кр_№2()
.pdfВариант 40
1. Найти область определения функции y
2. |
Найти производные: а) y ln ex |
1 e2 x |
|||
|
x 3 |
x ; г) |
x et t, |
|
|
y |
|
e |
|
|
|
|
|
|
|||
|
4x 1 |
|
y t ln t. |
|
2log3 x 2 |
|
|
|
x2 3x . |
|||
; б) |
y sin4 x y2 exy 0 ; в) |
3.Найти производную неявной функции sin x y2 exy 0 .
4.Используя логарифмическую производную, найти производную
функции: а) |
|
y |
|
arcsin x 2x |
|
x ; б) |
|
x 1 |
|
. |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y 4 x 3 5 |
|||||
5. |
|
|
Найти |
|
пределы |
функций: а) lim |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x 5 |
в) |
lim |
|
|
x 1 |
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
2 |
3x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
x |
x |
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
6. |
|
Исследовать функцию |
и построить |
|||||||||||||||
б) y |
|
|
|
x3 |
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
x 2 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
lim 1 x sin x x ; |
||
|
x 1 2 ; б) |
|||||
|
|
|
|
1 |
|
|
|
x 5 |
x 0 |
||||
ее график: |
а) y x 1 |
|
; |
|||
x |
7.В конус, радиусом 6 и высотой 12, вписан цилиндр наибольшего объема (основание цилиндра лежит на основании конуса). Найти радиус основания и высоту цилиндра.
8.Найти наибольшее и наименьшее значения функции y 3x 3x , x 5; 1 .
9.Найти экстремумы функции y 1 2x x .
10. Составить уравнение касательной к графику функции y 3x2 6x 1 в
точке пересечения этого графика с осью ординат. 11. Найти неопределенные интегралы:
а) |
|
19x3 |
2xdx |
|
; б) |
|
dx |
; в) |
x |
2 |
cos |
x |
dx . |
|
||||||
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
||||||||
|
x |
x |
2 |
81 |
|
|
|
|||||||||||||
|
|
x 1 |
x |
|
2x 17 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
12. Вычислить определенный интеграл: |
|
2 |
|
|
dx |
. |
||||||||||||||
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
2 |
cos x |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
13.Вычислить площадь, ограниченную линиями: y x 1 2 , y x 1.
14.Вычислить: а) объем тела, полученного вращением фигуры F вокруг указанной оси; б) длину дуги кривой:
а) x 2cost cos 2t , |
y 2sin t sin 2t , |
|
t |
2 |
, oy ; б) |
3 , |
0 |
4 |
. |
|
||
2 |
3 |
3 |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
15. Найти общее решение дифференциального уравнения: y |
|
|
y |
. |
||||||||
3x y2 |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Вариант 41
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1. Найти область определения функции |
y |
|
35 2x x2 . |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
lg x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
2. Найти |
производные: а) y 2x6 arctgx2 ; б) |
y log |
x 3x2 |
|
; |
|||||||
x |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t2 1, |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
в) 4 arccos 1 2x |
; г) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y cos t2 1 .
3.Найти производную неявной функции 3xy ln x y 0 .
4.Используя логарифмическую производную, найти производную
функции: а) |
y |
sin tg |
x |
|
2 x |
|||||
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
5. |
Найти |
пределы |
|
|||||||
в) |
lim |
x x 3 x 2 . |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
x6 3x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
; б) |
|
|
|
|
|
x 1 . |
|
|
|
|
|
||||
y |
5x x |
3 |
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
5 |
x 2 2 |
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
функций: |
а) |
|
lim |
|
5 |
|
|
1 |
; б) |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
1 x |
3 |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
x 1 |
|
|
|
x 1 |
|
6. |
Исследовать функцию и построить ее график: а) |
|||
б) y |
x |
. |
||
|
|
|||
x2 1 |
||||
|
|
|
2x 1 |
x 5 |
; |
lim |
|
|
|
2x 2 |
|
||
x |
|
|
y x2 x 1 2 ;
7. Дан шар радиуса R . Найти конус наибольшего объема, вписанный в этот шар.
