₂, е₃ т.е. представить а в виде линейной комбинации базисных векторов: а = xе₁+yе₂+zе₃ , где x, y, z являются координатами вектора а в базисе е₁, е₂, е₃ . Базис называется ортонормированным если его векторы взаимно перпендикулярны и имеют единичную длину.