кр_№2()
.pdfВариант 30
1. |
Найти область определения функции y |
log sin x |
arcsin x2 |
4 . |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2. |
Найти |
|
|
|
производные: |
|
|
а) |
|
|
|
|
y 2log4 x2 x 1 ; |
б) |
|
y ln sin2 x2 3x ; |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
в) y arctgx sin |
2 |
7x |
; г) |
|
x arccos t, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 t2 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3. |
Используя |
логарифмическую |
|
|
|
производную, |
|
найти |
|
|
|
производные |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
cos x |
|
|
|
|
|
3 |
x 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
функции: а) y |
sin x |
; б) |
y |
5 |
|
|
x 5 |
4 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 x2 |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 4x5 1 |
|
||||||||||||
4. |
Найти пределы функций: а) |
lim |
; б) |
|
|
x 1 |
x |
; в) |
lim |
|
|
. |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
3 |
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
3 |
sin x |
|
|
|
|
|
|
x |
x 1 |
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x 0 |
|
|
x 0 1 x |
|
|
|
x x |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
5. |
Исследовать и построить график функции: а) |
y x2 |
|
1 |
1 |
|
; б) y x2e x2 . |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
x |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
6. |
Найти угол между касательной к функциям |
|
|
|
и |
|
|
|
|
|
|
|
|
в точке |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
y |
1 x2 |
|
|
y |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
x |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
их пересечения. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
7. |
Найти наибольшее и наименьшее значение функции y |
|
|
x |
|
, |
|
x 5;0 . |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 1 |
|
|
|
|
|||||||
8. |
Найти производную неявной функции x2 y2 x y sin x 0 . |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Найти экстремумы функции y x3e |
x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
9. |
2 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
10. Найти уравнение касательной и нормали в точке |
|
|
|
|
|
3 |
|
к графику |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
M |
3; |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
||||
функции |
y |
|
|
x2 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
x2 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
11. Найти неопределенные интегралы:
а) |
|
x3 |
x 2 |
dx ; б) |
|
|
1 2x |
|
|
|
3 |
dx ; в) |
|
xdx |
||
|
x |
3 |
2 |
2 |
|
|||||||||||
x |
|
2 |
|
|
|
|
|
sin2 x |
||||||||
|
|
|
x 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1
12. Вычислить определенный интеграл:
0
.
1 x2 dx .
13.Вычислить площадь y ln x , ox, x 2e .
14.Вычислить: а) объем тела, полученного вращением фигуры F вокруг указанной оси; б) всю длину кардиоиды:
а) y sin2 x , 0 x оx ; б) 4 1 cos .
15. Найти общее решение дифференциального уравнения:
3x2 6xy2 dx 6 x2 y 4y3 dy 0 .
Вариант 31
1. Найти производные: а) |
|
1 |
|
|
; б) y ln2 x 3 ex sin x ; |
|
|
|
в) |
|||||||||
y |
x2 1 |
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 |
|
|
|
|
|
|
|||
|
x x2 |
|
x cos2 |
t, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
y |
|
|
|
|
; г) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
sin x |
|
|
t. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
y sin2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2. |
|
Найти |
наибольшее и |
наименьшее значение функции: |
y 3 |
x2 |
|
, |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2x 1 |
|||
x |
|
3 |
;3 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
3. |
Исследовать функцию и построить график функции: а) y x 6 ex ; |
б) |
y x2 x 1 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
4. |
Найти |
пределы |
функций: а) |
x 1 |
x ; б) |
lim |
|
|
x2 2x 1 |
; в) |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
3 |
x |
2 |
3x 3 |
||||||||
|
|
|
|
|
|
x x 3 |
|
x |
1 |
|
|
|||||||||
lim |
x3 3x 1 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
x |
4x3 3x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
5. |
Найти длину высоты прямого кругового конуса наименьшего объема, |
|||||||||||||||||||
описанного около шара радиуса R . |
y cos2 x 3x2 и |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
6. |
Найти |
дифференциал функции |
его |
|
приближенное |
|||||||||||||||
значение в точке x0 0 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
7. |
Составить уравнение касательной прямой и уравнение нормали к |
|||||||||||||||||||
функции y x3 3x2 5 |
в точке x 3 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
8. |
Найти область определения функции y arccos |
x 1 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 |
1, |
x 2, |
||
9. |
Найти точки разрыва функции и построить ее график |
y |
|
|
|
x 2, |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5, |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x 1, |
x 2. |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
10.Найти производную неявной функции: 3x2 y2 sin xy 10x 0 .
