Лекция 2-3
2. Физическая кинетика
2.1.Явления переноса
Статистическая физика имеет дело с равновесными состояниями тел и с обратимыми процессами (т. е. процессами, при которых система проходит через последовательность равновесных состояний). Наука, изучающая процессы, возникающие при нарушениях равновесия, носит название физической кинетики.
При нарушениях равновесия в телах возникают потоки тепла, либо массы, электрического заряда и т. п. В связи с этим соответствующие процессы носят название явлений переноса. Явления переноса представляют собой необратимые процессы.
Мы рассмотрим три явления переноса — внутреннее трение или вязкость, теплопроводность и диффузию, напишем эмпирические уравнения этих процессов, применимые к любым средам (твердым, жидким и газообразным) и дадим молекулярно-кинетический вывод указанных уравнений для газов.
Любое явление переноса связано с неодинаковостью в пространстве некоторой величины. Например, поток тепла возникает в случае неодинаковости температуры в разных точках среды.
2.2. Средняя длина свободного пробега
Молекулы газа, находясь в тепловом движении, непрерывно сталкиваются друг с другом. Термин «столкновение» применительно к молекулам не следует понимать буквально и представлять себе этот процесс подобным соударению твердых шаров. Под столкновением молекул подразумевают процесс взаимодействия между молекулами, в результате которого молекулы изменяют направление своего движения.
Рис. 1
Минимальное расстояние, на которое сближаются при столкновении центры двух молекул, называется эффективным диаметром молекулы d (рис.2. 2). Величина
называется эффективным сечением молекулы .
За время между двумя последовательными соударениями молекула газа проходит некоторый путь , который называется длиной свободного пробега. Длина свободного пробега — случайная величина. Иной раз молекуле удается пролететь между соударениями довольно большой путь, в другой раз этот путь может оказаться весьма малым. Найдем вероятность различных значений. ВероятностьdP того, что молекула испытает соударение на отрезке пути ds, очевидно, пропорциональна величине этого отрезка и не зависит от того, какой путь уже прошла молекула без столкновений. Взяв коэффициент пропорциональности в виде , получим, что
Вероятность — безразмерная величина, следовательно, λ имеет размерность длины.
Пусть из полного числа молекул путьs пролетели без столкновения N(s) молекул. Из их числа претерпевает соударения на следующем за s отрезке ds количество молекул, равное . Это количество представляет собой убыль величиныN(s) на отрезке ds, т. е. – dN(s). Таким образом, .
Проинтегрировав, получаем
.
Здесь =N(0) — число молекул, прошедших без столкновений путь, равный нулю, т. е. полное число молекул.
Отношение N(s) к дает вероятностьP(s) того, что молекула пролетит, начиная с некоторого выбранного произвольно момента времени, путь s без столкновений:
Найдем среднее значение длины свободного пробега . Для этого нужно знать вероятностьdPl того, что молекула, пролетев без столкновений путь , претерпит соударение на следующем заотрезкеd. Оба эти события, т. е. пролет без столкновений путии соударение на отрезкеd, статистически независимы. Следовательно,dPl равна произведению вероятностей двух указанных событий. Вероятность первого события равна , второго равна. Таким образом,
Среднее значение
Таким образом, обозначенная нами буквой λ величина совпадает со средней длиной свободного пробега.
За секунду молекула проходит в среднем путь, равный средней скорости . Если за секунду она претерпевает в среднемстолкновений, то средняя длина свободного пробега будет равна
Для того чтобы подсчитать среднее число столкновений , предположим вначале, что все молекулы, кроме данной, застыли неподвижно на своих местах. Проследим за движением выделенной нами молекулы. Ударившись об одну из неподвижных молекул, она будет лететь прямолинейно до тех пор, пока не столкнется с какой-либо другой неподвижной молекулой (рис.2.3). Это соударение произойдет в том случае, если центр неподвижной молекулы окажется от прямой, вдоль которой летит молекула, на расстоянии, меньшем эффективного диаметра молекулыd. В результате столкновения молекула изменит направление своего движения, после чего некоторое время опять будет двигаться прямолинейно, пока на ее пути снова не встретится молекула, центр которой будет находиться в пределах показанного на рис.3 цилиндра радиуса d.
За секунду молекула проходит путь, равный . Число происходящих за это время соударений с неподвижными молекулами равно количеству молекул, центры которых попадают внутрь коленчатого цилиндра длиныи радиусаd. Средняя длина свободного пробега много больше, чем эффективный диаметр молекул d. Поэтому объем цилиндра можно считать равным πd2. Умножив этот объем на число молекул в единице объемаn, получим среднее число столкновений за секунду движущейся молекулы с неподвижными:
В действительности все молекулы движутся, и число соударений определяется средней скоростью движения молекул по отношению друг к другу, а не средней скоростью молекул относительно стенок сосуда. Относительная скорость двух произвольно взятых молекул равна
Возведя это соотношение в квадрат, получим
Начало формы
Конец формы
(мы воспользовались тем, что ). Среднее значение суммы нескольких величин равно сумме средних значений складываемых величин. Поэтому
События, заключающиеся в том, что первая молекула имеет скорость , а вторая — скорость, являются статистически независимыми. Поэтому . Для газа, находящегося в равновесии, каждый из сомножителей равен нулю. Таким образом,
(среднее значение квадрата скорости всех молекул одинаково и равно ). Среднее число столкновений за секунду, и средняя длина свободного пробега:
Заменив πd2 через σ, получаем При постоянной температуреn пропорционально р. Следовательно, средняя длина свободного пробега обратно пропорциональна давлению:
Эффективный диаметр молекул убывает с ростом температуры, поэтому при повышении температуры длина свободного пробега увеличивается.