4.6. Закон сохранения энергии

Сведем вместе результаты, полученные в предыдущих параграфах. Рассмотрим систему, состоящую из частиц с массами. Частицы взаимодействуют друг с другом силами, модули которых зависят только от расстояниямежду частицами. Ранее было установлено, что такие силы являются консервативными, и работа, совершаемая этими силами над частицами, определяется начальной и конечной конфигурациями системы. Пусть, кроме внутренних сил, на-ю частицу действует внешняя консервативная силаи внешняя неконсервативная сила. Уравнение движения для-той частицы имеет вид

.

Умножив это уравнение на и сложив вместе всеуравнений, получаем:

Левая часть этого выражения представляет собой приращение кинетической энергии системы: . Первое слагаемое правой части равно убыли потенциальной энергии взаимодействия, как

следует из выражения (4.14): .

Второе слагаемое равно убыли потенциальной энергии системы во внешнем поле консервативных сил: . Последнее слагаемое представляет собой работу внешних неконсервативных сил. Окончательно получаем:.

Величина есть полная механическая энергия системы. Если на систему не действуют внешние неконсервативные силы, то полная механическая энергия сохраняется. Это закон сохранения механической энергии.

Для замкнутой механической системы этот закон формулируется следующим образом: полная механическая энергия замкнутой системы тел, между которыми действуют только консервативные силы, остается постоянной.

Если в замкнутой системе, кроме консервативных, действуют неконсервативные силы, то полная механическая энергия не сохраняется, и ее изменение равно работе неконсервативных сил:

Проинтегрировав, получаем: .

В этом случае механическая энергия переходит в другие виды энергии, и выполняется более общий закон сохранения всех видов энергии.

4.7.ЗАКОН СОХРАНЕНИЯ ИМПУЛЬСА

Мы рассмотрели энергию, которая представляет собой аддитивный интеграл движения, сохраняющийся в замкнутой системе. Другим таким интегралом движения является импульс механической системы. Рассмотрим систему, состоящую из n материальных точек, в которой на -ю материальную точку действуют внутренние силыи внешние силы, равнодействующая которых. Запишем уравнения динамики для всех частиц системы:

,

,

………………………………………………………….

,

…………………………………………………………..

.

Сложив эти уравнения и приняв во внимание, что внутренние силы попарно равны, получаем:

.

Под знаком дифференциала стоит полный импульс системы. Тогда можно записать: .

При отсутствии внешних сил , следовательно, для замкнутой системы полный импульс сохраняется.

Следует отметить, что полный импульс остается постоянным и для незамкнутой системы, когда векторная сумма внешних сил равна нулю. Если эта сумма не равна нулю, однако ее проекция на некоторое направление есть ноль, то сохраняется составляющая импульса на это направление.

4.8. Соударение двух тел

При соударении тел кинетическая энергия, которой они обладали перед ударом, частично или полностью переходит в энергию упругой деформации и во внутреннюю энергию этих тел.

Существуют два предельных случая удара: абсолютно упругий и абсолютно неупругий. Абсолютно упругим называется удар, при котором механическая энергия тел не переходит в другие виды энергии. При таком ударе кинетическая энергия переходит полностью или частично в потенциальную энергию упругой деформации. Затем тела возвращаются к первоначальной форме, отталкивая друг друга, и потенциальная энергия снова переходит в кинетическую, и тела разлетаются со скоростями, определяемыми по законам сохранения энергии и импульса.

Абсолютно неупругий удар характеризуется тем, что потенциальной энергии деформации не возникает. Кинетическая энергия тел полностью или частично переходит во внутреннюю энергию. После удара столкнувшиеся тела либо движутся вместе, либо покоятся. При таком ударе выполняется закон сохранения импульса, закон же сохранения механической энергии не выполняется.

Рассмотрим абсолютно неупругий удар двух частиц (материальных точек), образующих замкнутую систему (рис. 4.9). Массы частиц и, их скорости до удараи. После удара скорости частиц одинаковы и равны. По закону сохранения импульса имеем:

.

Тогда скорость частиц после удара.

Теперь рассмотрим абсолютно упругий удар, ограничившись рассмотрением центрального удара двух однородных шаров. Удар называется центральным, если до удара шары движутся вдоль прямой, проходящей через их центры. При центральном ударе соударение может произойти, если шары движутся навстречу друг другу (рис. 4.10), либо один из шаров догоняет другой (рис.4.11).

Будем предполагать, что шары образуют замкнутую систему и вращение шаров отсутствует.

Массы шаров и, их скорости до удараи. После удара их скоростии. По закону сохранения энергии

, (4.15)

по закону сохранения импульса . (4.16)

Умножив уравнение (4.15) на 2 и сгруппировав, получаем: , илиИз (4.16)

. (4.17)

Разделим первое из этих уравнений на второе

(4.18)

Умножим (4.18) на и вычтем результат из (4.17)

Получаем

, . (4.19)

Из выражений (4.19) видно, что после удара скорости шаров не могут быть одинаковыми. Действительно, если приравнятьи, получаем=, т.е. скорости шаров должны быть одинаковыми и до удара, но в этом случае соударение не может произойти.

Рассмотрим случай, когда массы соударяющихся шаров равны . При этом, как следует из (4.19)и, т.е. шары при столкновении обмениваются скоростями.

При рассмотрении абсолютно упругого удара шара о неподвижную или движущуюся стенку последнюю следует рассматривать как шар бесконечно большой массы. Тогда разделив числитель и знаменатель выражения (4.19) на (массу стенки) и считая 0, получим .

Если стенка неподвижная (рис.4.12), =0, скорость шара меняет свое направление на противоположное, модуль скорости остается неизменным.