11.Найти неопределенные интегралы:
а) |
2x4 3 |
; б) |
|
x2 dx |
; в) |
arctg5xdx . |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
x3 x |
4 x2 |
|
|
|
|
|
||||||||
|
4 x2 |
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
12. Вычислить определенный интеграл: |
2 |
cos xdx |
. |
|||||||||||
|
|
|
|
|
||||||||||
sin |
2 |
x 1 |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
13.Вычислить площадь, ограниченную линиями: y x2 , y 5 x , x 0 .
14.Вычислить: а) объем тела, полученного вращением фигуры F вокруг указанной оси; б) длину дуги кривой:
а) x 3cos2 t , |
y 4sin2 t , |
0 t |
, oy ; б) |
1 sin , |
|
|
|
. |
|
|
|
2 |
|
|
2 |
|
6 |
15. Найти общее решение дифференциального уравнения: xy y ln x 1 .
Вариант 32
1.Найти область допустимых значений функции: y x2 x .
x4
2. |
Найти производные: а) y 1 2x 2 |
; б) |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
x ln x |
|
x sin2 |
t 1 , |
|
|||
y |
|
|
|
|
; г) |
|
|
|
|
1 |
x |
2 |
|
|
cos t2 . |
|
|||
|
|
|
y 1 |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3. Найти производную неявной функции:
y ln |
|
x ln |
|
x ; в) |
1 x2 |
1 x2 |
y cos x2 1 sin xy x3 0 .
4. |
Исследовать функцию |
и построить |
график: |
|
а) |
y x2ex2 ; |
|||||||||||||||
б) y x3 4x2 x 1. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 |
1 |
|
|
|
|
|
3x |
|
|
||||||
5. |
Найти предел: а) |
lim |
x 3x 2 |
; б) |
; в) |
x2 1 |
. |
|
|||||||||||||
|
|
|
lim |
|
|
|
|
|
lim |
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
x |
2 |
4 |
|
|
2 |
1 |
|
|
2 |
1 |
|
|
|||||||
|
|
x 2 |
|
|
x x |
|
|
|
x x |
|
|
|
|
6.Найти наибольшее и наименьшее значение функции y x 2ln x, x 1;e .
7.Найти длины сторон прямоугольника наибольшего периметра, вписанного в полуокружность радиуса R так, что одна из его сторон лежит на диаметре окружности.
8.Используя логарифмическую производную, найти производную функции: y xln x .
9. Составить уравнение |
касательной к |
графику функции f x x2 4 |
||||||||||||
параллельно прямой y 2x 6 . |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
10. Найти асимптоты функции: |
|
f x |
x4 |
2x2 3 |
. |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x3 |
||
11. Найти неопределенные интегралы: |
|
|
|
|
||||||||||
|
|
3x2 14x 1 |
|
|
x2 dx |
2 |
|
|
|
|
||||
а) |
|
|
|
|
dx ; б) |
|
|
|
; в) 3x |
arctgxdx . |
||||
|
x 1 |
x2 4x 5 |
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
1 x |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
sin3 x |
||
12. Вычислить определенный интеграл: |
|
|
dx . |
|||||||||||
cos4 x |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
13.Вычислить площадь, ограниченную линиями: y2 9x , y x 2 .