8. Построить график функции x t3 3t 1,
y t3 t 1.
9. На графике y x2 найти точку с положительной абсциссой, ближайшую
точке |
|
3 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
A 0; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
10. |
Определить промежутки возрастания и убывания функции y |
|
x x3 |
|
. |
||||||||||||||
|
|
||||||||||||||||||
11. |
Найти неопределенные интегралы: |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
а) |
|
2x3 x 1 |
dx ; б) |
|
dx |
|
|
; в) ar ctg8xdx . |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
x 1 x2 |
x3 x2 1 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
12. Вычислить определенный интеграл: |
tg 2 xdx . |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
13. |
|
Вычислить площадь, |
ограниченную линиями: x |
4 y2 , y 1 , x 0 , |
y0 .
14.Вычислить: а) объем тела, полученного вращением фигуры F вокруг указанной оси; б) длину дуги кривой:
|
а) x et cos t sin t , y et cos t sin t , 0 t , ox ; б) 4 , 0 |
3 |
. |
||||
|
4 |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
15. |
Найти |
общее |
решение |
дифференциального |
уравнения: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 1 y 4xy 3 . |
|
|
|
|
|
Вариант 42
1. Найти область определения функции |
y |
lg x2 |
3x 4 . |
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x 2 |
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
2. Найти |
производные: |
а) |
|
|
x 2 x |
; |
б) y arccos2 |
|
ln |
|
x 1 |
; |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
y |
arctgx |
|
|
|
|
|
|
|||||||
x sin |
|
t2 |
|
|
|
1 x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
в) |
|
|
|
г) |
y 2sin cos |
2 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 ; |
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y 1 cos2 t2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3.Найти производную неявной функции 3y2 ex cos y 5x3 0 .
4.Используя логарифмическую производную, найти производную
функции: а) |
y |
5 |
x |
4 |
|
x |
2 |
x 1 |
; б) y |
|
sin |
|
x 1 tgx . |
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
x 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
5. |
Найти пределы функций: а) |
lim |
|
1 x 1 |
; б) |
|
|
|
|||
|
|
|
x |
2 |
x |
lim |
2 |
||||
|
|
x 0 |
|
x 2 |
|
|
|||||
6. |
Исследовать функцию и построить ее график: а) |
x ctg |
x |
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
x x2 . |
||||||||
2 |
; в) |
lim |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
x 1 |
|
|
|||
2 |
|
|
|
|
x |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
y |
x 1 ; б) |
y |
|
|
|
x . |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
x 1 e |
|
x
7. |
Среди всех конусов с правильным треугольником в осевом сечении |
|||||||||||
найти конус с наибольшим объемом и найти его объем. |
||||||||||||
8. |
На графике функции y x3 2x a . Найти точки, в которых касательная |
|||||||||||
к ней проходит через точку A 1; 2 . |
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||
9. Определить промежутки убывания функции y |
x x3 |
. |
||||||||||
10. |
На графике функции |
|
|
|
найти точку, ближайшую к точке |
|||||||
y |
3x 2 |
|
||||||||||
A 3; 0 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
11. Найти неопределенные интегралы: |
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
а) |
|
x3 6x2 13x 7 |
dx ; б) |
|
|
4 x2 |
dx ; в) |
|
2x 3 e4 x dx . |
|||
|
|
|
|
|||||||||
|
x 1 x 2 2 |
x4 |
|
|
|
12. Вычислить определенный интеграл: 3 sin2 x dx .
0 cos3 x
13.Вычислить площадь, ограниченную линиями: y x 2 3 , y 4x 8 .
14.Вычислить: а) объем тела, полученного вращением фигуры F вокруг указанной оси; б) длину дуги кривой:
а) x 2 t sin t , |
y 2 1 cost , 0 t |
2 |
, |
oy ; б) |
|
5 |
, |
|
|
|
. |
|||
5e12 |
|
|
||||||||||||
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
2 |
|
15. |
Найти |
общее |
решение |
дифференциального |
уравнения: |
1 x y y e x .
