1.2. Распределение Максвелла

Закон распределения по скоростям молекул газа, находяще­гося в термодинамическом равновесии, был найден Максвел­лом (1859).

Представим себе пространство скоро­стей с прямоугольными координатными осями, по которым бу­дем откладывать значения проекций отдельных моле­кул. Тогда скорости каждой молекулы будет соответствовать точка в этом пространстве — конец вектора . Из-за столкнове­ний молекул положения точек будут стремительно меняться, но их распределение в целом будет оставаться неизменным, по­скольку макросистема находится в термодинамическом равно­весии.

Вследствие равноправности всех направлений движения рас­положение точек относительно начала координат будет сфери­чески симметричным. Поэтому плотность точек может зависеть только от модуля скорости (но не от).

Итак, пусть макросистема (газ) содержит N молекул. Выделим в некоторой точке — конце векто­ра — малый объем (рис. 3, где ось направлена на нас). Относительное число точек (молекул) в этом объеме, или дру­гими словами, вероятность dw того, что скорость молекулы, т.е. конец вектора , попадет в этот объем, можно записать так:

, (2)

гдеимеет смысл объемной плотности вероятности. Вероятность же того, что молекула (точка) будет иметь про­екции скорости в интервале (), равна отношению

, (3)

где — функция распределения по. Выражение (3) — это по существу интеграл (2) по и, т.е. относительное число молекул (точек) в тонком плоском слое от до+d. Вероятности того, что молекула имеет проекции скорости в интервалах (,+d), (и () являются независимыми, поэтому в соответствии с теоремой об умножения вероятностей независимых событий можно записать

(4)

Из соображения равноправия осей ,иясно, что функ­цииφ должны одинаковым образом зависеть от соответствую­щих проекций скоростей. Сопоставив (4) с (2), находим

. (5)

После преобразований (с учетом условия нор­мировки) получаем

,

аналогичный вид имеют функции и. И тогда соглас­но (5)

( . (6)

График функции изображен на рис. 4. Он совпадает с гауссовой кри­вой погрешностей. Площадь тонированной полоски на рис. 4 — это вероятность того, что проекция скорости молекулы лежит в интерва­ле (,+d). Функция (6) нормирована на единицу, т.е. площадь под кривойравна

Интегрирование в пределах от -∞ до +∞ не означает, что в газе есть молекулы с такими большими скоростями. Это следует рассматривать только как вычислительный прием. Молекул с весьма большими скоростями очень мало, и они практически не вносят никакого вклада в нормировочный интеграл. Это и позволяет записывать такие пределы.

1.3.Распределение молекул по модулям скорости

Найдем вероятность или относительное число молекул, мо­дуль скорости которых заключен в интервале (). Таким молекулам соответствуют все точки, попадающие в шаровой слой с радиусами и (рис. 5). Объем этого слоя равен произведению поверхности слоя на его толщину, т.е., объемная же плотность вероятностиво всех точках слоя одинакова. Следовательно, согласно теореме сложения вероят­ностей, вероятность попадания в этот слой

.

Величина характеризует искомую вероятность, т.е.. Учитывая (6), по­лучим:

. (7)

Эта формула представляет собой закон распределения Макс­велла по модулю скорости. Вид функции показан на рис. 6. Эта функция тоже нормирована на единицу,

.

На рис.6 пунктиром представлена “конструкция” (сомно­жители) функции , один из сомножителей которой . За­метим, что в отличие от площадь под кривой физиче­ского смысла не имеет.

Полученные Максвеллом распределе­ния по скоростям не зависят ни от структуры молекул, ни от того, как они взаимодействуют друг с другом. Поэтому они применимы не только к газам, но и к другим агрегатным состо­яниям вещества.

Рассмотрим характерные скорости. К ним относятся три скорости: наи­более вероятная , средняяи среднеквадратичная.

Наиболее вероятной скорости соответствует максимум фун­кции распределения . Эта скорость определяется из усло­вия , откуда следует

.

Средняя скорость по определению равна .

Среднеквадратичная скорость ; она находится из условия

,

откуда .

Средняя скорость молекулы азота при Т=300К равна 480 м/с. Эта величина имеет поря­док скорости звука в азоте, = 350 м/с. Приведенные характерные скорости отличаются друг от друга в пропорции

= 1 : 1,13 : 1,22.

Качественно это показано на рис. 6.

Рассмотрим зависимость распределения от температуры. Подставив значение в формулу (7), получим, что.

В соответствии с этим результатом для разных температур кривые распределения будут иметь вид, пока­занный на рис. 7. Видно, что с увеличением Т максимум фун­кции смещается в сторону больших скоростей, а его вели­чина уменьшается. При этом площадь под все­ми тремя кривыми остается равной единице. Кривые на рис. 7 можно рассматривать и иначе — как соответствующие разным массам молекул газа при одной и той же температуре, причем.