14.Вычислить: а) объем тела, полученного вращением фигуры F вокруг указанной оси; б) длину дуги кривой:
а) |
x 2cost |
, |
y 5sin t |
, |
0 |
t |
, ; б) |
|
sin |
|
, |
|
|
0 |
. |
|
|
|
|
2 |
oy |
|
6 |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
3 1 |
|
|
|
|
|
|
15. Найти общее решение дифференциального уравнения: xy y sin x .
Вариант 33
1. Найти область определения функции:
2. Найти |
производные: |
а) |
y |
|||||
|
x |
|
|
x 3cos t t2 |
, |
|
||
в) y cos2 |
|
cos x ; г) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
2 |
|
|
|
3t 2 |
t. |
|
|
|
|
|
y t3 |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x 6 |
|
|
. |
||
y arcsin |
|
x 3 |
|||||
|
|||||||
|
|
|
2 |
|
|
|
|
sin2 x |
; |
б) |
y arcsin2 x 3 ex ; |
||||
x2 3x 1 |
|
|
|
|
3. Используя логарифмическую производную, найти y для:
а) y sin x |
x2 3 |
; б) |
y 3 |
|
x 1 4 |
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
x2 x 2 5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4. |
Найти производную неявной функции: exy2 |
cos xy x2 0 . |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
5. |
Найти |
наибольшее |
|
|
и |
наименьшее |
|
|
значение |
|
функции: |
||||||||||||||
y x 1 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
x2 2x 3, x 0;3 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
6. |
Найти пределы функций: а) |
|
3 n 1 n ; б) |
lim |
x3 1 |
; в) |
lim |
x x 1 x 3 |
. |
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
3 |
|
3 |
2x 5 |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
1 n |
x 1 |
x |
|
x |
3x |
|
|
||||||
7. |
Исследовать |
и построить график |
функции: |
а) |
|
y |
x3 |
; |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 x2 |
|
||
б) y x 4 x2 9 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
8. |
Найти высоту конуса наибольшего объема, образующая которого равна |
||||||||||||||||||||||||
l . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
9. |
Составить уравнение касательной к графику функции |
f x x4 2x2 8 |
в точке пересечения графика с осью OX .
10. Найти экстремумы функции: y x2 x 2 .
8x 4
11. Найти неопределенные интегралы:
а) |
|
x4 3x3 2x2 27 |
dx ; б) |
|
|
dx |
|
|
; в) |
|
|
|
|||||||
|
x3 6x2 9x |
|
x2 |
|
3 |
|
|||
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
x ln x2 3 dx .
2
12. Вычислить определенный интеграл: sin6 xdx .
0
13.Вычислить площадь, ограниченную линиями: y x 2 3 , y 4x 8 .
14.Вычислить: а) объем тела, полученного вращением фигуры F вокруг указанной оси; б) длину дуги кривой:
а) |
x |
|
|
, |
y 2sin t |
, |
|
|
, |
|
; б) |
5 |
1 cos |
|
, |
|
|
. |
3 cos t |
|
|
oy |
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
0 |
t |
2 |
|
|
|
|
|
0 |
|
15. Найти общее решение дифференциального уравнения: 1 x2 y xy 1 .
Вариант 34
1. Найти область определения функции: y |
|
|
|
5 |
. |
|
|
||||||||||||||||
x2 |
3x 4 |
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x 1 |
|||
2. |
|
|
Найти |
|
производные: а) |
y ln |
|
ex ; |
б) y |
sin x cos x |
; |
||||||||||||
|
|
|
x ex |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
tgx |
|
в) y arcsin |
3 |
x 2 |
x |
|
x t t2 t3 , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
; г) |
2 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y et t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3. |
Используя |
логарифмическую |
функцию, |
найти |
производную: а) |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
cos x ; б) |
|
x 1 7 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
y 6 x 4 5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
y |
|
tg |
|
x 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4.Найти производную неявной функции: ex y sin xy cos x2 0 .
