Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
Скачиваний:
38
Добавлен:
08.03.2015
Размер:
486.4 Кб
Скачать

Лекция 2-3

2. Физическая кинетика

2.1.Явления переноса

Статистическая физика имеет дело с равновесными состояниями тел и с обратимыми процессами (т. е. процессами, при которых си­стема проходит через последовательность равновесных состояний). Наука, изучающая процессы, возникающие при нарушениях равно­весия, носит название физической кинетики.

При нару­шениях равновесия в телах возникают потоки тепла, либо массы, электрического заряда и т. п. В связи с этим соответствующие про­цессы носят название явлений переноса. Явления переноса представляют собой необрати­мые процессы.

Мы рассмотрим три явления переноса — внутреннее трение или вязкость, теплопроводность и диффузию, напишем эм­пирические уравнения этих процессов, применимые к любым средам (твердым, жидким и газообразным) и дадим молекулярно-кинетический вывод указанных уравнений для газов.

Любое явление переноса связано с неодинаковостью в пространстве некоторой величины. Например, поток тепла возникает в случае неодинаковости температуры в разных точках среды.

2.2. Средняя длина свободного пробега

Молекулы газа, находясь в тепловом движении, непрерывно сталкиваются друг с другом. Термин «столкновение» применительно к молекулам не следует понимать буквально и представлять себе этот процесс подобным соударению твердых шаров. Под столкнове­нием молекул подразумевают процесс взаимодействия между моле­кулами, в результате которого молекулы изменяют направление своего движения.

Рис. 1

На рис.2.1 показана кривая, изображающая взаимную потен­циальную энергию двух молекул как функцию расстояния r между их центрами. Рассмотрим с по­мощью этой кривой процесс сбли­жения (соударения) молекул. По­местим мысленно центр одной из мо­лекул в начало координат, а центр второй молекулы представим пере­мещающимся по оси r. Пусть вто­рая молекула летит по направле­нию к первой из бесконечности, имея начальный запас кинетиче­ской энергии . Прибли­жаясь к первой молекуле, вторая под действием силы притяжения движется с все возрастающей ско­ростью. В результате кинетическая энергия молекулытакже растет. Однако полная энергия системы, равная, остается неиз­менной (система двух молекул замкнута) и равной, так как одно­временно уменьшается потенциальная энергия. При прохожде­нии молекулой точки с координатойсилы притяжения сменяются силами отталкивания, вследствие чего молекула начинает быстро терять скорость (в области отталкивания криваяидет очень круто). В момент, когда потенциальная энергиястановится равной пол­ной энергии системы, скорость молекулы обращается в нуль. В этот момент имеет место наибольшее сближение молекул друг с другом. После остановки молекулы все явления протекают в обратной последовательности: сначала молекула движется с все возра­стающей скоростью под действием силы отталкивания; миновав рас­стояние, молекула попадает под действие замедляющей ее движе­ние силы притяжения и, наконец, удаляется на бесконечность, имея первоначальный запас кинетической энергии.

Минимальное расстояние, на которое сближаются при столкнове­нии центры двух молекул, называется эффективным диа­метром молекулы d (рис.2. 2). Величина

называется эффективным сечением молекулы .

Из рис.2.1 видно, что в случае, когда молекула начинает свое движение из бесконечности с большим запасом энергии, минималь­ное расстояние, на которое сближаются центры молекул, оказывается меньшим (d1 и d2 на рисунке 2.1). Таким образом, эффективный диаметр молекул зависит от их энергии, а следовательно, и от температуры. С повышением температуры эффективный диаметр молекул уменьшается.

За время между двумя последовательными соударениями молекула газа проходит некото­рый путь , который называется длиной свободного пробега. Длина свободного пробега — случайная величина. Иной раз молекуле удается про­лететь между соударениями довольно большой путь, в другой раз этот путь может оказаться весьма малым. Найдем вероятность раз­личных значений. ВероятностьdP того, что молекула испытает соударение на отрезке пути ds, очевидно, пропорциональна вели­чине этого отрезка и не зависит от того, какой путь уже прошла молекула без столкновений. Взяв коэффициент пропорциональ­ности в виде , получим, что

Вероятность — безразмерная величина, следовательно, λ имеет размерность длины.