Вариант 43
1. Найти область определения функции |
y |
|
|
|
x 2 |
|
|
|
3 x |
. |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 6x 9 |
|
x 1 |
|
|||||||
2. Найти производные: |
а) y |
|
|
|
|
|
; б) |
y arcsin x ex cos x ; в) |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
x 3 x 4 |
x cos x |
|||||||||||||||||||||
y sin |
2 |
x cos |
3 |
x ; |
г) |
x t2 3t3 |
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
3 |
1 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y cos t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3.Найти производную неявной функции 5x2 y2 sin xy 0 .
4.Используя логарифмическую производную, найти производную
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
функции: а) y 3 |
|
|
sin x ; б) y |
|
x 2 5 x . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
x2 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5. Найти пределы функций: а) |
|
2x 1 |
x |
; б) |
lim |
x2 |
2x 1 |
; в) |
lim |
|
|
x2 1 |
. |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
1 |
|
|
4 |
3x 1 |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x 2x 3 |
|
|
x 1 |
|
x |
|
x x |
|
|||||||
6. |
Исследовать |
функцию |
и построить |
ее |
график: |
а) y x 1 2 x ; |
||||||||||||||||||
б) y |
|
|
ln |
1 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
7.Представить число a в виде суммы двух квадратов положительных чисел так, чтобы их произведение было наибольшим.
8.Найти все общие точки графика функции y x x 3 3x и касательной,
проведенной к этому графику в точке с абсциссой x0 3 .
9. |
На графике y 2 |
|
x |
|
3 найти точку, ближайшую точке A 2; 3 . |
|||||||||
|
|
|||||||||||||
10. |
Найти критические точки функции y cos 2x cos 7x sin 2x sin 7x . |
|||||||||||||
11. |
Найти неопределенные интегралы: |
|
||||||||||||
а) |
|
|
2x3 6x2 5x |
dx ; б) |
|
|
dx |
|
; в) 3x 2 cos 5xdx . |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
x 1 x 2 2 |
x2 9 x2 |
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
12. Вычислить определенный интеграл: |
sin3 2xdx . |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
13.Вычислить площадь, ограниченную линиями: y 5 x2 , y 4x .
14.Вычислить: а) объем тела, полученного вращением фигуры F вокруг указанной оси; б) длину дуги кривой:
а) x 2 2cos t cos 2t , |
y 2 2sin t sin 2t , |
0 t |
, ox ; б) |
cos , |
|
|
. |
|
|
|
3 |
|
4 |
|
2 |
15.Найти общее решение дифференциального уравнения:
x 1 y y x3 x2 .
Вариант 44
1. Найти область определения функции |
|
|
|
|
x 1 . |
|
|
||||||
y sin x |
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
4 x2 |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
2. |
|
Найти производные: а) y sin x 15x2 ex 1 ; |
б) y tg ln |
|
88cos x 3 ; в) |
||||||||
|
x |
||||||||||||
|
x |
2 |
3x 1 ; г) |
x t ecos t , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
x 1 3 |
y t2 cos 2t. |
|
|
|
|
|
|
|
|
3.Найти производную неявной функции 2xy ex y x2 y3 0 .