5.Найти пределы: а) lim x 3x 2 ; б) lim 2x 8 .
x2 4 x 3 sin x
6. |
Исследовать функцию |
и построить ее |
график: |
а) |
y |
|
|
x 1 |
; |
|
|
|
|
|
x2 3x 3 |
|
|||
б) y x2 x 4 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
7. |
Найти уравнение касательной к графику функции |
y x2 |
1 в точке |
||||||
x0 2 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
8. |
От канала шириной a |
под прямым углом |
к нему отходит канал |
шириной b . Найти наибольшую длину бревна, которое при сплаве из одного канала в другой не застрянет при повороте.
9. Исследовать |
функцию |
на |
непрерывность |
y |
|
log x 3 |
в точках |
|||||||||||
3 |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 x x 10 |
|
|
x 3, x 4, x 10, x 5 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
10. |
Определить |
промежутки |
выпуклости и |
вогнутости |
функции: |
|||||||||||||
y x4 5x3 3 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
11. Найти неопределенные интегралы: |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
а) |
7x5 40x 93 |
dx |
; б) |
|
dx |
; в) x 2 |
2 |
cos 4xdx . |
|
|
|
|||||||
2x |
4 |
5x |
3 |
12x |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
2 |
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
x |
x 4 |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
12. Вычислить определенный интеграл: 3 tg 4 xdx .
4
13.Вычислить площадь, ограниченную линиями: y x2 , y 3 2x .
14.Вычислить: а) объем тела, полученного вращением фигуры F вокруг указанной оси; б) длину дуги кривой:
а) x 7 cos3 t , |
y 7sin3 t , |
0 t |
, oy ; б) |
2 , 0 |
12 |
. |
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
2 |
|
5 |
|
|
15. |
Найти |
общее |
решение |
дифференциального |
уравнения: |
|||
y ctgx y 2cos2 |
x ctgx . |
|
|
|
|
|
|
Вариант 35
|
|
x2 |
3x 4 |
|
|
|
|
|
|
|
1. Найти область определения функции: y log |
|
|
x |
2 |
3x 4 . |
|||||
|
|
|
|
|
|
|||||
2 |
|
x |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
2. Найти производные: |
|
а) |
|
|
|
|
|
|
x sin t t |
2 |
, |
в) y earccos x x ln x ; г) |
|
||
|
|
|
. |
|
y cos t t 2 |
||
|
|
|
|
y arcsin |
2x 2 x |
; б) |
y sin3 x cos x2 3 ; |
|
ex |
|
3. |
Используя логарифмическую производную, найти производную |
||||||||||||||||||
функции: а) y x 3 arccos x2 ; б) y sin x ex . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
4. |
Найти производную неявной функции: x5 y5 ey ex sin y 0 . |
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
ln |
x |
|
|
|
|
|
x 1 ; в) |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
x 1 |
|
x 1 |
. |
|
|||||||||
5. |
Найти пределы: а) |
lim |
e |
; б) |
lim |
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
x e |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
3 |
|
||||||
|
|
|
x e |
|
x 3x 1 |
|
|
x x |
|
|
|||||||||
6. |
Исследовать |
функцию |
и |
построить |
ее |
график: а) |
y x ln x2 ; |
||||||||||||
б) y x 2 2 x . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
7. |
Исследовать |
функцию y |
1 |
|
|
|
на |
непрерывность |
в точках |
||||||||||
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
x 1 2 x |
|
|
|
|
|
|
|
|
x 1, x 0, x 2 .
8. Найти наименьшее значение a , при котором уравнение |
4 |
1 |
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
a |
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
sin x |
1 sin x |
|||
имеет на интервале |
0; |
|
хотя бы одно решение. |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
9. Найти дифференциал |
функции |
|
|
2 |
и с его |
помощью |
|||||||||||||||||||
y arcsin x |
1 |
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
посчитать значение функции в точке 1, 2 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
10. Составить уравнение касательной и нормали в точке |
M 1; 2 к |
||||||||||||||||||||||||
графику функции y x3 3x2 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
11. Найти неопределенные интегралы: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
3x4 |
4x3 x2 1 |
|
|
|
|
|
1 x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
а) |
|
|
|
|
|
|
dx |
; б) |
|
|
|
|
dx ; в) |
arc cos 3xdx . |
|
|
|
|
|
|
|||||
4x |
3 |
5x |
2 |
5x |
|
x |
2 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6 |
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
12. Вычислить определенный интеграл: |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
cos x |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
13.Вычислить площадь, ограниченную линиями: y2 2x 1 , y x 1.
