- •5. Динамика вращательного движения
- •5.1 Плоскопараллельное движение твердого тела
- •5.2. Движение центра масс твердого тела
- •5.3. Основное уравнение динамики вращательного движения твердого тела с закрепленной осью вращения. Момент импульса тела
- •5.4. Момент инерции. Теорема штейнера
- •5.5. Гироскопические силы, гироскопы и их применение в технике
- •5.6. Кинетическая энергия вращающегося твердого тела
- •5.7. Кинетическая энергия при плоском движении
- •5.8. Условия равновесия твердого тела
5.6. Кинетическая энергия вращающегося твердого тела
Рассмотрим вращение тела вокруг неподвижной оси (рис.5.17). Линейная скорость элементарной массыравна, где- расстояние массыдо оси. Кинетическая энергия этой элементарной массы
Кинетическая энергия тела равна сумме кинетических энергий всех его частиц
Сумма в правой части этого равенства есть момент инерции тела относительно оси . Тогда
Если на массу действуют внутренняя силаи внешняя сила(рис.5.13), то работа этих сил за времяравна
Преобразовав, получаем
(5.8)
Очевидно,- момент внутренней силы относительно точкиО, - момент внешней силы. Просуммировав равенство (5.8) по всем элементарным массам, получим работу, совершенную над телом за время:
Сумма моментов всех внутренних сил равна нулю, тогда работа
Знак работы зависит от знака , т.е. от знака проекции вектора момента силы на ось вращения.
Эта работа идет на приращение кинетической энергии, поэтому
.
5.7. Кинетическая энергия при плоском движении
Плоское движение может быть представлено как наложение двух движений – поступательного со скоростью центра масс и вращательного вокруг некоторой оси с угловой скоростью. Скорость-той элементарной массы равна
,
где - радиус-вектор элементарной массы, проведенный из оси вращения. Кинетическая энергия-той массы равна
. (5.8)
Ясно, что , где- расстояние от массыдо оси вращения, тогда
и . Просуммировав выражение (5.8) по всем точкам, имеем
.
Здесь - радиус-вектор центра масс, проведенный из оси вращения,- момент инерции тела. Тогда
.
Если ось вращения проходит через центр масс, и
, (5.9)
где - момент инерции тела относительно оси, проходящей через центр масс.
5.8. Условия равновесия твердого тела
Тело может оставаться в состоянии покоя в том случае, когда нет причин, приводящий к возникновения поступательного движения или вращения. Для этого необходимо выполнение двух условий:
сумма всех сил, приложенных к телу, должна быть равна нулю:
, (5.10)
Результирующий момент всех внешних сил относительно любой неподвижной оси должен быть равен нулю:
. (5.11)
Практически оказывается достаточным, чтобы условие (5.11) выполнялось для трез любых неподвижных осей, не лежащих в одной плоскости. Тогда оно будет выполняться для любой оси.
Соотношения (5.10) и (5.11) являются условиями равновесия твердого тела.