4.Используя логарифмическую производную, найти производную
|
|
|
x2 1 tg |
x 1 ; б) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
функции: а) |
y |
y 3 |
|
x 3 |
5 |
7 |
|
x 1 |
9 |
|
x 8 |
|
5 . |
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
5. |
Найти |
пределы |
функций: |
а) |
|
lim |
x5 2x 2 |
; б) |
lim |
cos 1 x 1 |
; |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x 0 |
x2 x |
|
|
|
x 1 |
x 1 |
||||||
в) |
|
|
x 3 |
x . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
lim |
2x 5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6. |
Исследовать |
функцию |
и |
построить ее |
график: |
а) |
y 2 |
x 1 |
; |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 x |
|
|
б) y ex sin x . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
7. |
Найти |
кратчайшее расстояние от |
|
точки |
A 6; 2 |
до |
окружности |
||||||||||
x2 y2 9 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
8. |
При каких |
значениях |
p |
из точки |
A p; 1 |
можно провести три |
|||||||||||
различных касательных к графику функции y x3 |
3x2 |
3 . |
|
|
|
|
|||||||||||
9. |
Найти критические точки функции |
|
|
1 |
|
и среди них указать |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
f x 9x |
x |
|
|
|
|
|
|
||
min . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
10. Найти наибольшее и наименьшее значение функции |
y 2sin 3x cos 6x |
||||||||||||||||
на отрезке |
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0; |
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
11. Найти неопределенные интегралы:
а) |
2x3 6x2 10x 9 |
dx ; б) |
|
dx |
|
|
|
; в) |
5x 3 sin 7xdx . |
|
|
|
|
||||
x 1 x 2 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
1 x2 |
|
5 |
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
12. Вычислить определенный интеграл: |
|
sin x |
3 dx . |
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 cos x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
13. |
Вычислить площадь, |
ограниченную линиями: y |
4 x2 , |
x 1 , |
x 0 , |
y0 .
14.Вычислить: а) объем тела, полученного вращением фигуры F вокруг указанной оси; б) длину дуги кривой:
а) x 6cost , |
y 2sin t , |
0 t |
, ox ; б) |
|
1 |
cos , |
0 . |
|
|||||||
|
|
|
4 |
|
2 |
|
|
15. Найти общее решение дифференциального уравнения: xy 2y 2x4 .
Вариант 45
1. Найти область определения функции y |
|
x2 2x 1 |
|
lg x2 3x 2 . |
|
|
|||||||||||
|
x 1 |
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2. |
Найти |
производные: а) |
y cos |
|
ex x2 3 |
|
; |
б) |
y |
x2 sin x |
; |
||||||
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
cos 2x |
|||||
|
|
|
|
|
|
x 3 t2 |
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
в) y |
ln x |
2 |
sin x arcsin x ; г) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
y t t2 |
2. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3.Найти производную неявной функции y2 x sin xy 0 .
4.Используя логарифмическую производную, найти производную
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
функции: а) y ln |
|
x 2 |
|
sin x |
; б) |
|
1 |
4 x 3 |
|
|
|
. |
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
x 1 |
2x 3 |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
5. |
|
Найти пределы |
функции: |
а) |
lim |
x 2 |
|
; |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x 0 |
x 3 |
|
|
|||
в) lim |
|
x x3 2x |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
x |
3x5 4x4 8x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6. Исследовать функцию и построить ее график: а)
б) |
lim |
cos 7x cos x |
; |
|
|||
|
x 7 |
x2 49 |
x 3 y 1 x2 1 ; б)
yln2 x 3 .
7. Найти цилиндр наибольшего объема, вписанный в конус с высотой 10
ирадиусом 5.
8. Найти наибольшее и наименьшее значение функции y 2cos 2x cos 4x
на отрезке |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
0; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
9. Найти промежутки убывания функции y |
1 |
x3 |
1 |
x2 |
12x 1 . |
|||||||||
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
2 |
|
|
||
10. |
Является ли прямая |
y 3x 3 касательной |
|
к |
графику функции |
|||||||||
y x |
2 |
x |
1 |
? Почему? |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
11. Найти неопределенные интегралы: |
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
9x3 6x2 13x 8 |
|
|
|
10x 1 e 7 x dx . |
|
|||||||
а) |
|
dx ; б) x2 |
9 x2 dx ; в) |
|
||||||||||
|
|
|||||||||||||
|
x x 2 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
8 |
|
|
|
|
|
12. Вычислить определенный интеграл: |
sin x sin 3xdx . |
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
13.Вычислить площадь, ограниченную линиями: x y 2 3 , x 4y 8 .