14.Вычислить: а) объем тела, полученного вращением фигуры F вокруг указанной оси; б) длину дуги кривой:
а) x cos3 t , |
y sin3 t , ox ; б) |
7 1 sin , |
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
6 |
|
6 |
|
|
15. Найти общее решение дифференциального уравнения: xy 1 |
2 y |
. |
||||||
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
ln x |
Вариант 36
|
|
|
|
|
|
|
|
x 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
1. Найти область определения функции: |
y |
|
|
x |
. |
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
log |
2 |
x x2 4 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
2. Найти производные: |
а) |
y |
ln 4x 3 |
; |
б) |
|
3 |
|
1 |
|
|
; |
|||||||||
y ln |
|
x 1 |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
sin |
2 |
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
||||
в) y arcsin x arccos x e |
x |
; г) |
y cos t t 2 , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
3t 4. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x t2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3. Используя логарифмическую производную, вычислить: а) |
|
y xcos x ; |
б) |
yx 3 5 x 1 4 .
x 2x 1 3
4.Найти производную неявной функции: arcsin xy xy2 x2 y 0 .
|
|
|
x sin 2x |
|
|
2 |
|
|
x2 |
2x 1 |
|
|
|
|
|||
5. |
Найти пределы: а) |
lim |
; б) |
|
1 x x |
; в) |
lim |
. |
|
|
|
||||||
|
|
x sin 5x |
|
lim |
|
|
|
|
|
3 |
1 |
|
|
|
|
||
|
|
x 0 |
x 0 |
1 x |
|
x 1 |
|
x |
|
|
|
|
|||||
6. |
Исследовать функцию и построить |
ее |
график: а) |
y x2 ln2 x ; |
|||||||||||||
б) y x 2 x 3 x 1 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
7. |
Найти наибольшее |
и наименьшее |
значение функции |
y cos2 |
x |
sin x , |
|||||||||||
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
x0; .
8.Найти все значения a , при каждом из которых сумма квадратов корней уравнения x2 a 2 x a 1 0 принимает наименьшее значение.
9.Составить уравнение касательной в точках графика функции y xe x2 , в которых она параллельна оси абсцисс.
10. Докажите, что функция |
y |
|
x 1 |
|
|
в точке |
x0 3 терпит разрыв. |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x 4 x 3 |
|
|
|
||
Определить все точки разрыва функции. |
|
|
|
|
||||||||||
11. Найти неопределенные интегралы: |
|
|
|
|
||||||||||
а) |
|
5x4 12 |
dx ; б) |
|
dx |
|
|
; в) |
3x2 |
1 sin xdx . |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
2x 3 x 1 2 |
x2 x2 4 |
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
12. Вычислить определенный интеграл: |
|
|
1 sin xdx . |
|
||||||||||
|
|
|
2
13.Вычислить площадь, ограниченную линиями: y 2x x2 , y x .
14.Вычислить: а) объем тела, полученного вращением фигуры F вокруг указанной оси; б) длину дуги кривой:
а) x 6 t sin t , |
y 6 t cos t , ox ; б) |
|
5 |
, |
|
|
|
. |
2e 3 |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
2 |
|
2 |
15. Найти общее решение дифференциального уравнения: x y y ex .
