22. Открытые системы. Синергетика

22.1 Организация и управление

Организация – состояние динамической системы, при котором каждый элемент системы действует строго в рамках заданной программы таким образом, что объединенные функции отдельных элементов системы приводят к заданному целевому результату, характерному для системы в целом.

Пусть состояние системы определяется величиной В процессе работы возникают ситуации, когда условия функционирования системы изменяются незначительно, тогда параметрx принимает значение Малая величинаназывается возмущением. Между системой и блоком управления существует звено, выполняющее роль обратной связи. Оно формулирует сигнал, на основе которого в систему поступает команда управления в форме определенного воздействия.Основное требование к системе обратной связи – она должна быть положительной. Управление должно компенсировать возмущение, а, следовательно, должно быть функцией x, и времениt

где точка означает производную по времени.

После прекращения воздействия возвращение системы в прежнее состояние осуществляется выработкой сигнала

и система переходит в режим с затуханием

где к – постоянная времени управления системой.

Физически к – промежуток времени, за который система уменьшает эффект возмущения в е раз (декремент затухания).

Если на систему действует постоянная управляющая сила , то уравнение динамики системы будет иметь вид

.

В функцию управления входит стабилизация, поэтому с течением времени выполняется условие что позволяет выполнить равенствоСогласно этому приближению, величинав моментt определяется внешней силой, действующей в тот же момент времени t. Такое приближение называют адиабатным. Если возмущение, создаваемое силой, пропорционально величине действующей силы, то уравнение динамики запишется в виде

Система в режиме затухания перейдет в состояние при условиик>m. Реально управление всегда запаздывает по отношению к внешнему возмущающему действию. При построении более строгой модели необходимо учитывать время запаздывания

Приведенные модели детерменические, ибо не включают в себя учет флуктуаций.

22.2 Самоорганизация

Самоорганизация – функционирование системы, при котором ее действие как целого формируется на основе внутренних взаимосвязей между составляющими ее частями.

Самоорганизация – кооперативный эффект, предполагающий наличие определенной соподчиненности. Как правило, процессу самоорганизации свойственно периодическое воспроизводство функции и ее структур. Это сложный процесс на первом этапе, которого происходит структурирование хаоса, а далее хаос структур упорядочивается в систему. Такая система способна к воспроизводству и прогрессивной эволюции.

Одним из примеров самоорганизации в неживой природе является гидродинамическая неустойчивость, состоящая в следующем. Пусть в неглубокий сосуд налит слой силиконового масла, который подогревается снизу. Между верхней и нижней поверхностями возникает перепад температуры. Если его сделать безразмерным, то получим критерий Релея

где коэффициент теплового расширения;q – ускорение силы тяжести; перепад температуры по вертикали;кинематическая вязкость;теплопроводность.

Как показывают опыты при Ra≈0,1, наблюдается чистая теплопроводность без наличия конвективных токов, обусловленных стратификацией плотности по высоте. При Ra≈0,1 формулируются малые конвективные токи жидкости. За счет разности плотностей более и менее нагретой жидкости возникают струйки, циркулирующие в жидкости. Возникает ситуация, соответствующая неравновесному порядку. При значениях Ra=10…20 в жидкости происходит самоорганизация структур, известных как ячейки Бенара.

Рис. 22.1 Конвективная неустойчивость. Ячейки Бенара

Жидкость образует структуры по форме похожую на пчелиные соты. Таким образом, из-за хаоса сформировались организованные структуры. Из-за теплового движения молекул структуры обмениваются частицами, но при этом структуры воспроизводятся.

Рассмотренный пример представляет собой открытую диссипативную систему и, следовательно, она нелинейна. Самоорганизация выступает как форма разрешения неустойчивости и ее следует признать как фундаментальное, атрибутивное свойство материальных систем. Примеры самоорганизации многочисленны и многообразны: формирование экосистем, кольца Сатурна, спиральная структура Галактик, процессы горения, социально-экономические явления, формирование организма.

Можно составить примерную матмодель процесса. Пусть некоторый определяющий параметр функционирования системы. Общий вид математического описания системы процесса самоорганизации должен учитывать нелинейности, взаимосвязи параметров функционирования (отражение кооперативности эффекта), неравновесности состояния (наличие градиентов, а, следовательно, и потоков), факторы перемешивания структур и передачи взаимодействия без материи (волновые процессы).

где линейный оператор градиента – оператор; Гамильтоналинейный дифференциальный оператор Лапласа.

Оператор Лапласа при а₁ – действительном описывает процесс диффузии, при мнимом – волновой процесс.флуктуационные силы; индексыпробегают все значения переменных, определяющих состояние системы.

При анализе социально-экономических процессов необходимо рассматривать самоорганизацию в дискретных средах.

Пусть вектор состояния некоторой системы,обобщенная сила (фактор функционирования системы);параметр функционирования системы. Изменениепри отсутствии действияпредполагает наличие затухания. Фактор затухания должен присутствовать и в действующих силах, т.к. постоянно действующие силы с течением времени внесут дисбаланс в функционирование системы. Рассмотрим систему, описываемую уравнением

где а₂>0. Пусть а₂>> а₁, при этом а₁ может быть больше и меньше нуля.

Приближенное решение второго уравнения можно получить в виде

на основе чего следует вывод, что в поведении системы параметр функционирования мгновенно следует за параметром. Таким образом, первое уравнение системы подчиняет второе. В свою очередь подчиняемое уравнение воздействует на подчиняющее

Параметры функционирования системы подбираются так, чтобы решения имели смысл. Положим а₁>0, x₁=0, тогда следует, что , т.е. действия нет вообще.

Если а₁<0, то стационарное решение имеет вид

Таким образом, в системе стационарное значение определяется величиной. Т. к. результат действияопределяется величиной, саму величинуможно рассматривать как параметр, определяющий степень упорядоченности. Т. е.по сути, параметр порядка. Т. о. в системе переменныхиможно отметить отношение подчинения. Величины, подчиняющие себе другие параметры системы, принято называть параметрами порядка или модами. Уравнение движения системы с факторами подчинения можно записать в векторной форме

где вектор представляет собой нелинейно зависящую от переменныхчасть поля скоростей. Свойства матрицыи свойства нелинейности форм, выступающие в качестве параметров системы, отображают и явление самоорганизации.

Одним из критериев удовлетворяющему возможности самоорганизации системы является наличие стационарных решений независящих от времени. Тогда последнее уравнение можно записать в виде

Все малые величины, лишь это допущение предполагает устойчивость системы. Дальнейшее развитие системы строится на основе линейных приближений

где элементами матрицы являются постоянные величины.

При построении моделей конкретных систем, необходимо учитывать допустимо или нет адиабатное приближение. Процедура исследования адиабатных систем включает анализ мод на предмет их устойчивости.

Уравнение для параметров порядка допускают появления бифуркаций. Это важно учитывать в конечных выводах об эволюции системы.