14.Вычислить: а) объем тела, полученного вращением фигуры F вокруг указанной оси; б) длину дуги кривой:
а) x 4 t sin t , |
y 4 1 cost , 0 t |
, oy ; б) |
cos 3 , 0 |
. |
|
|
6 |
|
4 |
15. Найти общее решение дифференциального уравнения: |
y 2x x2 y . |
Вариант 46
1. Найти область определения функции y |
|
x2 |
|
lg x |
2 |
6x 9 . |
|||||||||
x2 4 |
|
|
|||||||||||||
2. Найти |
производные: а) y arcsin cos x ; |
|
б) |
|
y arctg2 ln x 1 ; |
||||||||||
x tg t 1 , |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
в) |
г) |
y |
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
2 |
x |
3 |
x |
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
y t2 1; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3. Найти производную неявной функции 3xy ln y x 2 .
4. Используя логарифмическую производную, найти производную
функции: а) y |
|
|
tg x ; б) y |
|
x2 25 |
|
. |
|
2cos x x |
|
|||||||
cos x x 6 3 |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
a3 x3 |
|
x2 1 |
|
x |
||||
5. Hайти пределы: а) lim |
|
|
|
|
; б) lim |
|
|
|
|
|
; в) lim |
|
2 |
2ax x |
2 |
|
|
|
|||||
a |
|
2 |
3 |
||||||||
x a |
|
|
x x |
|
|
x |
6. Исследовать функцию и построить ее график: а) y sin x x2 .
x3 x5 .
10x5 5
y x 3 x2 4 ; б)
7.Найти цилиндр наибольшего объема, вписанного в шар радиуса R .
8.При каких a прямая y 1 ax является касательной к графику функции
yx e 2 x .
9.Найти критические точки функции y sin 5x cos3x cos5x sin 3x .
10. |
Найти значений производной функции |
y e2 x |
|
|
x |
|
в точке x0 |
2 . |
|||||||||||||||
x2 |
1 |
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
11. |
Найти неопределенные интегралы: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
а) |
2x3 6x2 |
5x 4 |
dx ; б) |
16 x2 |
dx ; в) xarctg |
|
x |
dx . |
|
|
|
|
|
|
|||||||||
x 2 x 1 |
2 |
|
x |
4 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
12. Вычислить определенный интеграл: |
2 |
|
dx |
|
dx . |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
sin x |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
13. |
|
Вычислить |
площадь, |
ограниченную |
|
линиями: y 2x x2 3 , |
yx2 4x 3 .
14.Вычислить: а) объем тела, полученного вращением фигуры F вокруг указанной оси; б) длину дуги кривой:
а) x 8 cos t t sin t , |
y 8 sin t t cost , 0 t |
, ox ; б) |
cos sin , 0 |
. |
|
|
|
4 |
|
|
4 |
15. Найти общее решение дифференциального уравнения: xy y xe x2 |
0 . |
3. Используя определение производной функции, найти производную функции y 3 .