Вариант 37
1. Найти область определения функции: y log |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
||||||||||||
x 3 x 5 |
|
|
|
|||||||||||||||||||||
x 5 |
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
2. |
Найти |
производные: а) |
|
x 1 2 |
|
x2 ; |
|
б) |
y x |
3 |
arcsin x |
|
|
1 |
; |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
e |
|
|
|
|
x |
2 |
cos x |
|
|||||
x t sin t, |
|
|
|
|
x 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
x |
arcsin x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
в) |
|
|
|
г) |
y e |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
t sin t; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
y t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
3. |
|
Используя |
логарифмическую |
производную, |
вычислить: |
а) |
x t 3t sin t, |
|
y arccos x tgx . |
||
|
t |
|
б) |
|
|
|
|
|
|
y |
|
; |
|
|
|
|
|
||
|
ln t |
|
|
|
4. |
Найти производную неявной функции: y 3 x2 |
||||||||
|
|
|
x 2 |
|
|
|
|
||
5. |
Найти пределы: а) |
x |
; б) lim |
1 cos x2 |
|||||
lim |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
x x 3 |
|
x 0 |
1 cos x |
1 ex 3 .
; в) lim |
x 1 x x 1 . |
x |
x4 2x2 1 |
6. |
Исследовать функцию и |
построить ее график: а) |
y cos x cos 2x ; |
|||
б) y x2 x 5 . |
|
|
|
|
|
|
7. |
Найти |
наибольшее |
и |
наименьшее |
значение |
функции |
y 2 23x 9 22x |
12 2x , x 1;1 . |
|
|
|
|
8.Найти расстояние между графиками функций y x и y 1x .
9.Составить уравнение касательной в точке, в которой касательная
функции |
y |
|
|
2x 2 |
имеет угловой коэффициент, равный 4. |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
x 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
10. Найти асимптоты функции y |
x x 1 |
. |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x 2 |
|
|
|
11. Найти неопределенные интегралы: |
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
а) |
|
3x |
4 |
2x |
|
dx ; б) |
|
x2 9 |
dx ; в) e |
2 x |
sin 3xdx . |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
2 |
|
|
|
2 |
|
|
x |
|
|||||||
|
|
x 1 |
|
|
|
x |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
12.Вычислить определенный интеграл: 2 cos3 x dx .
sin x
4
13.Вычислить площадь, ограниченную линиями: y 4 x2 , y x2 2x .
14.Вычислить: а) объем тела, полученного вращением фигуры F вокруг указанной оси; б) длину дуги кривой:
а) x t2 2 sin t 2t cos t , |
y 2 t2 cos t 2t sin t , |
0 t , ox ; б) |
2cos , |
0 .
6
15. Найти общее решение дифференциального уравнения: y x y x cos x .
Вариант 38
1. Найти область определения функции: y arcsin x 1 4 |
x 3 |
|
. |
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
||
2. |
Найти производные: а) |
y arctgx |
1 |
sin2 x ; |
б) |
y |
ln2 x 3x3 |
; |
||||||||||
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
x |
x |
2 |
|
||
x t 3t sin t, |
|
|
|
ex 3 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
в) |
t |
|
; г) |
y 3 |
x2 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
ln t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3. |
Используя |
логарифмическую |
производную, |
||||
а) y arccos ln x ex ; б) |
y tg x 1 cos x . |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
4. Найти производную неявной функции: cos y cos(xy) 3 0 . |
|||||||
5. |
Найти наибольшее и наименьшее значение функции |
y |
|||||
отрезке 1; 2;0 . |
|
|
|
|
|
|
|
6. |
Найти |
пределы функции: а) |
lim |
x3 3x2 5 |
; |
б) |
|
|
|||||||
|
|
|
|
x |
2x3 1 |
|
вычислить:
x2 3x 2 на
lim |
x2 x |
|
; |
|||
|
x |
2 |
1 |
|
|
|
x |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
в) lim |
x3 x2 4x 4 |
. |
|
|
x 1 |
x2 1 |
|
|
|
7. |
Исследовать функцию и |
построить ее график: а) |
y x 1 x 3 ; |
|
|
|
|
|
x 2 |
б) y x 1 ex . |
|
|
||
8. Найти конус наибольшего объема, вписанного в шар радиусом R . |
||||
9. |
Найти абсциссу точки |
касания графика функции |
y 2x ln x и |
касательной к нему y x 2 .