Пусть из полного числа молекул путьs пролетели без столк­новения N(s) молекул. Из их числа претерпевает соударения на сле­дующем за s отрезке ds количество молекул, равное . Это количество представляет собой убыль величиныN(s) на отрезке ds, т. е. – dN(s). Таким образом, .

Проинтегрировав, получаем

.

Здесь =N(0) — число молекул, прошедших без столкновений путь, равный нулю, т. е. полное число молекул.

Отношение N(s) к дает вероятностьP(s) того, что молекула пролетит, начиная с некоторого выбранного произвольно момента времени, путь s без столкновений:

Найдем среднее значение длины свободного пробега . Для этого нужно знать вероятностьdPl того, что молекула, пролетев без столкновений путь , претерпит соударение на следующем заотрезкеd. Оба эти события, т. е. пролет без столкновений путии соударение на отрезкеd, статистически независимы. Следова­тельно,dPl равна произведению вероятностей двух указанных собы­тий. Вероятность первого события равна , второго равна. Таким образом,

Среднее значение

Таким образом, обозначенная нами буквой λ величина совпадает со средней длиной свободного пробега.

За секунду молекула проходит в среднем путь, равный средней скорости . Если за секунду она претерпевает в среднемстолкновений, то средняя длина свободного пробега будет равна

Для того чтобы подсчитать среднее число столкновений , пред­положим вначале, что все молекулы, кроме данной, застыли непод­вижно на своих местах. Проследим за движением выделенной нами молекулы. Ударившись об одну из неподвижных молекул, она будет лететь прямолинейно до тех пор, пока не столкнется с какой-либо другой неподвижной молекулой (рис.2.3). Это соударение про­изойдет в том случае, если центр неподвижной молекулы окажется от прямой, вдоль которой летит молекула, на расстоянии, меньшем эффективного диаметра молекулыd. В результате столкновения мо­лекула изменит направление своего движения, после чего некоторое время опять будет двигаться прямолинейно, пока на ее пути снова не встретится молекула, центр которой будет находиться в пределах показанного на рис.3 цилиндра радиуса d.

За секунду молекула проходит путь, равный . Число проис­ходящих за это время соударений с неподвижными молекулами рав­но количеству молекул, центры которых попадают внутрь коленча­того цилиндра длиныи радиусаd. Средняя длина свободного пробега много больше, чем эффективный диаметр молекул d. Поэ­тому объем цилиндра можно считать равным πd2. Умножив этот объем на число молекул в единице объемаn, по­лучим среднее число столкновений за секунду движущейся молекулы с неподвижными:

В действительности все молекулы движутся, и число соударений определяется средней скоростью движения моле­кул по отношению друг к другу, а не средней скоростью молекул относительно стенок сосуда. Относительная скорость двух произ­вольно взятых молекул равна

Возведя это соотношение в квадрат, получим

Начало формы

Конец формы

(мы воспользовались тем, что ). Среднее значение суммы нескольких величин равно сумме средних значений складываемых величин. Поэтому

События, заключающиеся в том, что первая молекула имеет скорость , а вторая — скорость, являются статистически независимыми. Поэтому . Для газа, находящегося в равновесии, каждый из сомножителей равен нулю. Таким образом,

(среднее значение квадрата скорости всех молекул одинаково и равно ). Среднее число столкновений за секунду, и средняя длина сво­бодного пробега:

Заменив πd2 через σ, получаем При постоянной температуреn пропорционально р. Следова­тельно, средняя длина свободного пробега обратно пропорциональна давлению:

Эффективный диаметр молекул убывает с ро­стом температуры, поэтому при повышении темпера­туры длина свободного пробега увеличивается.

Соседние файлы в папке мкт физика