Вариант 47
1. Найти область определения функции y arcsin |
x2 1 |
|
|
|
. |
|
|
|
x2 1 |
||||
x 1 |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
3x 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
2. |
|
Найти |
производные: |
а) |
|
|
|
|
|
|
|
|
; |
б) |
y |
|
|
arctg 2 x |
ln 1 |
4x |
2 |
|
4 |
; |
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 x3 9x 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
3 |
2x tg 3x x |
2 |
; г) y |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
в) y sin |
|
|
ln arccos |
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
3. |
|
Используя |
логарифмическую |
|
|
|
производную, |
найти |
производные: |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
x2 |
x 4 5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
а) y |
|
ctgx |
arcsin x |
; б) |
y |
1 |
|
3 |
|
|
x 1 |
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
4. |
Найти производную неявной функции xy ex |
cos x 3y . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
5. |
Hайти пределы: а) |
|
|
|
4x |
|
|
; б) |
|
|
|
|
|
|
2 |
1 3x |
; в) |
|
x4 5x 1 . |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
lim |
|
|
|
|
|
|
|
lim 1 |
2x 5 |
|
|
|
lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x 0 |
arctg2x |
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
x 3 x12 |
2x |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y 4xe |
x2 |
|
|||
6. |
|
|
Исследовать |
|
функцию |
|
|
и |
|
построить |
ее |
график: |
а) |
|
2 |
; |
|||||||||||||||||||||||||||||||
б) y 2x 3 2 x . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
7. |
Исследовать функцию y |
|
|
4x 1 |
|
|
на непрерывность в точках |
x1 4 , |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
4 x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
x2 4, x3 4 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
8. |
|
|
Найти |
наименьшее |
значение |
|
a, |
при |
котором |
|
|
уравнение |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
2 |
|
|
|
1 |
a |
имеет на интервале |
0; |
|
, хотя бы одно решение. |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
sin x |
2 2sin x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
9. |
|
|
При |
каких |
|
|
|
a |
функция |
|
|
|
|
|
y eax |
удовлетворяет |
|
|
уравнению |
2y 3y 8y 3y 0 .
10.Найти точки экстремума функции y 4x 2ex e2x 5 .
11.Найти неопределенные интегралы:
а) |
|
3x3 |
9x2 |
10x 2 |
dx ; б) |
|
x2 121 |
dx ; в) x arccos |
x |
dx . |
||
x 1 x 1 |
2 |
|
x |
2 |
3 |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
4
12. Вычислить определенный интеграл: 2 cos x sin 3xdx .
0
13.Вычислить площадь, ограниченную линиями: y 9 x2 , y 8x .
14.Вычислить: а) объем тела, полученного вращением фигуры F вокруг указанной оси; б) длину дуги кривой:
а) x 16cos3 t , |
y 2sin3 t , |
|
, ox ; б) |
12 |
, |
|
. |
|
|
|
|
|
|||||
0 t |
12e 5 |
0 |
||||||
|
|
|
3 |
|
|
|
|
3 |
15. Найти общее решение дифференциального уравнения: x2 y 2xy 3 .
Вариант 48
|
|
|
|
|
1. Найти область определения функции y |
|
x2 5x 4x 6 |
lg x . |
|
|
x 2 |
|||
|
|
|
2. |
|
Найти |
|
производные: |
|
|
а) |
|
|
y |
|
tg 2 x |
tg2x |
5 |
; |
|
б) |
|
y ln |
|
2x |
2 |
1 tge |
2 x ; |
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
x arctg3t, |
|
г) |
|
|
|
4x 3 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
в) |
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
2 |
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 x3 4x 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
y ln 1 9t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3. |
|
Используя логарифмическую производную, найти производные |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
функций: а) y ctgx sin2 x ; б) |
y x 1 3 x 2x2 10 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x 5 6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
4. |
Найти производную неявной функции ctgx ln |
|
|
0 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
4y 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
x3 5x 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
5. |
Hайти пределы: а) |
|
lim |
|
x 3 |
|
|
|
|
; б) |
lim |
|
1 5x x |
; в) |
lim |
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
x 3 |
sin x 3 |
|
|
|
|
x 0 |
|
1 3x |
|
|
|
|
x |
3x |
|
4x |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
6. |
Исследовать функцию и построить ее график: а) |
y |
|
|
4x3 |
|
|
; б) y |
3ln x |
. |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
9 |
3 x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|||||||
7. |
|
Исследовать |
|
функцию |
|
|
y |
|
3x 1 |
|
|
на |
|
непрерывность |
|
|
в |
|
точках |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 4 x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
x1 0, x2 2 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
8. |
Равнобедренный треугольник с периметром |
|
P 12 |
вращается вокруг |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
основания. Найти основание a , |
при котором полученное тело вращения |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
имеет наибольший объем. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
9. |
При каких |
значениях |
|
p из точки B p; 1 |
можно |
провести |
три |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
различных касательных к графику функции y x3 2x2 3 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
10. |
Найти наибольшее и наименьшее значения функции |
|
y |
|
2 |
|
x |
|
на |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x 1 |
2 |
|
|
|
||||||||
отрезке 0; 2,5 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
11. Найти неопределенные интегралы: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
а) |
|
7x3 6x2 |
14x 6 |
dx |
; б) |
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
; в) |
x arcsin 3xdx . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
x 1 x 2 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
2 |
|
x |
2 |
|
1 |
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
12. Вычислить определенный интеграл: |
|
|
x |
|
|
|
3x |
dx . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
cos |
cos |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
2 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
13.Вычислить площадь, ограниченную линиями: y x 6 , y x2 4 .