10.Найти экстремумы функции y x3 3x2 2 .
11.Найти неопределенные интегралы:
|
|
5x4 dx |
|
x2 dx |
|
2 |
|
||
а) |
|
|
dx ; б) |
|
|
|
; в) |
x |
arctg3xdx . |
|
|||||||||
x3 2x2 5x |
4 x2 |
|
|||||||
|
4 x2 |
|
|
12. Вычислить определенный интеграл: 2 ctg3 xdx .
6
13.Вычислить площадь, ограниченную линиями: y 2x x2 , y x .
14.Вычислить: а) объем тела, полученного вращением фигуры F вокруг указанной оси; б) длину дуги кривой:
|
а) x 6cos3 t , |
y 6sin3 t , 0 t |
, oy ; б) |
8sin , 0 . |
|
||
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
15. |
Найти |
общее |
решение |
дифференциального |
уравнения: |
|
|
|
x . |
|
|
|
|
|
|
x2 1 y xy x3 |
|
|
|
|
Вариант 39
1. Найти область определения функции y x2 9 |
|
|
|
1 |
. |
|
||||||||||
6 5x |
|
|||||||||||||||
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x 1 |
|||
2. Найти производные: а) y log2x 2log4x ln x ; |
б) y |
x6 |
arctgx6 ; в) |
|||||||||||||
12 |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 x |
||
|
2 |
1 |
x |
2 |
; г) |
|
|
3t , |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
x cos t |
2 |
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y ln |
arccos |
|
|
e |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
x |
|
|
|
y sin2 t. |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3.Найти производную неявной функции cos2 xy sin xy x2 0 .
4.Используя логарифмическую производную, найти производную
функций: а) |
y xsin x ; б) |
y ln cos x sin x . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x 1 ; |
|||||
5. |
Найти |
пределы |
функций: |
а) |
lim |
3 1 2x 7 |
1 x |
; б) |
|
|
x2 x |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
lim |
|
2 |
x |
3 |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
x 0 |
|
|
x x |
|
|
||||||||
в) lim |
|
8x x4 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
3x4 2x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
6. |
|
Исследовать функцию и |
построить |
ее |
график: |
а) |
y x3 |
x 3 ; |
||||||||||||
б) y 2x 4arctgx . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
7. Найти наибольшее и наименьшее значения функции |
y 2sin 2x cos 4x , |
|||||||||||||||||||
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x 0; |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
8. Каким должен быть угол при вершине равнобедренного треугольника
заданной площади S , |
чтобы радиус вписанного в треугольник круга был |
||||||||||||||||||
наибольшим? |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
9. Найти все точки графика функции |
y x2e x , |
|
в которых касательная |
||||||||||||||||
параллельна оси OX . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
10. |
При каком значении |
a функция |
|
y a ln x x2 |
x имеет экстремум в |
||||||||||||||
точке x 1 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
11. Найти неопределенные интегралы: |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
а) |
|
2x3 6x2 7x 1 |
dx ; б) |
|
|
x2 dx |
|
|
; в) |
|
e 2 x cos xdx . |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
x 1 x 1 |
2 |
|
|
2 |
|
3 |
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
16 x |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
12. Вычислить определенный интеграл: |
4 1 tgx |
. |
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
sin 2 x |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6 |
|
|
|
|
13.Вычислить площадь, ограниченную линиями: y 4 x2 , y x2 2x .
14.Вычислить: а) объем тела, полученного вращением фигуры F вокруг указанной оси; б) длину дуги кривой:
а) |
x 2,5 t sin t , |
y 2,5 1 cost , |
|
t , ox ; б) |
|
3 |
, |
|
|
|
|
. |
|||
3e 4 |
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
2 |
15. |
Найти |
общее |
решение |
дифференциального |
уравнения: |
||||||||||
sin2 |
y xctgy y 1 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|