14.Вычислить: а) объем тела, полученного вращением фигуры F вокруг указанной оси; б) длину дуги кривой:
а) x et cos t sin t , |
y et cos t sin t , |
0 t |
3 |
, ox ; б) |
8cos , |
0 |
. |
|
2 |
||||||||
|
|
|
|
|
|
6 |
15. Найти общее решение дифференциального уравнения: x2 y xy 1 0 .
Вариант 49
1. |
Найти область определения функции y |
|
|
6 x x2 |
|
|
|
arcsin |
x 2 . |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
log |
x 3 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
2. |
|
Найти производные: |
|
а) |
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
5x 6 |
|
|
; |
|
|
|
|
б) |
|
|
y ln 4 |
2x2 3 |
; |
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
x |
3 |
3x |
2 |
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2x |
2 |
3 |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
в) y earctg |
|
|
|
|
|
|
; г) |
y 3arccos |
|
|
|
|
|
|
|
4 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
4x 1 |
ln arccos |
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
x |
1 x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
3. |
|
Используя логарифмическую производную, найти производные |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 x 1 3 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
функций: а) y tgx x2 3x 1 ; б) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
y |
2x x5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x 3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
4. |
Найти производную неявной функции |
2xy sin2 x 2y y2 |
0 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
5. |
Hайти пределы: а) |
lim |
tg x 1 |
|
; б) |
lim |
2x 3 |
1 3x ; в) |
lim |
x2 |
2x 28 |
. |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
cos |
2 |
x 1 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
x |
2 |
2x |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x 1 |
|
|
|
|
x |
2x 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x x |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
6. |
Исследовать функцию |
и |
построить |
|
ее |
|
график: |
|
а) |
|
y ln x2 2x 2 ; |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
б) y |
2 x 1 2 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
7. |
|
Исследовать |
функцию |
|
|
|
x 2 |
|
|
|
|
на |
непрерывность |
|
в |
точках |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
y x2 |
9 x |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
x1 0, x2 3, x3 2 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
8. |
Найти, при каком значении a уравнение |
|
a 3 x2 |
|
4x a 2 0 |
имеет |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
минимальную разность квадратов корней. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
9. |
Найти |
|
общие |
|
точки графика |
функции |
|
y |
1 |
x |
3 |
4x |
и касательной, |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
проведенной к этому графику в точке M 0;18 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
10. |
|
|
Найти |
|
|
|
|
|
|
промежутки |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
монотонности |
|
|
|
|
функции |
y0, 25x4 2x3 5,5x2 6x ln 3.
11.Найти неопределенные интегралы:
а) |
|
|
x3 x 1 |
dx ; б) |
|
|
x2 16 |
dx ; в) |
x |
2 |
ln x 2 dx . |
|||
x |
3 |
|
4x |
2 |
4x |
|
x |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2
12. Вычислить определенный интеграл: cos5 xdx .
0
13. Вычислить площадь, ограниченную линиями: y 9 x2 , x 2 2 , x 0 ,
y0 .
14.Вычислить: а) объем тела, полученного вращением фигуры F вокруг указанной оси; б) длину дуги кривой:
а) x 2 cos t t sin t , |
y 2 sin t t cost , |
0 t , ox ; б) |
2 1 cos , |
.
2
15. Найти общее решение дифференциального уравнения: xy x 4y3 3y2 .